概率论与数理统计各章最典型试题

第1章试卷（1）一、选择题（20分，每题4分）1.已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=(

).

A.

0.15

B.

0.2C.

0.8

D.

12.设随机事件A与B互不相容，且有P(A)>0，P(B)>0，则下列关系成立的是(

).

A.

A，B相互独立

B.

A，B不相互独立C.

A，B互为对立事件

D.

A，B不互为对立事件3．同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为(

)

A．0.125

B．0.254、一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第2次取到的是合格品的概率为，第3次取到的合格品的概率为，则（）A．B．C．D．与的大小不能确定5．10颗骰子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点的概率是（）．A．B．C．D．二、填空题(每空4分，共12分)

1.设随机事件A，B为对立事件，P（A）=0.4，则P（B）=．2.观察四个新生儿的性别，设每一个出生婴儿是男婴还是女婴概率相等，则恰有2男2女的概率为______.3、设P（AB）=P（），且P（A）＝p，则P（B）＝．三、解答题（68分）1.(10分)向指定目标射击三枪，分别用A1、A2、A3表示第一、第二、第三枪击中目标，试用A1、A2、A3表示以下事件：（1）只有第一枪击中；（2）至少有一枪击中；（3）至少有两枪击中；（4）三枪都未击中.2.(10分)已知A，B是样本空间Ω中的两个事件，且Ω＝｛a,b,c,d,e,f,g,h｝，A＝｛b,d,f,h｝，B＝｛b,c,d,e,f,g｝，试求：（1）AB；（2）A＋B；（3）A－B；（4）.3.(6分)一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大.4.(9分)设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少.5.(10分)甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.6.(11分)一批产品中有20%的次品，现进行重复抽样，共抽取5件样品，分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.7.(12分)甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.8求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率.第1章试卷（2）选择题1、设A表示“甲种商品畅销，乙种商品滞销”，则其对立事件表示（）.A、甲种商品滞销，乙种商品畅销；B、甲种商品畅销，乙种商品畅销；C、甲种商品滞销，乙种商品滞销；D、甲种商品滞销，或乙种商品畅销.设每次试验成功的概率为，重复进行次试验取得次成功的概为.A、；B、；C、；D、3、有10张奖券中含3张中奖的奖券，每人只能购买1张，则前3个购买者都中奖的概率为（）.A、；B、0.3；C、；D、.4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以0.7为概率的事件是（）．A．都不是一等品B．恰有1件一等品C．至少有1件一等品D．至多有1件一等品5、设，则下面正确的等式是。A、；B、；C、；D、二、填空题1.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，那么P(A-B

)=______.2.袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的7张卡片，今从袋中任取3张卡片，则所取出的3张卡片中无4的概率为______.

3、设随机事件,互不相容，且，，则.4、一批电子元件共有100个,次品率为0.05.连续两次不放回地从中任取两个,则第二次才取到正品的概率为三、计算题1.(10分)已知A，B是样本空间Ω中的两个事件，且Ω＝｛x|1<x<9｝，A＝｛x|4≤x<6｝，B＝｛x|3<x≤7｝，试求：（1）AB；（2）A＋B；（3）B-A；（4）.2.(12分)一批产品由95件正品和5件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问：（1）第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大.（2）抽得一件为正品，一件为次品的概率.3.(9分)有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大.4.(12分)面对试卷上的10道4选1的选择题，某考生心存侥幸，试图用抽签的方法答题.试求下列事件的概率：（1）恰好有2题回答正确；（2）至少有2题回答正确；（3）无一题回答正确；（4）全部回答正确.5.(11分)许多体育比赛采用五战三胜制，甲方在每一场比赛中胜乙方的概率是0.6（没有和局），求甲方最后取胜的概率.第2章试卷（1）1、有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品.现从中每次任取1件，有放回地取5件，试求这5件所含次品数的分布列.（10分）2、设随机变量的分布密度为p（x）＝，求：（1）常数a；（2）P（＞3）.3、已知随机变量的分布列为，（1）求＝2－的分布列；（2）求＝3＋2分布列.（10分）4、设服从N（5，3），求P（＜10），P（）.（10分）5、设为总体中抽取的样本()的均值,求.（12分）6、某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取100件，试求下列事件的概率：（1）被检验的100件中恰好有4件不合格品；（2）不合格的件数不少于4件；（3）不合格的件数在4到6之间.（12分）7、已知随机变量的分布密度为＝，且＝2－，试求的分布密度.（12分）8、设随机变量服从（-2，２）上的均匀分布，求随机变量的概率密度函数为.（12分）9、公共汽车门的高度是按男子的碰头机会在1%以下来设计的，男子的身高服从正态分布，平均身高是170cm，标准差（即均方差）是6cm，问车门高度至少应设计多少?(Φ第2章试卷（2）1、设随机变量的分布密度为p（x）＝，求P（x）与P（）.2、设随机变量的分布函数为F（x）＝,求P（0.3<<0.7）（10分）3、连续型随机变量概率密度函数是=求常数c.（10分）设C、R、V、X具有概率密度，求（1）常数A；（2）分布函数。已知随机变量的分布列为，（1）求＝1+2的分布列；（2）求分布列.（10分）6、设随机变量X在区间上服从均匀分布，Y=tanX,试求Y的概率密度。（12分）7、某电子元件的使用寿命服从以＝的指数分布，其分布函数为=（1）求随机变量的分布密度p(x)；（2）作出p(x)及F(x)的图象；（3）求这类元件使用寿命1000小时以上的概率.（14分）8、设服从N（0，1），试求：（1）P（）；（2）P（＞2）；（3）P（≤－1.8）；（4）P（）（5）P（）.（12分）9、设某批鸡蛋每只的重量X(以克计)服从N(50，52)分布，

(1)从该批鸡蛋中任取一只，求其重量不足45克的概率.

(2)从该批鸡蛋中任取5只，求至少有2只鸡蛋其重量不足45克的概率.（11分）第3章试卷（1）1、已知随机变量的分布列为P（＝m）＝，m＝2,4,…,18,20,求E.（9分）设C、R、V、的概率密度为，求期望E。(10分)3、卖水果的某个体户，在不下雨的日子每天可赚100元，在雨天则要损失10元，该地区每年下雨的日子约有130天，求该个体户每天获利的数学期望（一年按365天计）.（10分）4、若，求.（6分）5、对球的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间内，求球体积的均值.（13分）6、口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进行4次，记为红球出现的次数，求的数学期望（12分）7、某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75.求射击次数的数学期望与方差分别为和（13分）8、学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20％、70％、10％。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。（）（14分）9、设为连续型随机变量，的密度函数当时恒为零，且数学期望存在。证明：对任意常数，有（13分）第3章试卷（2）1、设C、R、V、具有概率密度，求期望E。(9分)2、某射手每次射击打中目标的概率都是0.8，现连续向一目标射击，直到第一次击中为止.求“射击次数”的期望.（9分）3、已知随机变量的分布列为，求E，E（2－3），E2，E（2－2+3）（12分）4、已知独立，，求。（11分）5、若，求.（10分）6、已知随机变量的分布列为，（1）求E（）；（2）求.（12分）7、若，且E=12，D=8，求n和p.（12分）8、已知随机变量，求的密度函数。（12分）9、某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.（13分）第4章试卷（1）1、设随机变量的方差相关系数求方差。（13分）2.设随机变量的联合密度函数求(1)常数A；(2)条件密度函数；(3)讨论的相关性（15分）3、设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布.试证明随机变量与相互独立.（15分）4、已知的联合分布函数为F＝＋＋，试求：1）F（1,1）；2）P(0，1)；3）边缘分布函数，并考察随机变量与的独立性.（15分）5、设与相互独立，其密度分别为＝，＝，求＋的密度.（15分）6、设随机变量(均匀分布)，(指数分布)，且它们相互独立，试求的密度函数.（13分）7、某彩电公司每月生产20万台背投彩电，次品率为0.0005.检验时每台次品未被查出的概率为0.01.试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率.（14分）第4章试卷（2）1、设随机变量的联合分布律为若，求.（12分）2、设随机变量与相互独立，，分别服从参数为的指数分布，试求的密度函数.（15分）3、已知的联合分布函数为F＝，试求：1）边缘分布函数；2）联合密度、边缘密度，并考察随机变量与的独立性.（16分）4、设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度为＝,如果各周的需要量是互相独立的.试求：1）两周的需要量的概率密度；2）三周的需要量的概率密度.（16分）5、一本5万字的学生用书，按常规允许出错率为0.0001，试求该书不多于10个错误的概率.（14分）6、某公司电话总机有200台分机，每台分机有6%的时间用于外线通话，假定每台分机用不用外线是相互独立的，试问该总机至少应装多少条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候.（14分）7、已知随机变量，，试求：方差，协方差，相关系数（13分）第5章试卷（1）1、设(，，)是正态总体N(,)的一个样本，其中是未知量,是已知量，问下列各式哪些是统计量？（12分）1）；2）－；3）min{}；4）；5）＋2－3；6）＋2－.2、求下列各题中的常数k.（13分）设～，P(＞k)＝0.10；2）设～，P(＜k＝0.95；3）设～，P(＞k)＝0.05；4）设～，P(＞k)＝0.05；5）设～，P(＞k)＝0.953、设个电子管的寿命()独立同分布，且()，求个电子管的平均寿命的方差.（10分）4、设总体的分布密度为＝，＞0为待估参数，(，，…，)为的一个样本，求的矩估计量.（12分）5、已知灯泡寿命的标准差＝50小时，从中抽取25个灯泡检验，其平均寿命是500小时，试以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计.（13分）6、化肥厂用自动打包机包装化肥．某日测得9包化肥的质量（kg）如下：49.749.850.350.549.750.149.950.550.4．已知每包化肥的质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量为50kg?（＝0.05）（12分）7、两台车床生产同一种滚珠(滚珠直径按正态分布)，从中分别抽取6个和9个产品，试比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否相等（＝0.10）？（13分）甲车床：34.538.234.234.135.133.8乙车床：34.542.341.743.142.442.241.843.042.9.8、用切削机床进行金属品加工时，为了适当地调整机床，需要测定刀具的磨损速度．在一定时间（例如每隔一小时）测量刀具的厚度，得到数据如下：试求刀具厚度关于切削时间的线性回归方程．（15分）第5章试卷（2）1、设总体服从泊松分布，即分布列为P(＝m)＝，＞0为参数，m＝1,2，…，试求样本(，，…，)的联合分布列.（10分）2、对于给定的临界概率及自由度k（或k1,k2）,查表求符合题意的相应临界值.（12分）1）已知＝0.0838，求及；2）已知＝0.01，k＝51，求及；3）已知＝0.01，k＝23，求及，使P()＝，P()＝；4）已知＝0.01，k1＝8，k2＝5，求及，使P()＝，P()＝.3、设总体的分布列为，式中0＜＜0.25为待估参数，(，，…，)为样本，试求的矩估计量.（12分）4、设的分布律为123已知一个样本值，求参数的极大似然估计值。（12分）5、用某仪器测量某零件的温度，重复测量5次，量得温度如下（单位：℃）：12501265124512601275，假定测量温度服从正态分布，且测量精度为11，试找出平均温度的置信区间（＝0.05）.（12分）6、已知在正常生产情况下某种汽车零件的质量服从正态分布N(54,0.752)．在某日生产的零件中抽取10件，测得质量（g）如下：如果标准差不变，该日生产的零件质量的均值是否有显著差异？（＝0.05）（12分）7、某种羊毛在处理前后，各抽取样本，测得含脂率如下(%)：处理前：1918213066428123027处理后：19247820123129134.若羊毛含脂率按正态分布，问处理后含脂率有无显著变化（＝0.05）（12分）（单位：cm）的实测值如下表女孩年龄4.55.56.57.58.59.510.5平均身高101.1106.6112.1116.1121.0125.5129.2试求女孩长身高关于年龄的线性回归方程.（16分）概率与统计试卷（1）1、(9分)从0，1，2，3，4，5这六个数中任取三个数进行排列，问取得的三个数字能排成三位数且是偶数的概率有多大.2、（9分）用三个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5、0.3、0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94、0.90、0.95，求全部产品的合格率.3、（11分）某机械零件的指标值在［90，110］内服从均匀分布，试求：（1）的分布密度、分布函数；（2）取值于区间（92.5，107.5）内的概率.4、（9分）某射手每次射击打中目标的概率都是0.8，现连续向一目标射击，直到第一次击中为止.求“射击次数”的期望.5、（17分）对于下列三组参数，写出二维正态随机向量的联合分布密度与边缘分布密度.（1）30110.5（2）110.50.50.5（3）1210.506、（15分）求下列各题中有关分布的临界值.1），；2），；3），.7、（11分）某水域由于工业排水而受污染，现对捕获的10条鱼样检测，得蛋白质中含汞浓度（%）为若生活在这个区域的鱼的蛋白质中含汞浓度～N（，），试求＝E，＝D的无偏估计.8、（12分）某种导线的电阻服从正态分布N(，)，要求电阻的标准差不得超过0.004欧姆.今从新生产的一批导线中抽取10根，测其电阻，得s*＝0.006欧姆.对于＝0.05，能否认为这批导线电阻的标准差显著偏大？9、（7分）某校电器（3）班学生期末考试的数学成绩x（分）近似服从正态分布N（75，10），求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几？概率与统计试卷（2）1、(9分)已知某城市中有50%的用户订日报，65%的用户订晚报，85%用户至少这两种报中的一种，问同时订两种报的用户占百分之几.2、（9分）从4台甲型、5台乙型电脑中，任取3台，求其中至少要有甲型与乙型电脑各一台的概率。3、（10分）在10件产品中有3件次品，从中任取2件，用随机变量表示取到的次品数，试写出的分布列.4、（11分）盒中有五个球，其中有三白二黑，从中随机抽取两个球，求“抽得的白球数”的期望.5、（12分）设随机变量的分布密度为=且＝3＋2，求E与D.6、（12分）一机器制造直径为的圆轴，另一机器制造内径为的轴衬，设的联合分布密度为=，7、（13分）设，，…，是总体的样本，试求：E、D、E.1）～N(,)；2）～b(1,p).8、（12分）对于总体有E＝，D＝，(，)是的样本，讨论下列统计量的无偏性与有效性.＝＋，＝＋－，＝＋.9、（12分）打包机装糖入包，每包标准重为100斤，每天开工后，要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准(100斤).某日开工后，测得九包糖重如下(单位：斤)：99.398.7100.5101.298.399.799.5102.1100.5如果打包机装糖的包重服从正态分布，问该天打包机工作是否正常（＝0.05）？概率与统计试卷（3）1、（8分）在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率.2、（9分）已知的展开式中第三项的二项式系数是66，求展开式中含的项的系数。3、（9分）在一个繁忙的交通路口，单独一辆汽车发生意外事故的概率是很小的，设p＝0.0001.如果某段时间内有1000辆汽车通过这个路口，问这段时间内，该路口至少发生1起意外事故的概率是多少？4、（10分）设随机变量的分布密度为=求E.5、（12分）设随机变量的分布密度为=，求E，D，E（－），D（－）.6、（8分）射击比赛，每人射四次（每次一发），约定全部不中得0分，只中一弹得15分，中二弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分.甲每次射击命中率为0.1，0.2，0.2，0.3，0.2，问他期望能得多少分？7、（12分）随机向量的联合分布密度为=，求：1）系数A；2）的边缘分布密度.8、（12分）设总体的分布密度为()＝，＞0为参数，，，…，是总体中的一个样本，试求：E、D、E、E.9、（10分）设总体的分布密度为＝，>0为待估参数，现从中抽取10观察值，具体数据如下求的最大似然估计值.10、（10分）已知某一试验，其温度服从正态分布N(，)，现在测量了温度的5个值为：12501265124512601275问是否可以认为＝1277（＝0.05）？概率与统计试卷（4）1、（10分）设集合，从中任取3个互异的数排成一个数列，求该数列为等比数列的概率．2、（10分）从－9，－7，0，1，2，5这6个数中，任取3个不同的数，分别作为函数中的的值，求其中所得的函数恰为偶函数的概率。3、（10分）设随机变量的分布列为，试求：（1）常数a；（2）P（）；（3）P（＞1）.4、（10分）射击比赛，每人射四次（每次一发），约定全部不中得0分，只中一弹得15分，中二弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分.甲每次射击命中率为，问他期望能得多少分？5、（12分）设随机变量的分布密度为=且E＝，求常数，并D.6、（14分）随机向量在矩形区域内服从均匀分布，求的联合分布密度与边缘分布密度，又问随机变量是否独立？7、（12分）已知某样本值为：2.06，2.44，5.91，8.15，8.75，12.50，13.42，15.78，17.23，18.22，22.72.试求样本平均值、样本方差、样本修正方差.8、（11分）设总体服从两点分布，分布列为P(＝x)＝，x＝0,1，0<<1为待估参数，为的一观察值，求的最大似然估计值.9、（11分）已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.40，0.052)，现在测定了5炉铁水，其含碳量为4.344.404.424.304.35如果估计方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳量为4.40（＝0.05）？《概率论与数理统计》复习大纲与复习题09-10第二学期一、复习方法与要求学习任何数学课程，要求掌握的都是基本概念、基本定理、基本方法，《概率论与数理统计》同样.对这些基本内容，习惯称三基，自己作出罗列与总结是学习的重要一环，希望尝试自己完成.学习数学离不开作题，复习时同样.正因为要求掌握的是基本内容，将课件中提供的练习题作好就可以了，不必再找其他题目.如开学给出的学习建议中所讲：作为本科的一门课程，在教材中我们讲述了大纲所要求的基本内容.考虑到学员的特点，在学习中可以有所侧重.考试也有所侧重，期末考试各章内容要求与所占分值如下：第一章随机事件的关系与运算，概率的基本概念与关系，约占30分.第二章一维随机变量的分布，约占25分.第三章二维随机变量的分布，仅要求掌握二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律、随机变量独立的判别与函数分布的确定.约占10分.第四章随机变量的数字特征.约占15分.第五、六、七、八章约占20分.内容为：第五章：契比雪夫不等式与中心极限定理.第六章：总体、样本、统计量等术语；常用统计量的定义式与常用分布（分布、分布）；正态总体样本函数服从分布定理.第七章：矩估计，点估计的评选标准，一个正态总体期望与方差的区间估计.第八章：一个正态总体期望与方差的假设检验.二、期终考试方式与题型本学期期末考试类型为集中开卷考试，即允许带教材与参考资料.三、应熟练掌握的主要内容1.理解概率这一指标的涵义.2.理解统计推断依据的原理，即实际推断原理，会用其作出判断.3.理解事件的包含、相等、和、差、积、互斥、对立的定义，掌握样本空间划分的定义.掌握事件的运算律.4.熟练掌握用简单事件的和、差、积、划分等表示复杂事件；掌握事件的常用变形：（使成包含关系的差），（独立时计算概率方便），（使成为互斥事件的和）（是一个划分）（利用划分将转化为若干互斥事件的和）（即一个划分）若，则.5.掌握古典概型定义，熟悉其概率计算公式.掌握摸球、放盒子、排队等教材所举类型概率的计算.6.熟练掌握事件的和、差、积、独立等基本概率公式，以及条件概率、全概、逆概公式，并利用它们计算概率.7.掌握离散型随机变量分布律的定义、性质，会求简单离散型随机变量的分布律.8.掌握0-1分布、二项分布、泊松分布的分布律.9.掌握连续型随机变量的概率密度的定义与性质.10.掌握随机变量分布函数的定义、性质.11.理解连续型随机变量的概率密度曲线、分布函数以及随机变量取值在某一区间上的概率的几何意义.12.掌握随机变量在区间内服从均匀分布的定义，会写出的概率密度.13.掌握正态分布概率密度曲线图像；掌握一般正态分布与标准正态分布的关系定理；会查正态分布函数表；理解服从正态分布的随机变量，其概率与参数和的关系.14.离散型随机变量有分布律会求分布函数；有分布函数会求分布律.15.连续型随机变量有概率密度会求分布函数；有分布函数，会求概率密度.16.有分布律或概率密度会求事件的概率.17.理解当概率时，事件不一定是不可能事件；理解当概率时，事件不一定是必然事件.18.掌握二维离散型随机变量的联合分布律定义；会利用二维离散型随机变量的联合分布律计算有关事件的概率；有二维离散型随机变量的联合分布律会求边缘分布律以及判断是否独立；会确定二维离散型随机变量函数的分布.19.掌握期望、方差定义式与性质，会计算上述数字.20.掌握0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的参数与期望、方差的关系.21．了解契比雪夫不等式.22.会用中心极限定理计算概率.理解拉普拉斯中心极限定理的涵义是：设随机变量服从二项分布，当n较大时，则，其中23.了解样本与样本值的区别，掌握统计量，样本均值与样本方差的定义.24.了解分布、分布的概率密度图象，会查两个分布的分布函数表，确定上分位点.25.了解正态总体中，样本容量为n的样本均值与服从的分布.26.掌握无偏估计量、有效估计量定义.27.会计算参数的矩估计.28.会计算正态总体参数与的区间估计.29.掌握一个正态总体，当已知或未知时，的假设检验，的假设检验.30.了解假设检验的两类错误涵义.四、复习题注为了方便学员复习，提供复习题如下，这些题目都是课件作业题目的改造，二者相辅相成，希望帮助大家学懂基本知识点.期终试卷中70分的题目抽自复习题.（答案供参考）（一）判断题第一章随机事件与概率1.写出下列随机试验的样本空间（1）袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取1个，观察取到球的号码，样本空间为.正确（2）袋中有编号为1、2、3的3个球，从中随机取2个，观察取到球的号码，样本空间为错误解析同时取2个球，不可能取到2个号码相同的球，如，所以是错误的.2.袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设（取到1、2、3号球），（取到奇数号球），（取到3、4、5号球），（取到4、5号球），（取到2号球），则（1）（取到1、1、2、3、3、5号球）错误解析取到1号球是一个结果，即一个样本点，其含在事件中也含在事件中，事件是将，的样本点放到一起构成新的事件，“取到1号球”仍然是一个样本点，不能记为1、1，同理3、3也是错误的.（2）（取到2号球）错误解析事件即，其由属于而不属于的样本点构成，只有“取到2号球”属于，不属于，所以，故是错误的.（3）（取到1、2、3、4、5号球）错误解析事件由属于且属于的样本点构成，（取到3、4、5号球），（取到4、5号球），共同的样本点为（取到4、5号球），所以（取到4、5号球），故（取到1、2、3、4、5号球）是错误的.（4）（取到3号球）正确解析参照对事件的分析，可知（取到3号球）是正确的.（5）（取到1、2、3、4、5号球）正确解析参照对事件的分析，可知（取到1、2、3、4、5号球）是正确的.（6）（取到1、2、3、4、5号球）错误解析事件没有共同的样本点，即事件与互斥，，故（取到1、2、3、4、5号球）是错误的.（7）（取到4，5号球）；正确解析为的对立事件，其由所有属于样本空间而不属于事件的样本点组成。（8）（取到2、4、5号球）.正确解析先确定，由与共同的样本点组成，（取到1、3号球），为的对立事件，所以（取到2、4、5号球）是正确的。（9）不等于样本空间.错误解析先确定的内容，（取到1、2、3号球），（取到3、4、5号球），与的和事件应该为（取到1、2、3、4、5号球）。而样本空间即所有结果的集合就是（取到1、2、3、4、5号球），所以。故称不等于样本空间是错误的。3.甲、乙二人打靶，每人射击一次，设分别为甲、乙命中目标，用事件的关系式表示下列事件，则（1）（甲没命中目标）错误（2）（甲没命中目标）正确解析事件（甲没命中目标），涵义为不考虑乙是否命中，仅考虑甲，故（2）（甲没命中目标）是正确的；而表示事件（甲没命中目标且乙命中目标），故（1）（甲没命中目标）是错误的.（3）（仅甲命中目标）；错误解析为甲命中目标，其不管乙是否命中，而（仅甲命中目标）意味乙没有命中目标，所以（仅甲命中目标）。（4）（甲、乙均命中目标）错误（5）（甲、乙均命中目标）正确解析因为与的和事件表示或或，积事件表示且.分别为甲、乙命中目标，所以表示或甲命中目标，或乙命中目标，表示甲命中目标且乙命中目标，即甲、乙均命中目标，所以（4）错，（5）正确.4.一批产品中有3件次品，从这批产品中任取5件检查，设（5件中恰有i件次品），i=0,1,2,3叙述下列事件，则（1）（5件中恰有0件次品）=（5件中没有次品）正确解析由事件的定义，显然（5件中恰有0件次品）=（5件中没有次品）是正确的.（2）（5件中恰有1件次品）错误（3）（5件中至少有1件次品）正确解析从这批产品中任取5件检查，从取到次品的数目的角度可以将样本点分为3类，没有次品，有1件次品，有2件次品，有3件次品.为没有次品，其对立事件为有次品，故有1件次品，2件次品，3件次品样本点的总和为的对立事件.故（2）（5件中恰有1件次品）是错误的，（3）（5件中至少有1件次品）是正确的.（4）（5件中最多有2件次品）正确解析注意该批产品中有3件次品，从取到次品数目的角度看，取5件检查次品数最多有3件.因为为5件中恰有3件次品，其对立事件则为没有次品，或有1件次品，或有2件次品，故（5件中最多有2件次品）是正确的.（5）=（5件中至少有3件次品）错误（6）=（5件中至少有2件次品）正确解析表示或或，则是有2件次品，故（5）=（5件中至少有3件次品）是错误的，（6）=（5件中至少有2件次品）是正确的.5.指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？（1）错误（2）正确（3）正确（4）错误（5）错误（6）正确（7）若，则；正确（8）若，则；错误（9）若，则.错误（10）；正确（11）若互斥，则。正确解析由下面图示可见，所以（1）是错误的，（2）是正确的.由下面图可见，所以（3）是正确的，（4）是错误的.（5）（6）是考察对事件运算律中德.摩根律的掌握，显然（6）正确，（5）错误.（7）（8）（9）图（a）事件，即事件的样本点都是事件的样本点，故仍然为，所以是正确的。为事件与共同的样本点构成，因为事件的样本点都是事件的样本点，故，所以是错误的。（a）(b)(c)图（b）红色区域为，图（c）绿色区域为，显然绿色区域包含红色区域，即，所以是错误的.（10），式的两边均为与的和事件，由事件和的运算满足交换律也可知该式成立。（11）首先应该清楚事件差的含义，是属于而不属于的样本点构成的事件。看下图，与互斥，事件的所有样本点也只有的样本点满足属于而不属于，所以是正确的。6.袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设（取到1、2、3号球），（取到奇数号球），（取到3、4、5号球），（取到4、5号球），（取到2号球），则（1）正确解析等可能概型事件的概率为随机试验为从1、2、3、4、5的5个球中随机取一个，从取球号数角度看共有5种可能，即样本空间中含5个样本点，且取到每一个球的可能性相等，该随机试验为等可能概型.事件（取到1、2、3号球），含三个样本点，所以是正确的.（2）正确解析概率有性质：互斥事件和的概率等于概率的和.事件（取到奇数号球），（取到2号球），两事件没有共同的样本点，即两事件互斥.，所以是正确的.（3）错误（4）正确解析方法1事件（取到1、2、3号球），（取到2号球），与非互斥，与和的概率为.方法2因为事件包含事件，故，所以.总之（3）是错误的，（4）是正确的.（5）错误（6）正确解析事件（取到1、2、3号球），（取到奇数号球）=（取到1、3、5号球），事件与有共同的样本点，不是互斥的，与的积事件取到1、3号球），故，所以（5）是错误的；（6）是正确的.（7）；正确（8）；错误（9）；正确（10）.错误解析（7）、（8）、（9）、（10）均为计算两个事件茬的概率，两个事件差的概率公式为：对任意事件有，若事件事件包含事件，则。由题设（取到1、2、3号球），（取到奇数号球），（取到4、5号球），（取到2号球）。因为事件包含事件，所以（7）是正确的。而事件不包含事件，所以（8）是错误的，（9）是正确的；同样事件不包含事件，所以（10）是错误的.（11）；正确（12）；正确（13）；正确（14）；正确（15）。正确解析（11）该随机试验的样本空间（取到1、2、3、4、5号球），由题设（取到4、5号球），显然（取到1、2、3号球），所以，。（12）由题设（取到1、2、3号球），（取到奇数号球）=（取到1、3、5号球），故事件取到1、3号球），所以是正确的。（13）由题设（取到3、4、5号球），（取到2号球），两事件没有共同的样本点，即两事件互斥，为不可能事件，故。（14）的计算有两种方法：方法1条件概率计算公式由前面的计算结果知道，，所以。方法2由条件概率的本质涵义。为在已知事件发生条件下事件发生的概率，由题设（取到1、2、3号球），（取到奇数号球）=（取到1、3、5号球），发生即已经知道取到的是1、2、3号球中的一个，其中只有1、3号球属于，故发生条件下事件发生的概率。（15）为在已知事件发生条件下事件发生的概率，由题设（取到3、4、5号球），（取到4、5号球），发生了，一定是取到了4、5号球中的一个，无论取到哪一个事件均发生，故。7.（1）设事件互斥，，=0.3，则.正确（2）设事件互斥，，则=0.7.错误（3）设，，，则.正确（4）设事件相互独立，，=0.3，则.错误（5）设事件相互独立，，=0.3，则.正确（6）设事件相互独立，，=0.3，则.正确（7）设事件相互独立，，则。正确解析（1）参考6（2）的解析，可知互斥，所以是正确的.（2）由上面的分析，互斥，，故所以=0.7是错误的.（3）没有互斥的前提，与两个事件和的概率则，所以是正确的.（4）（5）（6）均在事件相互独立条件下讨论问题，事件相互独立必然满足，所以是错误的，是正确的。因为，所以是正确的。（7）参考5题中对“（4）是错误的”的分析，应该有。又当随机事件与相互独立时，与、与、与均相互独立，故，综上有。8.设事件，则（1）正确（2）错误（3）正确（4）错误（5）正确（6）正确解析若事件，如图事件，可见；且容易得出结论，又由概率基本性质，若事件，则.所以（1）是正确的；（2）是错误的，（3）是正确的；（4）是错误的，（5）是正确的；（6）因为，是正确的.评注题目6-8是在考核对概率基本性质（基本关系式）的理解.9.古典概型(1).箱中有2件次品与3件正品，一次取出两个，则①恰取出2件次品的概率为正确②恰取出2件次品的概率为错误③恰取出1件次品1件正品的概率为正确④恰取出1件次品1件正品的概率为错误解析这是一道等可能概率问题中的超几何概型问题，从5件产品中一次取2件共有种取法，即总的样本点数为.注意不存在次序问题，不应该用.恰取出2件次品，只有一种可能2件次品全取出，即，所以①恰取出2件次品的概率为是正确的；②恰取出2件次品的概率为是错误的.恰取出1件次品1件正品有种可能，所以③恰取出1件次品1件正品的概率为是正确的；④恰取出1件次品1件正品的概率为是错误的.(2).上中下三本一套的书随机放在书架上，则①恰好按上中下顺序放好的概率为正确②恰好按上中下顺序放好的概率为错误③上下两本放在一起的概率为正确④上下两本放在一起的概率为错误解析①②上中下三本书摆放共有种可能，恰好按上中下顺序放好仅有一种可能，所以①恰好按上中下顺序放好的概率为是正确的，②恰好按上中下顺序放好的概率为是错误的.③④将上下两本书作为一个整体，与“中”排队，有种排法，而上下两本书又有种排法，故上下两本放在一起共有放法，所以③上下两本放在一起的概率为是正确的，④上下两本放在一起的概率为是错误的.评注题目9-10是在考核对等可能概型概率计算的理解.10.若则（1）正确（2）错误（3）正确（4）错误解析若，事件有资格做条件，事件发生条件下事件的条件概率的定义为；若，事件有资格做条件，事件发生条件下事件的条件概率的定义为.由题设，所以（1）是正确的，（2）是错误的.（3）是正确的，（4）是错误的.11.已知10只电子元件中有2只是次品，在其中取2次，每次任取一只，作不放回抽样，则（1）第一次取到正品正确（2）第一次取到次品正确（3）第一次取到正品，第二次取到次品正确（4）第一次取到正品，第二次取到次品错误（5）第一次取到正品，第二次取到次品正确（6）一次取到正品，一次取到次品错误解析（1）（2）仅考虑第一次取到正品或次品的概率，总的样本点数为10，取到正品的样本点数为8，取到次品的样本点数为2，所以（1）第一次取到正品是正确的，（2）第一次取到次品是正确的.（4）（5）用两种方法计算（第一次取到正品，第二次取到次品）事件的概率.方法1样本点总数为，（第一次取到正品，第二次取到次品）的样本点数为，所以第一次取到正品，第二次取到次品）.方法2设第一次取到正品），第二次取到正品），则第一次取到正品，第二次取到次品）..综上，（4）第一次取到正品，第二次取到次品是错误的，错在样本点总数计为而不是，没有考虑顺序.（5）第一次取到正品，第二次取到次品是正确的.（6）事件（一次取到正品，一次取到次品）对顺序没要求，可以是第一次取到正品，第二次取到次品，也可以是第一次取到次品，第二次取到正品.方法1样本点总数为，事件（一次取到正品，一次取到次品）所含样本点数为，所以一次取到正品，一次取到次品.方法2设第一次取到正品），第二次取到正品）一次取到正品，一次取到次品所以（6）一次取到正品，一次取到次品是错误的.12．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一种零件，产量分别占总产量的25%、35%、40%，每个车间的产品中，次品分别占5%，4%，2%。现在从产品中随意抽检一件，设、、分别为抽到甲、乙、丙车间的产品，为抽到次品，（1）则在已知取到甲车间产品的条件下取到次品的概率应该记作①；正确②；错误③。错误则在已知取到次品的条件下取到甲车间产品的概率应该记作①；正确②；错误③。错误解析条件概率符号的规定为：作为已知发生的事件写在括号中竖线的右侧另一事件写在括号中竖线的左侧。由题设（取到甲车间产品），（抽到次品），故在已知取到甲车间产品的条件下取到次品的概率应该记作，①是正确的，②、③均是错误的。（2）则在已知取到甲车间产品的条件下，取到次品的概率。正确则在已知取到乙车间产品的条件下，取到次品的概率。正确则在已知取到丙车间产品的条件下，取到次品的概率。正确解析首先不言而喻的是每件产品会等可能的被取到。题目中给出各车间的次品率，如甲车间的次品率为0.05，相当于甲车间的产品中次品占全部产品的5%。若已知取到甲车间的产品，此时取到次品的概率即次品占甲车间产品的比率5%=0.05，所以是正确的。其余同理。（3）则抽到次品的概率为①。错误②。正确解析抽到的次品必然属于甲、乙、丙三个车间中的某一个，、、即是一个完备事件组也称作划分，即事件可以用、、划分为互斥的三部分，。所以再由乘法公式，如，同理可以计算、。综上分析可知②是正确的。①，简单的将各车间的次品率相加是错误的。（4）已经计算得抽到次品的概率为0.0345，则在已知抽到次品的条件下抽到甲车间产品的概率为①。正确②。错误在已知抽到次品的条件下抽到甲车间产品的概率记为是对的，条件概率的定义式为，所以①正确，②是错误的。13.设甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有7只红球，3只白球，现在从甲袋中随机取一球，放入乙袋，再从乙袋中随机取一球，则：（1）两次都取到红球的概率为正确（2）两次都取到红球的概率为错误（3）已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为错误（4）已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率为错误（5）从乙袋中取到红球的概率为；正确（6）已知从乙袋取到红球，从甲袋中取到红球的概率为.正确解析设从甲袋中取到红球），从乙袋中取到红球），（1）（2）两次都取到红球其中的思路是：从甲袋取到红球事件已经发生了，即将1个红球放到乙袋中，乙袋中有11个球，其中8个红球，故此时取到红球的概率为.所以（1）两次都取到红球的概率为是正确的，（2）两次都取到红球的概率为是错误的.（3）如前面所设，事件“已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球”的概率应该记为，如上面的分析，，所以（3）已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为是错误的.（4）已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率是条件概率，即，.所以（4）已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率为是错误的.（5）从乙袋中取到红球有两种可能，一为从甲袋取到红球且从乙袋中取到红球，另一为从甲袋取到白球且从乙袋中取到红球，可以用全概公式计算：所以（5）从乙袋中取到红球的概率为是正确的。（6）根据所设事件，“已知从乙袋取到红球，从甲袋中取到红球的概率”应该表示为，即已知事件发生了，求在事件发生条件下，事件发生的条件概率。由逆概公式（贝叶斯公式）有，所以（6）是正确的。评注11-13是在考核对条件概率，乘法公式的理解.14.某人打靶，命中率为0.2，则下列事件的概率为（1）第一枪没打中的概率为0.8；正确（2）第二枪没打中的概率为0.8；正确（3）第二枪没打中的概率为0.16错误（4）第一枪与第二枪全打中的概率为错误（5）第一枪与第二枪全打中的概率为正确（6）第三枪第一次打中的概率为.正确（7）射击三枪中仅打中一枪的概率为.解析题目给出“命中率为0.2”，相当于每次打靶命中与否都是相互独立的.既然各枪打中的概率为0.2，各枪没打中的概率也就均为0.8，所以（1）第一枪没打中的概率为0.8，（2）第二枪没打中的概率为0.8，都是正确的，（3）第二枪没打中的概率为0.16，是错误的.(第一枪与第二枪全打中)是第一枪打中且第二枪打中的积事件，又两事件相互独立，P(第一枪与第二枪全打中)，所以（4）第一枪与第二枪全打中的概率为是错误的，（5）第一枪与第二枪全打中的概率为是正确的.“第三枪第一次打中”当然是第一、二抢没打中，第三枪打中，所以（6）第三枪第一次打中的概率为是正确的.射击三枪中仅打中一枪，可以是第一枪打中第二、三枪未打中，也可以是第二枪打中第一、三枪未打中，还可以是第三枪打中第一、二枪未打中，即有三种可能，所以（7）射击三枪中仅打中一枪的概率为是错误的，正确的是。15.几点概率思想（1）概率是刻画随机事件发生可能性大小的指标.正确（2）频率稳定性指的是随着试验次数的增多，事件发生的频率接近一个常数.正确（3）实际推断原理为：一次试验小概率事件一般不会发生.正确（4）实际推断原理为：一次试验小概率事件一定不会发生.错误第二章随机变量及其分布16.随机变量的分布律为，则（1）正确（2）错误解析分布律有性质：所有概率和为1.故应该有，所以（1）是正确的，（2）是错误的.17.在6只同类产品中有2只次品，4只正品.从中每次取一只，共取5次，每次取出产品立即放回，再取下一只，设为5次中取出的次品数，则 （1）第3次取到次品的概率为0.错误（2）第3次取到次品的概率为.正确（3）5次中恰取到2只次品的概率正确（4）5次中恰取到2只次品的概率错误（5）最少取到1只次品的概率正确（6）最少取到1只次品的概率错误（7）随机变量的分布律为；错误（8）随机变量的分布律为.正确解析由题设每次取出产品立即放回，再取下一只，故每次取到次品的概率相同，均为，共取5次，每次两个结果，次品或正品，该随机试验为5重伯努利实验，5次中取到的次品数服从二项分布，的概率，即5次中恰取到只次品的概率为，所以（1）第3次取到次品的概率为0是错误的，（2）第3次取到次品的概率为是正确的.（3）5次中恰取到2只次品的概率是正确的，（4）5次中恰取到2只次品的概率是错误的.（5）（最少取到1只次品）的对立事件是5次中没取到次品，（没取到次品）即的概率，故（5）最少取到1只次品的概率是正确的，（6）最少取到1只次品的概率是错误的.为5次中恰取到1只次品的概率，即的概率.求随机变量的分布律，应该将的所有可能取值与取值的概率列出，由前面的分析知道的概率为是正确的，（7）错在没有列出的范围，（8）是正确的。18.某交通路口一个月内发生交通事故的次数服从参数为3的泊松分布，则（1）该交通路口一个月内发生3次交通事故的概率.错误（2）该交通路口一个月内发生2次交通事故的概率.正确（3）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率.错误（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为.正确解析泊松分布的分布律为，例如，的概率为.所以（1）该交通路口一个月内发生3次交通事故的概率为，故是错误的.（2）该交通路口一个月内发生2次交通事故的概率是正确的.（3）（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率，即的概率，，故（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为是正确的，而称交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为是错误的.19. 袋中有2个红球3个白球，从中随机取一个球，当取到红球令，取到白球令，则（1）称为服从分布.正确（2）为连续型随机变量.错误（3）的分布律为.错误（4）的分布律为.正确（5）的分布函数为错误（6）的分布函数为正确解析由题设仅取数0与1，且取0与1的概率均大于0，所以（1）称为服从分布是正确的.分布是离散型随机变量的分布，服从分布，显然不会是连续型随机变量，所以（2）为连续型随机变量是错误的.因为的概率即取到红球的概率，故，，所以（3）的分布律为是错误的，（4）的分布律为是正确的.随机变量的分布函数的定义为。当时分布函数的函数值，即随机变量取值小于或等于0的概率，应该为，即，而（5）定义，显然（5）是错误的。再分析时分布函数的函数值，即随机变量取值小于或等于1的概率，应该为1，（5）定义，显然（5）也是错误的。而（6）是正确的。20.设随机变量X的分布函数为，则（1）错误（2）正确（3）正确（4）错误（5）正确（6）错误（7）X的分布律为.正确（8）X的分布律为错误解析分布函数的定义为，例如就是的概率，.该题分布函数为分段函数，例如当，因为，所以，即；当因为，所以，即；当因为，所以，即.利用上面知识分析（1）（2）：由分布函数定义，，而，所以，故（1）是错误的.（2）是正确的.该分布函数值仅在与两处有变化，即当由小于0变到等于0时，分布函数值由0增加到，增加了，故增加的即的概率，也即；当由小于1变到等于1时，分布函数值由增加到1，增加了，故增加的即的概率，也即.分布函数的图像更清楚地展示了上述规律，见图分布函数仅在与两处有跳跃，所以随机变量的分布律为，在其他各点的概率为0.故（7）的分布律为是正确的，（8）的分布律为是错误的.（3）是正确的，（4）是错误的.由分布函数的定义可以知道所以，故（5）是正确的，（6）是错误的.评注这是一道考核分布函数概念，分布函数与分布律关系，由分布函数计算概率的题目.21.设随机变量X的概率密度，则（1）由积分可以计算常数A.错误（2）由积分可以计算常数A.正确（3）常数A=2.正确（4）常数A=1.错误解析概率密度有性质，当中有未知参数时，其即是含的方程，故可以通过计算常数。问题是积分中的在不同区间的具体内容要与定义相符，该题目的定义为在区间上为，其他处均为0，所以应该是，※其中，不为0的积分仅有.故（1）是错误的，（2）是正确的。完成※式的计算，，所以（3）常数=2是正确的，（4）常数=1是错误的.22.设随机变量的概率密度，则（1）正确（2）正确（3）错误（4）错误解析随机变量的概率密度与概率之间有如下关系，关键在的内容要与区间对应.由题设仅在上为，其他处均为0.故（1）是正确的.（2）是正确的.（3），故是错误的.（4），故是错误的.23.设随机变量的分布函数，则的概率密度（1）正确（2）错误（3）错误（4）错误解析连续型随机变量的分布函数与概率密度之间有如下关系：在概率密度的可导点，.故在内，；在内，；在内，.又因为概率密度在个别点的值不影响概率的计算，所以只要满足概率密度的非负性，在与处，概率密度可以任意定义.综上仅有（1）是正确的，其他均是错误的.24.公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客随机到车站等车，则（1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为.正确（2）乘客候车时间超过5分钟的概率为.正确（3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为.正确（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为.错误解析因为公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，所以只在0到10分钟内考虑既可.由题设乘客随机到车站等车，相当于乘客到车站的时刻服从内的均匀分布.均匀分布的概率计算公式为：设随机变量服从区间的均匀分布，则其中，如图.当乘客在内任意时刻到达时，乘客候车时间不超过5分钟，故乘客候车时间不超过5分钟），所以（1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为是正确的.当乘客在内任意时刻到达时，乘客候车时间超过5分钟，故乘客候车时间超过5分钟），所以（2）乘客候车时间超过5分钟的概率为是正确的.当乘客在内任意时刻到达时，乘客候车时间才不超过3分钟，故乘客候车时间不超过3分钟），所以（3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为是正确的.当乘客在内任意时刻到达时，乘客候车时间才超过3分钟，故乘客候车时间超过3分钟），所以（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为是错误的.25.随机变量则(1)正确（2）正确（3）正确（4）错误解析为标准正态分布，其概率密度为偶函数，概率密度图像如图故的概率与的概率相等，均为，所以（1）（2）（3）均是正确的，（4）是错误的.26.随机变量，为标准正态分布的分布函数，则（1）；错误（2）；正确(3)=；错误(4)=。正确解析正态分布有定理：设，则.该题设，相当于，故，所以（2）是正确的，（1）是错误的。标准正态分布的分布函数一般用表示，既然服从标准正态分布，则.又标准正态分布的分布函数有性质：.由题设，故所以(3)=是错误的.所以(4)=是正确的.27.随机变量的概率密度为则称服从参数为的指数分布.正确解析其为指数分布的定义，应该记住。28．设，则（1）的分布律为正确（2）的分布律为正确解析求离散型随机变量的分布律即应该将该随机变量的所有取值与取值的概率列出.（1）可以取到0，1，则只能取到0，2，且所以的分布律为是正确的.（2）试用列表方式求解的取值为01的取值为13可见的概率即的概率，的概率即的概率，所以的分布律为是正确的.29.设随机变量的概率密度为,则的概率密度为（1）错误（2）正确解析求连续型随机变量函数的概率密度应该先求分布函数，再对分布函数求导即得到概率密度.随机变量的分布函数为.当，，，故；当，，，故；当，，，故；综上，所以（1）错误，（2）正确.第三章二维离散型随机变量及其分布30.设二维随机变量的分布律为判断下述结论是否正确？（1）正确（2）错误（3）的边缘分布律为错误（4）不独立错误（5）概率错误（6）的分布律为正确分析要回答该题目，首先应该清楚联合分布律的涵义.该表表示的取值共有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）、（2，0）、（2，1）6种可能，取各对数值的概率分别为，，，，，.（1）正确解析从前面对联合分布律表的阐述可知是正确的。（2）错误解析为且的概率，根据所给联合分布律，应该求取0或1，且取0，即取的概率，故，所以（2）是错误的。（3）的边缘分布律为；错误解析求的边缘分布律，即求的分布律，应该先确定的取值，为0，1，再确定取各值的概率.求的概率，应该将上述概率中所有无论取任何值的概率相加，即，类似可以计算的概率，，所以的边缘分布律为.题目给出的分布律，是的边缘分布律，非的边缘分布律，所以是错误的.将各取值的概率写在联合分布律的边上，各自的边缘分布律一目了然：.（4）不独立错误解析解答该题目应该先清楚离散型随机变量相互独立的条件：如果相互独立，要求取每一对数都满足积的概率等于概率的积。此题即要求，，，，，.是否满足上述6个等式，应该一一验证：例如；；对每一对取值的概率都作如上验证，可知都有积的概率等于概率的积，故是相互独立的.（5）概率错误解析由联合分布律知道的取值共有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）、（2，0）、（2，1）6种可能，其中当与都使，且取其他任何数值，故，所以是错误的。（6）的分布律为正确解析要判断的分布律为是否正确，只能将的分布律求出，首先确定由的各对取值计算的的值，不妨列表完成：表中间的数值即是由算得的值，可知的取值有-1，0，1，2。再确定各取值的概率：，，，，显然的分布律为是正确的。31.设二维随机变量（X，Y）的分布律为则（1）相互独立；错误（2）的分布律为；正确对（3）的分布律为。正确解析（1）在30题（4）中已经讲过相互独立的条件，先将与的边缘分布律求出列在表中，如下表可见，，，所以相互不独立。注意只要有一对数积的概率不等于概率的积，即相互不独立。（2）为二维随机变量，每次试验有一对取值，此题目取值为，等等.表示取每对数中最大的，例如当时，则；当时，则；当时，则.以此类推.为确定取值可以列表分析，表为表的中间即为对应的每一对取值，随机变量的取值.由此可知取到0，1，2三个数.的概率即为取概率的和，为.同理可以分析与的概率，所给结果是正确的.（3）表示取每对数中最小的，例如当时，则；当时，则；当时，则.以此类推.同样可以列表分析的所有取值，并确定所有取值的概率.请自己分析第四章随机变量的数字特征32.设随机变量的分布律为，判断下述结论是否正确？（1）=；正确（2）；错误（3）；正确（4）的方差.正确解析（1）判断是否正确，只能通过计算。离散型随机变量数学期望的计算：是将分布律中所有取值与概率相乘加起来，即：所以是正确的。（2）这种求的数学期望的方法显然是错误的，应该是，所以（2）是错误的，（3）是正确的。（4）由方差的计算公式，的方差，由上面的分析知道，由上面（1）的分析知道，，所以是正确的。33.设随机变量的概率密度，则（1）；错误（2）；正确（3）；正确（4）；错误（5）.正确解析判断（1）、(2)一个思路，即掌握数学期望的计算方法，如果随机变量X的概率密度为，则，由题设，该题目的数学期望计算为所以（1）是错误的，（2）是正确的。随机变量的函数的期望的计算为所以（3）是正确的。同31题的分析，的方差的计算公式为，由上面（1）的分析知道，，所以（4）是错误的，（5）是正确的。注即使不计算也应该知道（4）是错误的，因为方差的定义为，其不可能为负数。34.设随机变量的概率密度，判断下述结论是否正确？（1）；错误（2）；正确（3）；正确（4）=；正确（5）的方差。错误解析同33题（1）、(2)的分析，当随机变量的概率密度为，则，具体到这道题概率密度是分段定义的，积分也必须分段进行，正确的做法是：=，所以（1）=是错误的，（2）的计算是正确的。随机变量的函数的期望的计算为所以（3）是正确的。因为，所以，（3）=是正确的。(5)的方差有计算式，所以（5）的方差当然是错误的。35.一批产品中有一、二、三等品，等外品及废品五种，分别占产品总数的70%，10%，10%，6%，4%.若单位产品价值分别为6元，5元，4元，2元及0元，判断下述结论是否正确？（1）单位产品的平均价值为（元）；正确（2）单位产品的平均价值为（6+5+4+2+0）/5=3.4（元）。错误解析此处任取一件产品的价值显然是随机变量，它的取值有6元至0元五种可能，每种可能的概率决定于各种产品占总产品的比例。计算单位产品的平均价值即计算价值这一随机变量的数学期望。所以（1）单位产品的平均价值为（元），是正确的；显然（2）单位产品的平均价值为（6+5+4+2+0）/5=3.4（元）是错误的。36.设随机变量的数学期望为，方差为，称为的标准化。判断：，是否正确？正确解析判断的过程实际是与的计算过程，当然这类结论应该记住，不必每次都重新推导。，，所以，是正确的。注意推导的过程用到数学期望与方差的性质，例如设为常数，则，。第五章大数定律与中心极限定理37.（1）设随机变量的数学期望为，方差为，契比雪夫不等式为：对任意有；正确（2）随机变量与其均值之差的绝对值大于3倍均方差的概率不会大于.正确解析该题目应该用契比雪夫不等式分析.设随机变量的期望为，均方差为，方差则为，契比雪夫不等式为对于任意有，所以（1）是正确的。该题目问“随机变量与其均值之差的绝对值大于3倍均方差的概率”，相当于，即求，所以所给结果是正确的.38.独立随机变量都服从参数λ=1的泊松分布，则（1）；正确（2）的和小于120的概率为=；错误（3）的和小于120的概率为=.正确解析解该题目关键在清楚“独立同分布中心极限定理”与“正态分布化标准正态分布”的定理。随机变量相互独立，都服从参数λ=1的泊松分布，满足独立同分布中心极限定理的条件，所以近似服从正态分布。因为都服从参数λ=1的泊松分布，则它们的期望与方差均为1，即，所以，即近似服从正态分布，所以（1）是正确的。注意，由正态分布化标准正态分布定理：若，则，用在此处即，应该是，所以（2）=是错误的，（3）是正确的。39.袋装茶叶用机器装袋，每袋净重是随机变量，均值是0.1公斤，标准差为0.01公斤，一大盒内装200袋，一大盒茶叶净重超过20.25公斤的概率可以如下计算，设每袋茶叶的重量为，，一大盒茶叶重量为，,，则（1）；错误（2）.