中考数学总复习中考数学专项提升第18讲 等腰三角形(讲义2考点+3命题点18种题型(含2种解题技巧))(解析版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第四章三角形第18讲等腰三角形（思维导图+2考点+3命题点18种题型（含2种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一等腰三角形考点二等边三角形04题型精研·考向洞悉命题点一等腰三角形的性质与判定►题型01分类讨论思想在等腰三角形中的应用►题型02根据等边对等角求解或证明►题型03根据三线合一求解或证明►题型04在格点图中画等腰三角形►题型05根据等角对等边求边长►题型06根据等角对等边证明►题型07确定构成等腰三角形的点►题型08等腰三角形性质与判定综合命题点二等边三角形的性质与判定►题型01利用等边三角形的性质求解►题型02等边三角形的判定►题型03等边三角形性质与判定综合命题点三热考题型汇总►题型01手拉手模型►题型02与等腰三角形有关的折叠问题►题型03与等腰三角形有关的动点问题►题型04与等腰三角形有关的新定义问题►题型05与等腰三角形有关的规律探究问题►题型06与等腰三角形有关的多结论问题►题型07探究等腰三角形中存在的线段数量关系

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求等腰三角形★★理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理.等边三角形★★探索等边三角形的性质定理及其判定定理.【考情分析】该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一等腰三角形定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.【特殊】顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.【注意】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．等腰三角形性质：1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴，①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴，②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴.2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.等腰三角形的判定：1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形；2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.【总结】证明两个角相等的方法：1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明.2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决.【易错易混】1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为．【答案】6【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案．【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，∵6+6>2，∴能构成三角形，∴第三边长为6；当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，∵2+2<6，∴不能构成三角形，舍去；综上，第三边长为6，故答案为：6．2．（2024·四川·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为【答案】35【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据AB=AC，∠A=40°，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得∠ABC=∠ACB=70°，由尺规作图过程可知BG为∠ABC的角平分线，由此可得∠ABG=∠GBC=1【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，根据尺规作图过程，可知BG为∠ABC的角平分线，∴∠ABG=∠GBC=1故∠ABG=35°，故答案为：35°．3．（2024·云南·中考真题）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（

）A．32 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形“三线合一”得到AF平分∠BAC，再角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：如图，∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，∴AF平分∠BAC，∴点F到直线AB，AC的距离相等，∵点F到直线AB的距离为3，∴点F到直线AC的距离为3．故选：C．4．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED=∠BEC,DE=2，则BE的长为

【答案】4【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得DE∥BC,BC=2DE=4,得出∠C=∠AED=∠BEC,【详解】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∴∠AED=∠C,∵∠AED=∠BEC,∴∠C=∠BEC,∴BE=BC=4,故答案为：45．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

【答案】见解析【分析】根据勾股定理可得AB=5【详解】解：如图所示，

如图①，AC=AB=12+22如图②，AD=AB=12+22=5如图③，AE=AB=12+22【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．考点二等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形.等边三角形的性质：1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；2）等边三角形的三条边相等；3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.等边三角形的判定：1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形；2）三个角都相等的三角形是等边三角形.3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.【补充】1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质.2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形=31．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．由矩形ABCD得到AD∥BC，继而得到∠AEB=∠EBC，而△EBC是等边三角形，因此得到∠AEB=∠EBC=60°．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵△EBC是等边三角形，∴∠EBC=60°，∴∠AEB=60°，故选：C．2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（A．45° B．39° C．29° D．21°【答案】B【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得∠EBC+∠DCB=180°，从而可得∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，即可求解．【详解】解：∵l∥∴∠EBC+∠DCB=180°，即∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∵∠ABE=21°，∴21°+60°+60°+∠ACD=180°，∴∠ACD=39°，故选：B．3．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=1，则AB的长为（

）A．2 B．3 C．1 D．1【答案】C【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到∠AOB=60°，得到△AOB为等边三角形，进而得到OA=AB=1，判断出△AOB为等边三角形是解题的关键．【详解】解：∵ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴OA=AB=1，故选：C．4．（2024·青海·中考真题）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是（

A．3 B．6 C．3 D．3【答案】A【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到△BDC等边三角形，据此求解即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC∴BD=1∵∠BDC=60°，∴△BDC等边三角形，∴BC=CD=1故选：A．5．（2023·福建·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠B=60°，则AC的长为

【答案】10【分析】由菱形ABCD中，∠B=60°，易证得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=10，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．04题型精研·考向洞悉命题点一等腰三角形的性质与判定►题型01分类讨论思想在等腰三角形中的应用等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.【易错点】注意所求结果需满足三角形三边关系.1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x2A．17或13 B．13或21 C．17 D．13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得x1=3，x2=7，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为【详解】解：由方程x2−10x+21=0得，x1∵3+3<7，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为3+7+7=17，故选：C．2．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+b−5=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【答案】11或13/13或11【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得a,b的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．【详解】解：∵（a﹣3）2+b−5=0，∴a=3，b=5，当a=3为腰时，周长为：2a+b=6+5=11，当b=5为腰时，三角形的周长为a+2b=3+10=13，故答案为：11或13．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．3．（2024·湖南长沙·模拟预测）若等腰三角形的周长是10cm，其中一边长是2A．2cm B．4cm C．6cm【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质，可以分为2cm【详解】解：依题意，当2cm则其腰长是(10−2)÷2=4(cm能够组成三角形；当2cm则其底边是10−2×2=6(cm∵2+2=4<6∴不能够组成三角形；故该等腰三角形的底边长为2cm故选：A．4．（2024·上海·模拟预测）等腰三角形的一个内角为91°，随机选取1个内角，度数为【答案】91°或44.5°【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，判断出91°的角是顶角是解题的关键．根据91°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵91°>90°，∴91°的角一定是顶角，∴底角的度数为1∴随机选取1个内角，度数为91°或44.5°．故答案为：91°或44.5°．5．（2024·四川达州·模拟预测）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为．【答案】54°或126°【分析】本题考查了等腰三角形的内容，要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．解决等腰三角形的问题时分类讨论是解决问题的关键．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB=AC，∠ACD=36°，CD为高，即∠ADC=90°，此时∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=180°−90°−36°=54°，若三角形为钝角三角形时，如图，AB=AC，∠ACD=36°，CD为高，即∠ADC=90°，

此时∠BAC=∠D+∠ACD=90°+36°=126°，综上，等腰三角形的顶角的度数为54°或126°．故答案为：54°或126°．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02根据等边对等角求解或证明1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（

）A．100° B．115° C．130° D．145°【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得∠C=180°−∠BAC【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，∴∠C=180°−∠BAC∵DA⊥AC，∴∠CAD=90°，∴∠ADB=∠C+∠CAD=115°．故选：B2．（2024·陕西·中考真题）如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是BC所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是．

【答案】90°/90度【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A，结合三角形内角和定理，可证明2∠A+∠OBC+∠OCB=180°，再根据等腰三角形的性质可知∠OBC=∠OCB，由此即得答案．【详解】∵∠A是BC所对的圆周角，∠BOC是BC所对的圆心角，∴∠BOC=2∠A，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴2∠A+∠OBC+∠OCB=180°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴2∠A+∠OBC+∠OBC=180°，∴2∠A+2∠OBC=180°，∴∠A+∠OBC=90°．故答案为：90°．3．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架AD,BC交于它们的中点E，液压杆FG∥BC．若∠BAE=53°，则∠GFD的度数为（

）A．127° B．106° C．76° D．74°【答案】D【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出AE=BE,∠BAE=∠ABE=53°，确定∠AEB=74°，再由对顶角及平行线的性质即可求解【详解】解：∵等长的支架AD,BC交于它们的中点E，∠BAE=53°，∴AE=BE,∠BAE=∠ABE=53°，∴∠AEB=180°−∠ABE−∠BAE=74°，∴∠AEB=∠CED=74°，∵FG∥BC，∴∠GFD=∠CED=74°，故选：D4．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，若CA=6,CB=8，CD为△ABC的中线，点E在边AC上(不与端点重合)，BE与CD交于点F，若EC=EF，则DF=．【答案】11【分析】如图，倍长CD至G，使CD=DG，连接BG，易证BF=BG=AC=6，设EC=EF=x，在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，则(x+6)2=x2【详解】解：如图，倍长CD至G，使CD=DG，连接BG，∵CD为△ABC的中线，∴BD=AD，而∠ADC=∠BDG，∴△ADC≌△BDG，∴BG=AC，∠ACD=∠G，∴AC∥∵EC=EF，∴∠ACD=∠CFE，而∠CFE=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BF=BG，∴BF=BG=AC=6，设CE=EF=x，在Rt△BCE中，B则(x+6)2解得：x=7∵∠BCA=90°，BC=8，AC=6，AD为△ABC的中线，∴AB=62+∵∠ACD=∠G，∴AC∥∴∠CBG=180°−∠ACB=90°，∵AC=BG,BC=BC，∴△ACB≌∴CG=AB=10，设CF=y，∵AC∥∴△CEF∽△GBF，∴CFFG∴y10−y解得y=14∵CD=1∴DF=CD−CF=故答案为：115【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中线，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构建全等三角形与相似三角形．►题型03根据三线合一求解或证明1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是．【答案】60°或120°【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案；【详解】解：如图，当AD⊥BC时，延长AD交BC于J，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAJ=∠CAJ=20°,∴∠BAE=20°+40°=60°；如图，当AD⊥BC时，延长DA交BC于J，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAJ=∠CAJ=20°,∴∠BAE=180°−20°−40°=120°，故答案为：60°或120°2．（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（

）A．18 B．92 C．9 D．【答案】C【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接AD，根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出△ADE≌△CDF，将四边形AEDF的面积转化为三角形ADC的面积再进行求解．【详解】解：连接AD，如图：∵∠BAC=90°，AB=AC=6，点D是BC中点，AE=CF∴∠BAD=∠B=∠C=45°,AD=BD=DC∴△ADE≌△CDF，∴S又∵S△ABC∴S故选：C4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BCA．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作AD⊥BC于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD=12BC．根据sinB=ADAB=【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC=5，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，sin∴AD=4∴BD=A∴BC=2BD=6．故选B．4．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°【答案】B【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；A.由对称的性质得∠AOB=∠DOC，由等腰三角形的性质得∠BOE=12∠AOBB.∠BOC不一定等于∠AOB，即可判断；C.由对称的性质得△OAB≌△ODC，由全等三角形的性质即可判断；D.过O作GM⊥OH，可得∠GOD=∠BOH，由对称性质得∠BOH=∠COH同理可证∠AOM=∠BOH，即可判断；掌握轴对称的性质是解题的关键．【详解】解：A.∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠BOF=90°，由对称得∠AOB=∠DOC，∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，△OAB与△ODC都是等腰三角形，∴∠BOE=12∠AOB∴∠BOF+∠DOF=90°，∴OB⊥OD，结论正确，故不符合题意；B.∠BOC不一定等于∠AOB，结论错误，故符合题意；C.由对称得△OAB≌△ODC，∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，∴OE=OF，结论正确，故不符合题意；D.过O作GM⊥OH，∴∠GOD+∠DOH=90°，∵∠BOH+∠DOH=90°，∴∠GOD=∠BOH，由对称得∠BOH=∠COH，∴∠GOD=∠COH，同理可证∠AOM=∠BOH，∴∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOM+∠DOG=180°，结论正确，故不符合题意；故选：B．5．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF、CE，求证：四边形

【答案】证明见解析【分析】先根据等腰三角形的性质，得到AD垂直平分BC，进而得到EB=EC，FB=FC，BD=CD，再利用平行线的性质，证明△EBD≌△FCDAAS，得到BE=FC，进而得到EB=BF=FC=EC，即可证明四边形BECF【详解】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD垂直平分BC，∴EB=EC，FB=FC，BD=CD，∵CF∥∴∠BED=∠CFD，∠EBD=∠FCD，在△EBD和△FCD中，∠BED=∠CFD∠EBD=∠FCD∴△EBD≌△FCDAAS∴BE=FC，∴EB=BF=FC=EC，∴四边形EBFC是菱形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04在格点图中画等腰三角形1．（2021·吉林·中考真题）图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以B为顶点，AC为底边，即可做出等腰三角形；（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．【详解】解：（1）如图①中，此时以B为顶点，AC为底边，该△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，此时底AE=1，高ℎ=3，因此四边形ABDE即为所求．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．2．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．(1)在图中画以EF为斜边的等腰直角△DEF，点D在小正方形的格点上；(2)在（1）的条件下，在图中以AB为边画Rt△BAC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=23，【答案】(1)图见解析(2)图见解析，CD=【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰直角三角形的特征，解直角三角形的应用等知识，掌握相关知识点是解题关键．（1）利用网格，结合等腰直角三角形的性质，取格点D，连接DF、DE即可；（2）结合已知条件，取格点C，连接AC、BC、CD，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图，△DEF即为所求作；（2）解：如图，Rt△BAC由勾股定理得：CD=14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.按要求完成下列画图．(1)在图1中画出一个以AB为底的等腰△ABD，使SABD=SABC，点(2)在图2中的边AC上找一点E，连接BE，使BE⊥AC．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法)【答案】(1)图见解析，4+4(2)见解析【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等．（1）以AB为底的等腰△ABD，则点D在AB的垂直平分线上，结合SABD=SABC，即点C到AB的距离等于点D到AB的距离，即可确定点D的位置；再根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出（2）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可推得∠BEA=90°，即可得出BE⊥AC．【详解】（1）解：如图：点D即为所求．则AD=BC=2故△ABD的周长为AB+2AD=4+45（2）解：如图：BE⊥AC．理由：如图：∵AF=CG=3，AB=AG=4，∠BAF=∠AGC=90°，∴△BAF≌△AGC，∴∠GAC=∠ABF，∵∠GAC+∠BAC=∠ABF+∠BAC=90°，即∠BEA=90°，∴BE⊥AC．QUOTE►题型05根据等角对等边求边长1．（2024·广东广州·中考真题）如图，▱ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE=．【答案】5【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，AD=BC=2，BC∥AD，进而得出∠BAE=∠EBA，再由等角对等边的性质，得到BE=AE=3，即可求出【详解】解：在▱ABCD中，BC=2，∴AD=BC=2，BC∥∴∠CBA=∠BAE，∵BA平分∠EBC，∴∠CBA=∠EBA，∴∠BAE=∠EBA，∴BE=AE=3，∴DE=AD+AE=2+3=5，故答案为：5．2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是．

【答案】25+2【分析】此题考查了正五边形以及等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．根据正五边形以及等腰三角形的性质得出AF=AB=4，再证明△BCF∽△ACB，根据相似三角形的性质求出CF，最后由线段和差即可求出AC的长．【详解】解：如图，连接BD交AC于点F，

∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=∠BCD=5−2×180°5∴∠BCA=∠BAC=180°−108°∴∠ABF=108°−36°=72°，∵∠AFB=∠CBD+∠BCA=36°+36°=72°，∴∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=4，∵∠BCF=∠ACB，∠BAC=∠CBF，∴△BCF∽△ACB，∴BCAC即4CF+4解得CF=25−2或∴AC=CF+AF=25故答案为：253．（2023·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB．若AB=4，则DC的长是．

【答案】4【分析】由∠B=∠ADB可得AD=AB=4，由DE是AC的垂直平分线可得AD=DC，从而可得DC=AB=4．【详解】解：∵∠B=∠ADB，∴AD=AB=4，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴DC=AB=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．4．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则DEEF的值是【答案】3【分析】先根据勾股定理得出AB=5，根据△ABE的面积是2，求出点E到AB的距离为45，根据Rt△ABC的面积，求出点C到AB的距离为AC⋅BCAB=125，即可得出点C到DF的距离为85，根据相似三角形的判定与性质，得出CDCA=【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=5∵△ABE的面积是2，∴点E到AB的距离为45在Rt△ABC中，点C到AB的距离为AC⋅BC∴点C到DF的距离为85∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，∴CDCA∴CD=2，DF=10∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠CAE，∵DF∥AB，∴∠AED=∠BAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DA=DE=1，∴EF=DF−DE=10∴DEEF故答案为：37【点睛】本题主要考查了三角形高的有关计算，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是求出点E到AB的距离为45，点C到DF的距离为8►题型06根据等角对等边证明1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N，再分别以点M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【分析】本题考查了尺规作图，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知AD平分∠BAD，则可求∠CAD=∠DAB=30°，利用含30°的直角三角形的性质得出CD=12AD，利用等角对等边得出AD=BD【详解】解：∵∠C=90°,∠B=30°，∴∠CAB=60°，由作图知：AD平分∠BAD，∴∠CAD=∠DAB=30°，∴CD=12AD∴AD=BD，∴CD=1∴S△ACD又△ACD的面积为8，∴△ABD的面积是2×8=16，故选B．2．（2024·山东·中考真题）如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB=4，∠PQE=67.5°，则F到【答案】2【分析】如图，过F作FH⊥AC于H，证明∠BAP=∠CAP，DE⊥AB，AF=BF=12AB=2【详解】解：如图，过F作FH⊥AC于H，由作图可得：∠BAP=∠CAP，DE⊥AB，AF=BF=1∵∠PQE=67.5°，∴∠AQF=67.5°，∴∠BAP=∠CAP=90°−67.5°=22.5°，∴∠FAH=45°，∴AH=FH=2∴F到AN的距离为2；故答案为：2【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB=6，BC=8，则cos∠ABF的值是【答案】24【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证BF=DF，再利用Rt△ABF【详解】解：∵折叠，∴∠DBC=∠DBF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠ADB=∠DBC，∴∠DBF=∠ADB，∴BF=DF，∴AF=AD−DF=8−BF，在Rt△ABF中，A∴6解得BF=25∴cos故答案为：24254．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC，(1)求证：∠BDF=∠A；(2)若∠A=45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状．【答案】(1)见解析(2)△ABC是等腰直角三角形．【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定．（1）由平行证明∠AED=∠C，由等量代换得到∠EDF=∠AED，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明DF∥AC，即可证明（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得∠BDE=90°，∠B=90°，据此即可得到△ABC是等腰直角三角形．【详解】（1）证明：∵DE∥∴∠AED=∠C，∵∠EDF=∠C，∴∠EDF=∠AED，∴DF∥∴∠BDF=∠A；（2）解：△ABC是等腰直角三角形．∵∠BDF=∠A，∴∠BDF=∠A=45°，∵DF平分∠BDE，∴∠BDE=2∠BDF=90°，∵DE∥∴∠B=180°−∠BDE=90°，∴∠C=180°−∠A−∠B=45°=∠A，∴△ABC是等腰直角三角形．►题型07确定构成等腰三角形的点1．（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且△ABC是等腰三角形，则这样的点C最多有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】A【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，AB为半径作弧交直线l于点C1、C2，再先以B点为圆心，BA为半径作弧交直线l于点C3，C4，最后作【详解】解：如图，点C1故答案为：A．2．（2022·江苏南京·一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是．【答案】a＞8或a=4【分析】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个．【详解】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，当MH=4时，∵∠AOB=30°，∴OM=2MH=8，∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，此时a=4，故答案为：a＞8或a=4【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题．3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数y1=kx(k≠0)的图象交于A(1，2)，B两点，一次函数y2

(1)求反比例函数的解析式；当y1>y(2)在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y1=2x(2)点M的坐标为(0,5)或(0,−5)【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及利用分类讨论的数学思想是解题的关键．（1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，利用数形结合的思想即可求出x的取值范围．（2）先求出点C坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题．【详解】（1）解：由题知，将A点坐标代入反比例函数解析式得，k=1×2=2，所以反比例函数的解析式为y1由函数图象可知，在直线x=0和x=1之间的部分及直线x=2右侧的部分，反比例函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方，即所以x的取值范围是：0<x<1或x>2．（2）将x=2代入反比例函数解析式得y=1，所以点C的坐标为(2，1)．则OC=2−0如图：

当OC=OM时，OM=5所以点M坐标为((0,5)或当CM=CO时，点C在OM的垂直平分线上，又因为点C坐标为(2，1)，所以点M坐标为(0，2)．当MO=MC时，点M在OC的垂直平分线上，过点C作CN⊥y轴于点N，令MO=m，则MC=m，MN=m−1，在Rt△CMNC即22解得m=5所以点M的坐标为(0,5综上所述：点M的坐标为(0,5)或(0,−5)或4．（2020·四川广元·中考真题）如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．【答案】（1）y=12x，y=13x+3；（2）6，0【分析】（1）因为反比例函数过A、B两点，所以可求其解析式和n的值，从而知B点坐标，进而求一次函数解析式；（2）分三种情况：OA=OC，AO=AC，CA=CO，分别求解即可；（3）根据图像得出一次函数图像在反比例函数图像上方时x的取值范围即可.【详解】解：（1）把A（3，4）代入y=m∴m＝12，∴反比例函数是y=12把B（n，-1）代入y=12把A（3，4）、B（-12，−1）分别代入y＝kx＋b中：得3k+b=4解得k=1∴一次函数的解析式为y=1（2）∵A（3，4），△AOC为等腰三角形，OA=32分三种情况：①当OA=OC时，OC=5，此时点C的坐标为5，0，②当AO=AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，此时点C的坐标为6，③当CA=CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，过A作AD⊥x轴，垂足为D，由题意可得：OD=3，AD=4，AO=5，设OC=x，则AC=x，在△ACD中，42解得：x=256此时点C的坐标为256综上：点C的坐标为：6，0，5，0，（3）由图得：当一次函数图像在反比例函数图像上方时，-12<x<0或x>3，即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：-12<x<0或x>3.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想.►题型08等腰三角形性质与判定综合1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的边长为5，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为【答案】3【分析】过点G作GH⊥AC，易得△AHG为等腰直角三角形，设AH=HG=x，得到CH=AC−AH=5−x，证明△GHD≌△DCE，得到CD=GH，进而得到CD=x，DH=5−2x，在Rt△DHG中，利用勾股定理求出x的值，根据平行线分线段成比例，求出BG【详解】解：过点G作GH⊥AC，则：∠AHG=∠GHD=90°，∴∠DGH+∠HDG=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC=5，∴AB=52∴∠AGH=45°=∠A，∴AH=HG，设AH=HG=x，则：CH=AC−AH=5−x，∵正方形DEFG，∴DG=DE,∠GDE=90°，∴∠HDG+∠CDE=90°，∴∠HGD=∠CDE，∵∠C=∠GHD=90°，∴△GHD≌△DCE，∴CD=GH=x，∴DH=CH−CD=5−2x，在Rt△GHD中，由勾股定理，得：G∴52=5−2x∴AH=2,CH=3，∵∠C=∠AHD=90°，∴HG∥BC，∴AGBG∴BG=3故答案为：32【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形．2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．(1)求证：△GEC是等腰三角形；(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．【答案】(1)见解析(2)AD∥l【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：（1）证明△ABC≌△DFE，得到∠ACB=∠DEF，即可得证；（2）根据线段的和差关系，易得AG=DG，根据三角形的内角和定理，得到∠CAD=∠ACB，即可得出结论．【详解】（1）证明：在△ABC和△DFE中AB=DFAC=DE∴△ABC≌△DFE，∴∠ACB=∠DEF，∴EG=CG，∴△GEC是等腰三角形；（2）∵AC=DE，EG=CG，∴AC−CG=DE−EG，∴AG=DG，∴∠GAD=∠GDA=1∵∠ACE=∠DEF=1∵∠AGD=∠EGC，∴∠CAD=∠ACB，∴AD∥l．3．（2024·山东威海·中考真题）感悟如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB=AE，BC=DE．求证：∠BAC=∠EAD．应用（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图：证明△ABC≌△AED，即可求得∠BAC=∠EAD；应用（1）：以点A为圆心，以AB长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E，以点A为圆心，以AC长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点D，连接AD，AE；应用（2）：以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点D，以点C为圆心，以BC长为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E，连接DE．【详解】感悟：∵AB=AE，∴∠B=∠E．在△ABC和△AED中AB=AE∴△ABC≌△AED．∴∠BAC=∠EAD．应用：（1）：以点A为圆心，以AB长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E，以点A为圆心，以AC长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点D，连接AD，AE，图形如图所示．（2）：以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点D，以点C为圆心，以BC长为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E，连接DE，图形如图所示．根据作图可得：CD=AC，CE=BC，又∠ACB=∠DCE，∴△ACB≌△DCE，∴∠CDE=∠BAC，DE=AB.4．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表图序角平分线AD的长∠BAD的度数腰长两腰之和两腰之积图①160°244图②145°222图③130°__________________请补全表格中数据，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分线AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB⋅AC之间的数量关系：______．【变式思考】（2）已知△ABC的角平分线AD=1，∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB⋅AC之间的数量关系，并证明．【拓展运用】（3）如图④，△ABC中，AB=AC=1，点D在边AC上，BD=BC=AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析1BM【答案】（1）见解析；AB+ACAB⋅AC=2cosα，（2）【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由AB=AC=AD（2）如图，延长AB至E使AE=AC，连接CE，过B作BH⊥CE于H，延长AD交CE于F，证明△ACE为等边三角形，AF⊥CE，∠EAF=∠CAF=30°，设AC=AE=CE=2x，EH=a，利用相似三角形的性质求解a=23x（3）根据题目要求画图，设∠A=α，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得α=36°，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，利用S△BMN【详解】解：（1）∵∠BAD=∠CAD=30°，AD是△ABC的角平分线，AD=1，∴AD⊥BC，∴AB=AC=AD∴AB+AC=433图序角平分线AD的长∠BAD的度数腰长两腰之和两腰之积图①160°244图②145°222图③130°244如图，由（1）可得：AD⊥BC，∴AB=AC=AD∴AB+AC=2cosα∴AB+ACAB⋅AC（2）猜想：AB+AC=3如图，延长AB至E使AE=AC，连接CE，过B作BH⊥CE于H，延长AD交CE于F，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴△ACE为等边三角形，AF⊥CE，∠EAF=∠CAF=30°，设AC=AE=CE=2x，EH=a，∴CF=EF=x，AF=3x，而∴DF=3∵BH⊥CE，AF⊥CE，∴BH∥∴∠EBH=∠EAF=30°，△CDF∽△CBH，∴BE=2a，EH=3∵△CDF∽△CBH，∴DFBH=CF解得：a=2∴AB+AC=4x−2a=4x−2AB⋅AC=2x2x−2a∴AB+AC=3（3）补全图形如图所示：设∠A=α，∵BD=AD，∴∠ABD=∠A=α，∴∠BDC=∠ABD+∠A=2α，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=2α，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2α，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴α+2α+2α=180°，解得：α=36°，∴∠A=∠ABD=∠CBD=36°，如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，∵S△BMN∴12∵∠ABD=∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC，∴EF=EH，在Rt△BNG中，NG=BN⋅∴BM⋅BN⋅sin∴sin72°∵EHBE∴EH=BE⋅sin∴1BM由△ABC是确定的，由作图可得BE为定长，而sin36°和sin∴sin72°即1BM【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．命题点二等边三角形的性质与判定►题型01利用等边三角形的性质求解1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作BC，AC，AB．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是【答案】9【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果周长为3π，则其中的一段弧长就是π，所以根据弧长公式可得AB=AC=BC=3，即正三角形的边长为3【详解】解：∵曲边三角形的周长为3π，△ABC∴AB=∴60∴AB=BC=AC=3,∴S∴S∴曲边三角形的面积为：9故答案为：9π+932．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=．【答案】2【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到△AFE为含30度角的直角三角形，AE=AD=4，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB，AD=4，∴∠FAD=90°,∠EAD=60°,∠AFE=90°,AD=AE=4，∴∠FAE=30°，∴EF=1故答案为：2．3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为0,4，点B,C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点【答案】(4,4−【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作C'F⊥AO，求出OF，【详解】解：作C'F⊥AO，交y轴于点由题可得：OA=4，∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，∴AO是∠BAC的角平分线，∴∠OAC=30°，∴OC=1在Rt△AOC中，A即16+(解得AC=8∴ACOF=AO−AF=4−ACFC∴C故答案为：(4,4−44．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°．则新钢架减少用钢（

A．24−123m B．24−83m C．【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得DE=23，BE=43=AE，CD=6【详解】解：∵等边△ABC，CD⊥AB于点D，AB长12m∴AD=BD=1∵∠BED=60°，∴tan60°=∴DE=23∴BE=D∵∠CBD=60°，∴CD=BD·tan∠CBD=3∴新钢架减少用钢=AC+BC+CD−AE−BE−DE=24+63故选：D．►题型02等边三角形的判定1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上填上一个适当的条件．【答案】∠A=60°（答案不唯一）【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．【详解】解：添加∠A=60°，理由如下：∵△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C=180°−∠A∴△ABC为等边三角形，故答案为：∠A=60°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理．2．（2022·青海西宁·中考真题）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（

A．△AOB是等边三角形 B．PE=PFC．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形【答案】D【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明△PAE≌△PBF；利用菱形的判定定理可判定选项D．【详解】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，故选项A成立，不符合题意；由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，故选项B成立，不符合题意；由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF(HL)，故选项C成立，不符合题意；∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，故选项D不成立，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、菱形的判定．3．（2020·山西·中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC=BD=12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（

）A．80πcm2 B．40πcm2 C．【答案】B【分析】先证明△COD是等边三角形，求解OC,OD，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．【详解】解：如图，连接CD，OC=OD,∠COD=60°,∴△COD是等边三角形，∵CD=4,∴OC=OD=4,∵AC=BD=12,∴OA=OB=16,所以则图中摆盘的面积S扇形AOB故选B．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．4．（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC=60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE//CD交DA的延长线于点E，若AD=2，DC=3，求【答案】（1）见解析；（2）253【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=253【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠ADC=120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=60°，∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，∴△ABC是等边三角形；（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD=90°∵∠ADC=120°，∴∠ADM=60°，∴∠DAM=30°，∴DM=12AD=1，AM=A∵CD=3，∴CM=CD+DE=1+3=4，∴S△ACD=12CD-AM=12×3×3=在Rt△AMC中，∠AMD=90°，∴AC=AM∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=19，∴BN=32∴S△ABC=12×19×572=∴四边形ABCD的面积=1934+33∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC=180°，∵∠ADC=120°，∴∠E=60°，∴∠E=BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB=∠BCD，在△EAB和△DCB中，∠E=∠BDC∠EAB=∠DCB∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=253【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．QUOTE►题型03等边三角形性质与判定综合1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l=（结果保留π）．【答案】13π【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定ΔABE是等边三角形，得到∠BAE=60°由平行四边形的性质推出∠B=∠D=60°，判定△ABE是等边三角形，得到∠BAE=60°，由弧长公式即可求出BE⏜【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=60°，由题意得：AB=AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，∵AB=1，∴l=60π×1故答案为：132．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则A．105° B．100° C．90° D．70°【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接OB，OC，证明△AOB和△BOC都是等边三角形，求得∠BPC=30°，利用三角形内角和定理求得∠PBC=20°，据此求解即可．【详解】解：连接OB，OC，∵AD是半圆O的直径，AB=∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，∴△AOB和△BOC都是等边三角形，∴∠OBC=∠OBA=60°，∵BC=∴∠BPC=1∵∠PCB=130°，∴∠PBC=180°−130°−30°=20°，∴∠PBO=60°−20°=40°，∴∠PBA=40°+60°=100°，故选：B．3．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC．连接BD并延长交AC于点G，若AE=ED=2，则：（1）∠FDB的度数是；（2）DG的长是．【答案】30°4【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．（1）利用三角形相似及AE=DE可得BF=DF，再利用三角形的外角性质结合可求得∠DBF=30°；（2）作CH⊥BG交BG的延长线于点H，利用直角三角形的性质求得CH=1，FH=3，证明△ADG∽△CHG【详解】解：∵△ABE≌△BCF≌△CAD(已知)，∴AD=BE=CF，AE=BF=DC，∵AE=ED=2，∴AD=BE=4，∵△DEF为等边三角形，∴EF=DF=DE=2，∠EFD=∠EDF=60°，∴BF=DF=DC=2，∴∠FDB=∠FBD=12∠EFD=30°如图，过点C作CH⊥BG的延长线于点H，∵∠CDH=30°，∴CH=CD×sinDH=CD×cos∵∠ADG=∠CHG，∠AGD=∠CGH，∴△ADG∽△CHG，∴DGHG∴DG=4故答案为：30°，434．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．

(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，【答案】(1)见解析，∠BAD=90°(2)4【分析】（1）根据已知得出AB=BC，则∠ADB=∠CDB，即可证明DB平分∠ADC，进而根据BD平分∠ABC，得出AD=CD，推出BAD=（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，∠F=90°，△ADC是等边三角形，进而得出∠CDB=12∠ADC=30°，由BD是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得BC=12BD，在【详解】（1）解：∵∠BAC=∠ADB∴AB=∴∠ADB=∠CDB，即DB平分∠ADC．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴AD=∴AB+AD=∴BD是直径，∴∠BAD=90°；（2）解：∵∠BAD=90°，CF∥∴∠F+∠BAD=180°，则∠F=90°．∵AD=∴AD=DC．∵AC=AD，∴AC=AD=CD，∴△ADC是等边三角形，则∠ADC=60°．∵BD平分∠ADC，∴∠CDB=1∵BD是直径，∴∠BCD=90°，则BC=1∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，则∠ABC=120°，∴∠FBC=60°，∴∠FCB=90°−60°=30°，∴FB=1∵BF=2，∴BC=4，∴BD=2BC=8．∵BD是直径，∴此圆半径的长为12【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．命题点三热考题型汇总►题型01手拉手模型常见模型种类：等腰三角形

手拉手模型等边三角形

手拉手模型等腰直角三角形

手拉手模型正方形手拉手模型【小结】1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.1．（2020·四川广元·中考真题）如图所示，△ABC,△ECD均为等边三角形，边长分别为5cm,3cm，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的．（填序号）①AD=BE

②BE=7cm③△CFG为等边三角形

④CM=137cm【答案】①②③⑤【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；②过E作EN⊥CD,根据等边三角形求出ED、CN的长，即可求出BE的长；③由等边三角形的判定得出△CMN是等边三角形；④证明△DMC∽△DBA，求出CM长；⑤证明M、F、C、G四点共圆，由圆周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.【详解】解：连接MC，FG，过点E作EN⊥BD，垂足为N，①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，在△ACD和△BCE中，CA=CB∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；①正确；②∵△CDE都是等边三角形，且边长为3cm.∴CN=32cm，EN=3∵BC=5cm.∴BE=5+③∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACG和△BCF中，∠ACG=∠BCF∴△ACG≌△BCF（ASA），∴CG＝CF而∠GCF＝60°，∴△CFG是等边三角形，③正确；⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，∴M、F、C、G四点共圆，∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，∴∠BMC＝∠DMC，∴CM平分∠BMD，⑤正确；④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA∴△DMC∽△DBA∴CM∴CM∴CM=157故答案为：①②③⑤.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．【模型探究】（1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．【模型应用】（2）如图2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD；（3）如图3，P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC=3：4：5，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点【拓展提高】（4）如图4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数．（用含有m的式子表示）（5）如图5，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请证明BD和CE的数量关系和位置关系．【答案】（1）60°，BE=AD；（2）见解析；（3）150°；（4）∠EAF=12m°；（5）BD=CE【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）由△ACB和△DCE均为等边三角形，可证△ACD≌△BCESAS，可得∠ADC=∠BEC，AD=BE，由点A、D、E在同一条直线上，可求∠AEB=60°（2）延长DC到E，使得DB=DE，由∠BDC=60°，可证△DEC为等边三角形，可得EC=EC，由AB=BC，∠ABC=60°，可证△ABC为等边三角形，可证△ADC≌△BEC（SAS）（3）由PA：PB：PC=3：4：5，由△ABC与△BPM都是等边三角形，可证△ABP≌△CBM（（4）将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．先证△EDB≌△MDC（SAS），再证△GCF≌△MCF（SAS（5）由两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，可证△DAB≌△EAC（SAS），可得∠DBA=∠ECA【详解】解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△A