山东省淄博市博山区2024--2025学年九年级上学期1月期末数学试题（解析版）

初四数学试题本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器．4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.年的巴黎奥运会中国队以枚金牌总数位于金牌榜首，如图是巴黎奥运会颁奖现场，图是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可，掌握简单几何体三视图的画法是正确解题的关键．【详解】解：此领奖台的俯视图是：故选：．2.下列事件中属于必然事件的是（）A.是实数，则B.在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球C.博山区明天是晴天D.抛投一枚骰子，朝上一面的点数是【答案】B【解析】【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【详解】解：、“是实数，则”是随机事件，此选项不符合题意；、“在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球”是必然事件，此选项符合题意；、“博山区明天是晴天”是随机事件，此选项不符合题意；、“抛投一枚骰子，朝上一面的点数是”是随机事件，此选项不符合题意；故选：．3.下列函数不是反比例函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．或或的函数是反比例函数．根据反比例函数的定义判断即可．【详解】解：．，是反比例函数，故该选项不符合题意；．，是一次函数，不是反比例函数，故该选项符合题意；．，则，是反比例函数，故该选项不符合题意；．，是反比例函数，故该选项不符合题意；故选：B．4.如图，放在正方形网格纸上，点，，均在格点上，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正切定义，勾股定理，由网格可求出，则，然后利用正切的定义即可求解，熟练掌握锐角三角函数的定义及构造直角三角形求锐角三角函数是解题的关键．【详解】解：取格点，连接，如图，∴，，，∴，∴，∴，故选：．5.月日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个活动，则他们恰好选到同一个活动的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率，正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有种等可能结果，小明和小红恰好选到同一个活动的结果有种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记，画树状图如下：共有种等可能的结果，小明和小红恰好选到同一个活动的结果有种，∴小明和小红恰好选到同一个活动的概率为，故选：．6.已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质．【详解】解：由二次函数，得它的对称轴为，开口向下，则图象上的点离对称轴越远则的值越小，∵，，，∴，∴，故选：．7.如图，点A，B，C是上的点，且，阴影部分的面积为，则此扇形的半径为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得的度数是解答此题的关键．先由圆周角定理可得的度数，再由扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵，∴，∴扇形的面积为，，故选：B．8.如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】解：依题意得：当时，，当水位上升时，则此时，则：，解得：或，水面宽为：，故选C．9.如图，是圆的直径，，，，的顶点均在上方的圆弧上，，的一边分别经过点，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，理解圆周角定理是解题的关键．根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．【详解】解：∵是圆的直径，∴，，，所对的弧的和是半圆，所对圆心角的度数为，∴，故选：．10.如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点与尺下沿的左端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为．若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是（结果精确到，参考数据，，）．（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，作于，作于，解得到，再证明，即可解求出的长，即可得到答案．【详解】解：作于，作于，如图：依题意得：，中，，，，，，，且，，在中，，，，，即：，解得：，点C在尺上的读数约为，故选：C．11.在一次课题学习中，某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连结，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由四边形是矩形，，得出，设，，证明用含的式子表示，再根据，推出，，，最后利用勾股定理求出和的长，代入矩形面积计算即可.【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，，∴，设，，∵，，且这四个三角形均为直角三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，，∵，，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，，，∴，∴，故选：．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，锐角三函数，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．12.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则；③若，则④若，连接，点P在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的有（）A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，，∴当时，，即，故①正确；当且时，则直线和直线关于对称轴对称，∴，故②错误；∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∵，∴，∴点B的坐标为，把代入抛物线解析式中得，∴，∴，∴点B的坐标为，∴，故③正确；∵，∴，设，∴，，，∵，∴，∴，解得，∴，故④正确；故选：A．二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．13.______．【答案】【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解，解题的关键是熟记特殊角三角函数值．【详解】解：由，故答案为：．14.已知一个正多边形的外角是，则这个正多边形的边数为________．【答案】9【解析】【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握任意多边形的外角和都是360度是解答本题的关键．根据任意多边形的外角和都是360度求解即可．【详解】解：∵∴这个正多边形的边数为9，故答案为：9．15.如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为______．【答案】6【解析】【分析】本题考查了中心投影；利用中心投影，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长．【详解】解：过作轴于，交于，如图，．，，∴，，，，故答案为：6．16.已知函数是反比例函数，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可求解，正确理解反比例函数的定义是解题的关键．【详解】解：∵函数是反比例函数，∴，∴，故答案为：．17.如图是用计算机模拟抛掷一个啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，据此估计“凸面向上”的概率是________．（精确到）【答案】【解析】【分析】本题考查了频率估计概率，根据图中的数据即可解答，解题的关键是正确理解频率估计概率．【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在附近，“凸面向上”的概率为，故答案为：．18.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C、D，延长交于点P．若，的直径为，则的长为_______．（结果保留）【答案】【解析】【分析】本题主要考查弧长的计算公式、切线的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．连接，求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求出答案即可．【详解】解：连接，∵分别与相切于点C，D，∴，∴，∴．故答案为：．19.已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x05002000y11则关于x的方程的解是___________．【答案】500【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及函数与方程的关系，先得出，整理，得，即当时所对应的的值，即可作答．【详解】解：由题意可知，当时，则二次函数关于x的方程的解是，即当时所对应的的值根据图表信息，得故答案为：500．20.如图，在平面直角坐标系中，经过点的双曲线（）同时经过点，且点在点的左侧，点的横坐标为，，则的值为________．．【答案】【解析】【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可；【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示：则，∴四边形是矩形，，把代入反比例函数的解析式得，，双曲线图像在第一象限，，，，，，，双曲线经过B，整理得：，解得：（舍），故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键；21.如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为_______m．（结果保留根号）【答案】8【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，分别在和中利用锐角三角函数关系得出，的长，进而求出该旗杆的高度．【详解】解：在，米，，∴，解得：米，在，米，，∴，解得：米，故该校的旗杆高约为：（米），故答案为：．22.如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为______．【答案】【解析】【分析】延长交于M点，连接，通过中位线定理可求出的长，再通过角的关系可求得，进而求证直角三角形为等腰直角三角形，求得的长，的长，利用勾股定理求出的长．【详解】解：延长交于M点，连接，

在中斜边经过圆心O，

，又，

∴为的中位线，，，在中，I为三个角平分线的交点，

，即，

为等腰直角三角形，，根据勾股定理可得，

，即．

故答案为：．【点睛】本题考查了三角形中位线，三角形内切圆圆心，直角三角形以及勾股定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，三角形内切圆圆心，直角三角形性质以及勾股定理．三、解答题：本大题共7个小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23.计算：．【答案】．【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数次幂，化简绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．先运用绝对值，零指数幂、负整数次幂，特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．【详解】解：．24.已知，如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．（1）求扇形AOB的弧长和扇形面积；（2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥无底纸盒，求这个纸盒的高OH．【答案】（1）cm，cm2；（2）cm．【解析】【分析】（1）根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式求解；（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr=4π，解得r=2，然后根据勾股定理计算OH．【详解】（1）扇形AOB的弧长=（cm）；扇形AOB的扇形面积=（cm2）；（2）如图，设圆锥底面圆的半径为r，所以2πr=4π，解得r=2，在Rt△OHC中，HC=2，OC=6，所以OH=（cm）．25.某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；③扇形统计图中圆心角______度；（2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；（3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．【答案】（1）①400；②图见解析③54（2）参加组（阅读）的学生人数为980人（3）恰好抽中甲、乙两人的概率为【解析】【分析】（1）①利用参加体育活动小组的人数除以所占的百分比求出总人数；②先求出参加小组的人数，再补全条形图即可；③用小组人数所占的百分比求出圆心角度数即可；（2）用总人数乘以参加组在样本中所占的百分比，进行求解即可；（3）利用列表法求出概率即可．【小问1详解】解：①（人）；故答案为：；②参加组的学生人数为：（人）；参加组的学生人数为：（人）；补全条形图如下：③；故答案为：54；【小问2详解】解：（人）；答：参加组（阅读）的学生人数为980人．【小问3详解】解：列表如下：甲乙丙丁甲甲，乙甲，丙甲，丁乙乙，甲乙，丙乙，丁丙丙，甲丙，乙丙，丁丁丁，甲丁，乙丁，丙共有12种等可能的结果，其中抽到甲、乙两人的情况有2种，∴；答：恰好抽中甲、乙两人的概率为．【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从条形图和扇形图中有效的获取有效信息，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．26.综合与实践素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：时刻（时）12131415角的正切值52.51.251【问题解决】（1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；（2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解；（2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解．【小问1详解】解：如图1，过作于，，则，四边形是矩形，，四边形是正方形，，在中，，即，，，答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为．【小问2详解】解：过作于，过作于，，则，四边形为矩形，，，，由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，在中，，即，，，答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为．27.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求的面积；（3）请根据图象直接写出不等式的解集．【答案】（1），；（2）9；（3）或．【解析】【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式；（2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可；（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论．【小问1详解】∵点在反比例函数的图象上，∴，解得：∴反比例函数的表达式为．∵在反比例函数的图象上，∴，解得，（舍去）．∴点A的坐标为．∵点A，B在一次函数的图象上，把点，分别代入，得，解得，∴一次函数的表达式为；【小问2详解】∵点C为直线与y轴的交点，∴把代入函数，得∴点C的坐标为∴，∴．【小问3详解】由图象可得，不等式的解集是或．【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．28.如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）若，E为的中点，求的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】本题考查了切线的判定及性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．（1）连接，可知，得，进而可证得，再根据垂直可知，则，即可得，进而可证得结论；（2）根据切线的性质得出，根据已知得出，又，则，根据，得出，进而即可得证；（3）由（