辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末考试 数学 含解析

辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．3．圆与圆的位置关系是（

）A．内含 B．内切 C．外切 D．相交4．一个口袋里装有大小不同的2个红球和4个白球，从中取3个球，则至少含有1个红球和1个白球的取法有（

）A．35种 B．32种 C．16种 D．14种5．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（

）A． B． C． D．6．将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（

）A．90种 B．180种 C．60种 D．120种7．在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．在的展开式中，则（

）A．x的系数为135 B．第4项的二项式系数为10C．无常数项 D．所有项的系数之和为12510．已知直线与圆交于两点，则（

）A．直线恒过定点 B．圆与轴相切C．最大值为2 D．的面积最大值为11．已知正三棱柱中，，且满足，，则（

）A．当时，与所成角的余弦值为B．当时，平面平面C．存在，，使平面平面D．存在，，使二面角为钝角三、填空题12．已知，是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若，则.13．计算：.（结果用数字作答）14．已知椭圆的左右焦点为，，双曲线（，）的左右顶点分别为，，C与D在第一，第二象限的交点为，则；若直线，的斜率之积为，则D的渐近线方程为.四、解答题15．已知，是椭圆的焦点，，且过点.(1)求C的方程；(2)若点P在C上，，求的面积.16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，是边长为2的等边三角形，.(1)证明：平面平面ABCD：(2)求二面角的余弦值.17．已知点M到定点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)直线交C于P，Q两点，点，直线AP，AQ的斜率之和为0，求直线的斜率.18．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E、F分别是线段PA，CD的中点.(1)求EF；(2)求直线EF与BD所成的角的余弦值.19．某核磁实验基地建设两条电磁辐射隔离带，两条电磁辐射隔离带的形状可近似的看成双曲线.记双曲线（，），其渐近线方程为，且过点.(1)求C的方程；(2)在点处存在一个强辐射中心，并释放着一个近似圆形的高能粒子团，记为，其半径可变（范围不超过隔离带），控制中心为更好的监测高能粒子区域，在点发射两条与相切的伽马射线，两条切线与电磁辐射隔离带分别交于，两点（异于点）.若经过点反射的光线不经过点，则系统才能正常工作，为使系统正常运行，需要摆放一个光线屏蔽器，求此光线屏蔽器所在位置的坐标.

参考答案1．C解析：由直线的方向向量为可知直线斜率，又因为倾斜角，且，所以.故选：C2．A解析：由标准方程可得，即；所以准线方程为.故选：A3．D解析：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，，，所以圆与圆相交，故选：D.4．C解析：从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球有种取法，其中全部为白球有种取法，则至少含有1个红球和1个白球的取法有种.故选：C.5．B解析：由题意，所以，解得，故选：B6．A解析：由题先将5名志愿者分成三组有种分法，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法，所以所求的不同的分配方案有种.故选：A.7．A解析：因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：由可设，则，因此，显然，，设平面的一个法向量为，则，令，则；所以，设直线与平面所成的角为，所以.故选：A8．B解析：由题意得，.设，则，∵点在椭圆上，∴，两式相减得，，即，∴，∴，∴C的离心率.故选：B.9．BC解析：的展开式的通项公式为，对于A，令，则，故的系数为，故A错误；对于B，令，则，故第4项的二项式系数为，故B正确；对于C，因为为奇数，故展开式中无常数项，故C正确；对于D，令，则所有项的系数之和为，故D错误；故选：BC.10．BCD解析：选项A：当时，，故直线恒过定点，故A错误；选项B：圆的圆心为，半径为，由圆心到轴的距离为，即等于半径，故圆与轴相切，故B正确；选项C：由题意在圆上，故当为圆的直径时，最大为2，故C正确；选项D：设到的距离为，则，，，当且仅当，即时等号成立.故D正确，故选：BCD11．AC解析：因为三棱柱是正三棱柱，取，中点，，分别以为轴建立如图所示坐标系，设，则，，，，，，，选项A：当时，，，此时与所成角的余弦值为，说法正确；选项B：当时，，，，，设平面的法向量，平面的法向量，则，解得平面的一个法向量，，解得平面的一个法向量，因为无解，所以平面与平面不平行，B说法错误；选项C：显然当，，即与重合，与重合时，由正三棱柱的性质可知平面平面，C说法正确；选项D：过作，垂足为，过作，垂足为，因为四边形为正方形，故，同理，故，故，所以，同理，，所以，而，故，所以，故为锐角即的平面角为锐角，而的平面角不超过的平面角，故二面角的平面角小于，故D错误.故选：AC12．2或14解析：由双曲线可知，所以，因此的最小值为；再由双曲线定义可知，可知2或14.故答案为：2或1413．解析：，故答案为：14．解析：设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，故，则.由图形对称性得，，∴.设，则，则，，∴，∵点在双曲线上，∴，故，∴，解得，∴D的渐近线方程为，即.故答案为：；.15．（1）因为是椭圆短半轴的一个顶点，则，又，则，由，则，所以C的方程为.（2）如下图所示：根据椭圆的定义及可得①②联立①②得，则的面积为，因为的面积是的面积为，所以的面积为2.16．（1）证明：因为，所以.因为，，所以平面PCD.因为平面ABCD，所以平面平面ABCD.（2）法一：因为，由（1）可知平面PCD.如图所示：在平面PCD内过D作，垂足为E，连结AE，由三垂线定理可得，因此是二面角的平面角.在等边中，，，所以.于是二面角的余弦值为.法二：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）可知z轴在平面PCD内.则，，，，.设平面APC的一个法向量为，由，可得，可取.又是平面PCD的法向量，故.因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.17．（1）由点M到点的距离比它到直线的距离小2，得点M到点的距离等于它到直线的距离，因此点M的轨迹C是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以C的方程为.（2）由（1）设点，，显然，由直线AP，AQ的斜率之和为0，得，解得，所以直线的斜率.18．（1）解法一：以为基底，则，，.因为.因此解法二：过点P作平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA，由，，所以，在，中，得，有，则，即AQ是的平分线，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由三余弦定理知，得，所以，，，，则，，所以.（2）解法一：因为而，所以，于是EF与BD所成的角的余弦值为.解法2：由（1）知，所以，于是EF与BD所成的角的余弦值为.19．（1）由