中考数学总复习中考数学专项提升第19讲 直角三角形(讲义4考点+4命题点18种题型(含5种解题技巧))(解析版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第四章三角形第19讲直角三角形（思维导图+4考点+4命题点18种题型（含5种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一直角三角形考点二勾股定理考点三勾股定理逆定理考点四勾股定理的实际应用04题型精研·考向洞悉命题点一直角三角形的性质与判定►题型01由直角三角形的性质求解►题型02根据已知条件判定直角三角形命题点二勾股定理►题型01利用勾股定理求解►题型02判断勾股数问题►题型03以直角三角形三边为边长的图形面积►题型04与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题►题型05勾股定理与网格问题►题型06勾股定理与折叠问题►题型07勾股定理与无理数►题型08利用勾股定理证明线段平方关系►题型09勾股定理的证明方法►题型10赵爽弦图►题型11利用勾股定理构造图形解决实际问题命题点三勾股定理逆定理►题型01在网格中判定直角三角形►题型02利用勾股定理逆定理求解命题点四勾股定理的实际应用►题型01用勾股定理解决实际生活问题►题型02用勾股定理逆定理解决实际生活问题►题型03求最短路径问题

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求直角三角形★★★理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理;勾股定理★★探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.勾股定理逆定理★★【考情分析】该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择，填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：性质直角三角形两个锐角互余.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.图示几何描述在△ABC，∠C=90°∴∠A+∠B=90°在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90°在△ABC，∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.面积公式：S=12ab=121．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（0<x<90），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（

）A．y=180+x B．y=180−x C．y=90+x D．y=90−x【答案】D【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式．【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度，∴y=90−x．故选：D．2．（2024·青海·中考真题）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是（

A．3 B．6 C．3 D．3【答案】A【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到△BDC等边三角形，据此求解即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC∴BD=1∵∠BDC=60°，∴△BDC等边三角形，∴BC=CD=1故选：A．3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（

）

A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【答案】B【分析】根据直角三角形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同角的余角相等可得结论．【详解】由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO=90°，∠DEB+∠ADO=90°，∴∠DEB=∠O，故选：B．【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．4．（2023·贵州·中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（

）

A．4m B．6m C．10m【答案】B【分析】作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B=∠C=1【详解】解：如图，作AD⊥BC于点D，

∵△ABC中,∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=1∵AD⊥BC，∴AD=1故选B．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．5．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣=12矩，1欘=112宣（其中，1矩=90°），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1

【答案】22.5/2212/【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．【详解】解：由题意可知，∠A=1矩=90°，∠B=1欘=112宣=11∴∠C=90°−67.5°=22.5°，故答案为：22.5．【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．考点二勾股定理文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2变式：a2=cc=a2+b2【易错点】1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=勾股定理的验证方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即4SΔ+S正方形EFGH方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4×大正方形面积为S=(a+b)2=方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.S梯形=12图一图二图三1．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：x2（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．【答案】（1）x=1或x=3（2）第三边的长是10或2【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．（1）用因式分解法解即可；（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可．【详解】解：（1）xx−1x=1或x=3；（2）当两条直角边分别为3和1时，根据勾股定理得，第三边为32当一条直角边为1，斜边为3时，根据勾股定理得，第三边为32答：第三边的长是10或222．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在数轴上，OB=1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA=2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的横坐标为．【答案】1+5/【分析】根据勾股定理求得AB，根据题意可得BC=AB=5【详解】解：∵l⊥OB，OB=1，OA=2，在Rt△AOB中，AB=∴BC=AB=5∴OC=OB+BC=1+5O为原点，OC为正方向，则C点的横坐标为1+5故答案为：1+5【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．（2023·湖南郴州·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB【答案】5【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先利用勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，∴AB=A∴AB边上的中线CD=1故答案为：5．4．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于步．（注：“步”为长度单位）

【答案】6【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【详解】解：根据勾股定理得：斜边为82则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=8+15−17故答案为：6．【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，斜边为c，其内切圆半径r=5．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，nm>n．若小正方形面积为5，m+n2=21A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为m−n，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为m2【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m−n，∴m−n2=5，即∵m+n2∴m2①+②得2m∴大正方形的面积m2故选：B．QUOTEQUOTE考点三勾股定理逆定理1.勾股数勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系a2勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数；2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.2.勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2【补充说明】1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2+b2与较长边的平方c2作比较，①若a2+②若a2+b2<c2③若a2+b2>c21．（2024·江苏扬州·三模）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（

）A．3，4，5 B．9，15，17 C．25，7，24 D．8，6，10【答案】B【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解题的关键．根据若三角形的三边a，b，c（较长边）满足，a2【详解】解：A、32B、92C、72D、62故选：B．2．（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（

）A．3,4,5 B．1,1,2【答案】D【分析】本题主要考查了勾股数的知识，理解勾股数的定义是解题关键．勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此逐项分析判断即可．【详解】解：A.∵32+42=7，5B.∵2不是正整数，∴1,1,2C.∵72+82=113D.∵132+84故选：D．3．（21-22八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为度．【答案】45【分析】连接AC，利用勾股定理计算出AC2、BC2、AB2，然后利用勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形，进而可得答案．【详解】解：连接AC，由勾股定理得：AC2=22+12=5，BC2=22+12=5，AB2=12+32=10，∴AC2+BC2=5+5=10=BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，故答案为：45．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．4．（2023·吉林白城·模拟预测）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点．(1)在图①中，画一个边长为2的线段；(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长分别是2、22、10【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查利用勾股定理画图．（1）借助格点，根据勾股定理构长为2的线段即可；（2）借助格点，根据勾股定理构造三边长分别为2、22、10【详解】（1）解：如图①，线段AB即为边长为2的线段；（2）解：如图②，直角三角形ABC即为所求，三边长分别是AB=2、BC=22、5．（2024·广东·模拟预测）若a−1+a−b+c−22=0，则以a【答案】等腰直角三角形【分析】本题考查非负性，勾股定理的逆定理，根据非负性，求出a,b,c的值，再利用勾股定理逆定理进行求解即可．【详解】解：∵a−1+∴a−1=0,∴a−1=0,a−b=0,c−2∴a=1,a=b=1,c=2∵12∴a2又∵a=b，∴以a，b，c为边长的三角形的形状是等腰直角三角形；故答案为：等腰直角三角形．考点四勾股定理的实际应用1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1）从实际问题中抽象出几何图形；2）确定与问题相关的直角三角形；3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；4）求得符合题意的结果.2.利用勾股定理解决实际问题的常见类型1）直接利用勾股定理列方程解决实际问题；2）利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题；3）利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题；4）利用勾股定理解决有关几何图形的面积问题.

1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（

）A．8 B．10 C．12 D．13【答案】C【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设BC=x，则BD=BA=x+1【详解】解：设BC=x，则BD=BA=x+1由题意，得：x+12解得：x=12，即BC=12，故选：C．2．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为尺．

【答案】12【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x

∵B'∴B在Rt△ACB'解得x=13，即芦苇长13尺，∴水深为13−1=12（尺），故答案为：12．3．（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为2m/s，李明的跑步速度为4m/A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，理解题意并画出相应的图形是解题的关键．设x秒后他们再次取得联系，依题意，AB=PQ=300m，然后用含x的代数式表示出BP和BQ【详解】解：如图，设x秒后他们再次取得联系，此时嘉琪运动到点P，李明运动到点Q，依题意：AB=300m则BP=300−2xm，BQ=4x由勾股定理有BP即300−2x2解得x=60或x=0（不合题意，舍去），∴60秒后他们再次取得联系．故选：B．4．（2023·陕西西安·二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A

【答案】13【分析】本题考查了最短路径问题，将圆柱侧面展开，作出点A关于EF的对称点A'，根据两点之间线段最短可知A'B【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点A关于EF的对称点A'∵高为12cm，底面周长为10此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A∴A'D=5cm连接A'B，则∵A'∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是13cm故答案为：13．

04题型精研·考向洞悉命题点一直角三角形的性质与判定►题型01由直角三角形的性质求解1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=°．【答案】35【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，从而得出∠CAD的度数．【详解】解：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC=90°，∵∠C=20°，∴∠COD=70°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠CAD=1故答案为：352．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N，再分别以点M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【分析】本题考查了尺规作图，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知AD平分∠BAD，则可求∠CAD=∠DAB=30°，利用含30°的直角三角形的性质得出CD=12AD，利用等角对等边得出AD=BD【详解】解：∵∠C=90°,∠B=30°，∴∠CAB=60°，由作图知：AD平分∠BAD，∴∠CAD=∠DAB=30°，∴CD=12AD∴AD=BD，∴CD=1∴S△ACD又△ACD的面积为8，∴△ABD的面积是2×8=16，故选B．3．（2023·湖南郴州·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB【答案】5【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先利用勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，∴AB=A∴AB边上的中线CD=1故答案为：5．4．（2023·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为6,0，将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（

）

A．33,3 B．3,33 C．6,3【答案】B【分析】过点C作CE⊥OB，由题意可得：∠OBC=60°，OB=OC=6，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．【详解】解：过点C作CE⊥OB，如下图：

则∠CEB=90°由题意可得：∠OBC=60°，OB=OC=6，∴∠BCE=30°，∴BE=1∴CE=CB2∴C点的坐标为3,33故选：B【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．5．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（

）A．1 B．1−3 C．0 D．【答案】D【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作CF⊥AE于点F，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可．【详解】解：作CF⊥AE于点F，∵∠ABC=120°，∴∠FBC=60°，∵BC=2，∴BF=12BC=1∴AF=AB+BF=3，∴AE=AC=A∵点E表示的数是3，∴点A表示的数是3−23故选：D．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02根据已知条件判定直角三角形1．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（A．OB=12CE C．BC=12AE【答案】D【分析】由菱形的性质可知AC⊥DB，AO=OC，由两直线平行，同位角相等可以推出∠ACE=∠AOB=90°，再证明Rt△ACE∼Rt△AOB，得出OB=12CE，AB=【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥DB，AO=OC，∴∠AOB=90°，∵CE∥∴∠ACE=∠AOB=90°，∴△ACE是直角三角形，故B选项正确；∵∠ACE=∠AOB=90°，∠CAE=∠OAB，∴Rt△ACE∼Rt∴OBCE∴OB=12CE∴BC为Rt△ACE∴BC=1现有条件不足以证明BE=CE，故D选项错误；故选D．【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出AC⊥DB，AO=OC是解题的关键．2．（2024·福建南平·一模）如图1，点D是△ABC的边AB上一点．AD=AC，∠CAB=α，⊙O是△BCD的外接圆，点E在DBC上（不与点C，点D重合），且∠CED=90°−α．

(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)如图2，若CE是⊙O的直径，且CE=2，折线ADF是由折线ACE绕点A顺时针旋转α得到．①当α=30°时，求△CDE的面积；②求证：点C，D，F三点共线．【答案】(1)见解析(2)①32【分析】本题考查了旋转的性质，圆的基本性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的特征，三点共线判定方法等；（1）由圆的基本性质得∠CBD=∠CED=90°−α，从而可得∠CAB+∠CBD=90°，即可求证；（2）①由圆的性质得∠CDE=90°，从而可求∠DCE=α=30°，有直角三角形的特征得DE=12CE=1，由勾股定理得CD=CE2−DE2可求出CD的长，由S△CDE=掌握相关的性质及三点共线判定方法，能证出∠ADF=∠ACD+α是解题的关键．【详解】（1）证明：∵CD=∴∠CBD=∠CED=90°−α，∴∠CAB+∠CBD=90°，∴∠ACB=180°−90°=90°，

∴△ABC是直角三角形；（2）解：①∵CE是⊙O直径，∴∠CDE=90°，∴∠CED=90°−∠DCE，∵∠CED=90°−α，∴∠DCE=α=30°，在Rt△CDE∴DE=1∴CD===3∴==3②∵折线ADF由折线ACE旋转得到，∴AC=AD，∠ADF=∠ACE，∴∠ACD=∠ADC，由①得∠DCE=α，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+α，∴∠ADF=∠ACD+α，∵∠CAB+∠ACD+∠ADC=180°，

∴α+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠ADF+∠ADC=180°，∴点C，D，F三点共线．3．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，抛物线L：y=33x−22+m与x轴交于点A，B，与y(1)求m的值；(2)点D是直线BC下方抛物线L上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；(3)如图2，在（2）条件下，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，设抛物线M与抛物线L的交点为E，AF⊥BC，垂足为F．证明△DEF是直角三角形．【答案】(1)−(2)D(3)见解析【分析】（1）由题意可知A1,0，将点A的坐标代入抛物线L即可得出m（2）设点D的坐标，表达△BCD的面积，并根据二次根式的性质可得出结论；（3）由题可知AC=AB，则点F是BC的中点，可求出BF的长，取OB的中点H，则FH是△BOC的中位线，则FH⊥x轴，由平移可得出抛物线M的解析式，联立可得点E的坐标，求出点E的坐标，即可得出DE∥【详解】（1）解：∵OA=1，∴A1,0∵A1,0在抛物线L：y=∴0=331−2故答案为：−3（2）令33解得：x=1或x=3，∴B3,0令x=0，则y=3∴C0,∴l过点D作y轴的平行线BC于点G，设Dx,33∴DG=−3∴S∴当x=32时，∴y∴D3（3）证明：如图，连接AC，∵A1,0∴AC=AB=2，∵AF⊥BC，∴F是BC的中点，，:∴BF=1在Rt△BOC中，OC=∴∠OBC=30°，过点F作FH⊥OB于点H，∴BH=3∴点H32，∴FH是△BOC的中位线，∴x∴DF⊥x轴，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，则：M:y=3令33x−32∴E5∴y∴DE∥∴DE⊥DF，即△EDF是直角三角形．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，勾股定理等，中位线性质定理，含30°角直角三角形特征，熟练掌握相关知识是解题关键．命题点二勾股定理►题型01利用勾股定理求解1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（

）

A．1 B．2 C．2 D．3【答案】D【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；连接OA，OF，作OG⊥AF于G，证明△AOF是等边三角形，可得FG=12AF=1【详解】解：如图，连接OA，OF，作OG⊥AF于G，

∵OF=OA，∠AOF=360°×1∴△AOF是等边三角形，∴OF=OA=AF=2，∵OG⊥AF，∴FG=1∴OG=2即它的内切圆半径为3，故选：D．2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y=34x上，若点B的横坐标是8，为点CA．(−1,6) B．(−2,6) C．(−3,6) D．(−4,6)【答案】B【分析】过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，先求出B8,6，由勾股定理求得BO=10，再由菱形的性质得到BC=BO=10,BC∥x【详解】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，∵顶点B在直线y=34x∴yB=8×3∴B8,6∵BD⊥x轴，∴由勾股定理得：BO=B∵四边形ABCD是菱形，∴BC=BO=10,BC∥x轴，∴将点B向左平移10个单位得到点C，∴点C−2,6故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．3．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（

）A．3118π B．118π 【答案】D【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为2πr，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出r=1，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．【详解】解：设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为2πr，∵圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，且扇形的半径l是5，∴扇形的弧长为72π×5180∵圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，∴2πr=2π，∴r=1，∴圆锥的高为52∴圆锥的体积为13故选：D．4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE=AF，则DE的长为．【答案】2【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作DH⊥AC于H，先判断△ABC，△ACD都是等边三角形，得出∠EAF=60°，AC=AB=6，AH=CH=12AC=3，利用含30°的直角三角形的性质可得出AE=2AF=2CE，进而求出CE【详解】解∶过D作DH⊥AC于H，∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠EAF=60°，AC=AB=6，AH=CH=1∵EF⊥AB，∴∠AEF=30°，∴AE=2AF，又CE=AF，∴AE=2CE，∴CE=2，∴HE=CH−CE=1，在Rt△CDH中，D∴DE=D故答案为：275．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（

）A．245 B．6 C．485 【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得OC，进而得出AC=6，进而根据等面积法，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，∴DO=12BD=4，AC⊥BD在Rt△CDO中，CO=∴AC=2OC=6，∵菱形ABCD的面积为12∴AE=1故选：A．►题型02判断勾股数问题1）确定是三个正整数a，b，c；2）确定最大的数c；3）计算较小的两个数的平方a2+b1．（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2−12，c=1【答案】m【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到a，b为直角边，c为斜边，根据勾股定理即可得到b的值．【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，∴a，b为直角边，c为斜边，∴a∴(得到14∴b∴b=±m，∵m是大于1的奇数，∴b=m．故答案为：m．【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚a，b为直角边，c为斜边是解题的关键．2．（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a=12m2−n2，b=mn，c=12A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25【答案】C【分析】首先证明出a2+b2=c2，得到a，b【详解】∵a=1∴a2∵c2∴a2∴a，b是直角三角形的直角边，∵m，n是互质的奇数，∴A．3=1×3，∴当m=3，n=1时，a=12m2−∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；B．5=1×5，∴当m=5，n=1时，a=12m2−∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；C．6=2×3，8=2×4，∵m，n是互质的奇数，∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；D．7=1×7，∴当m=7，n=1时，a=12m2−∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．故选：C．【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过m>n>0，m，n是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键．3．（2024·河北秦皇岛·一模）我们把满足a2+b2=c2的三个正整数a，b(1)当b=n+7，c=n+8时，请用含n的代数式表示a2，并直接写出n取何值时，a(2)当b=2n2+2n，c=b+1时，用含nabc_____40411160_____【答案】(1)a2=2n+15，当n=5(2)a2【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确理解题意是解题的关键．（1）根据a2+b2=（2）根据a2+b2=c2变形式a2=c2−b【详解】（1）解：a2把b=n+7，c=n+8代入a2得a2∵n为正整数，∴当n=5时，满足题意的最小整数a=2n+15（2）a2b=40，c=41，a=ca=11，b=60，c=a补全勾股数表如下：4．（2024·浙江·模拟预测）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数：abc3=1+24=2×1×25=2×1×2+15=2+312=2×2×313=2×2×3+17=3+424=2×3×425=2×3×4+19=4+540=2×4×541=2×4×5+1………(1)当a=11时，b=______，c=______．(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)60

61(2)2n+1(3)见解析【分析】本题主要考查了勾股数，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股数是解题的关键．（1）根据表格中的数据即可得到答案；（2）．根据表格中的数据找出规律即可得到答案；（3）根据勾股定理的逆定理即可得到答案．【详解】（1）解：a=5+6，∴b=2×5×6=60，c=2×5×6+1=61，故答案为：60，61（2）解：由（1）可得，a2当a=2n+1时，2n+1（3）解：2n×==2=4=2n+1结论成立．QUOTE►题型03以直角三角形三边为边长的图形面积作正方形作半圆作等边三角形作等腰直角三角形图示结论1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为．【答案】48【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．【详解】解：图①中，∵∠ACB=90°，根据勾股定理得，AC∴图①中所有正方形面积和为：4+4=8，图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：8+4=12，图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：8+4×2=16，⋯∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4n，∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4×10=48，故答案为：48．2．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、

A．414π−20 B．412π−20 【答案】D【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为AB,BC的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接AC，

∵矩形ABCD内接于⊙O，AB=4,BC=5∴A∴阴影部分的面积是SS==4×5=20，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．（2024·广东中山·模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为S1，S2，S3，S4，则【答案】10【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB证△ABC≌△CDE，得AB2+DE2【详解】解：如图所示，在△ABC和△CDE中，EC=AC∠ECD=CAB∴△ABC≌△CDE(ASA∴AB=CD，BC=DE，∴AB同理可证FG∴S故答案为：10．4．（2024·广西梧州·二模）图1是第七届国际数学教育大会（ICME−7）的会徽，会徽的主题图案是由图2中七个直角三角形演化而成的，其中OA1=

【答案】7【分析】本题考查了勾股定理．利用勾股定理依次计算出OA2=2，OA【详解】解：由题意得OAOAOA…，OA∴S1=12×1×1=12；S∴S====7，故答案为：7．5．（2024·江苏宿迁·二模）小明在一块画有Rt△ABC的纸片上（其中∠ABC=90°，BC＜AB）进行了如下操作：第一步分别以AB、BC为边向外画正方形ABFG和正方形BCDE；第二步过点A、B分别作AC的垂线和AC的平行线，将纸片ABFG－分成②、③、④、⑤四块，如图1；第三步将图1中的正方形纸片BCDE、△ABC纸片及纸片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成图2．若CMPM=67

【答案】4【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理；根据题意得出ACPQ为正方形，设CM=6a,PM=7a，设CK=x则AK=13a−x，根据题意MK,KL，根据勾股定理建立方程，得出x=4a，进而得出AK=9a，则PN=4a,NQ=9a，即可求解．【详解】解：根据图1可得AB由图1图2两个图形可得正方形ABFG与正方形BCDE的面积和AB2+BC2即A根据两个图形对应，BH⊥AJ，则对应图2中可得∠ACP=∠CPQ=∠A=∠QAC=90°，∴四边形ACPQ为矩形，又∵矩形ACPQ的面积为AC∴AC=CP，∴四边形ACPQ为正方形，∵CM设CM=6a,PM=7a∴AC=13a如图所示，

AI=CM=AL=6a，IJ=PM=QL=7aCK=PN=IH，AK=NQ=BI,KL=AB，设CK=x则AK=13a−x∴MK=CKL=∵A∴A∴13a整理得，x解得：x=4a或x=9a（舍去）∴PN=4a,QN=13a−4a=9a∴PN故答案为：496．（2020·江西·中考真题）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，类比探究（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB,AC,BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3推广验证（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB,AC,BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105∘，∠ABC=90∘，AB=23，DE=2，点P在AE上，∠ABP=【答案】（1）S3=【分析】（1）由题目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均为直角三角形，又因为∠1=∠2=∠3，则有Rt△ABD∽Rt△ACE∽Rt△BCF，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，找到从而找到面积之间的关系；（2）在△ABD、△ACE、△BCF中，∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，可以得到△ABD∽△ACE∽△BCF，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，从而找到面积之间的关系；（3）将不规则四边形借助辅助线转换为熟悉的三角形，过点A作AH⊥BP于点H，连接PD，BD，由此可知AP=6，BP=BH+PH=3+3，即可计算出S△ABP，根据△ABP∽△EDP∽△CBD，从而有S△PED=【详解】（1）∵△ABC是直角三角形，∴AB∵△ABD、△ACE、△BCF均为直角三角形，且∠1=∠2=∠3，∴Rt△ABD∽Rt△ACE∽Rt△BCF，∴S1S3∴S∴S3（2）成立，理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴AB∵在△ABD、△ACE、△BCF中，∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，∴△ABD∽△ACE∽△BCF，∴S1S3∴S∴S3（3）过点A作AH⊥BP于点H，连接PD，BD，∵∠ABH=30∘，∴AH=3，BH=3，∵∠BAP=105∴∠HAP=45∴PH=AH=3，∴AP=6，BP=BH+PH=3+∴S△ABP∵PE=2∴PEAP=2∴PEAP∵∠E=∠BAP=105∴△ABP∽△EDP，∴∠EPD=∠APB=45∘，∴∠BPD=90∘，∴S△PEDS△BPD∵tan∠PBD=∴∠PBD=∵∠ABC=90∘∴∠DBC=∵∠C=∴△ABP∽△EDP∽△CBD∴SS四边形ABCD=S【点睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性质，若两三角形相似，则有面积的比值为边长的平方，根据此性质找到面积与边长的关系即可；（3）主要考查了不规则四边形面积的计算以及（2）的结论，其中合理正确利用前面得出的结论是解题的关键．►题型04与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题1．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，连接OA1，以OA1为边，作矩形OA1A2B1使A1A2=23OA1，连接OA2交A1B于点C【答案】34【分析】先寻找规律求得S矩OAnAn+1【详解】解：∵四边形OAA∴∠A=∠B=90°，A1B=OA=3，OB=AA∴∠BA∴OA1=OA∵A1∴A1∴tan∴∠A∴∠BA∴OC=A同理可证OA2=依次类推OAn=故S矩O在矩形OAA1B中，设OC=根据勾股定理OB即22+(3−x)∵OA2=(同理可证OC∴S同理可证S故答案为：34【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中线有关的面积计算，探索与表达规律，解直角三角形．解决此题的关键有两个：①寻找规律，求得S矩OAn2．（2024·四川内江·二模）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2024【答案】1【分析】本题考查图形类规律类、等腰直角三角形的性质、勾股定理，先根据题意求得前几个正方形的面积，继而可得第n个正方形的边长为2×22n−1【详解】解：由题意得，第一个正方形的边长为2，则S1∵△DEC是等腰直角三角形，∴DC=2∴第二个正方形的边长为DE=DC∴S2∵△FGH是等腰直角三角形，∴第三个正方形的边长为22∴S3同理可得，第四个正方形的边长为12∴S4⋯，∴第n个正方形的边长为2×2∴Sn∴S2024故答案为：123．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B

【答案】5【分析】本题考查了图形的变化规律问题，根据勾股定理，结合正方形的面积公式，找出正方形的面积与序数n的关系即可，解题的关键是找出正方形的面积与序数n的关系．【详解】由正方形A1B1C1D1正方形A2B2C2D2正方形A3B3C3D3⋯，正方形AnBn∴当n=2024时，正方形A2024B2024故答案为：520244．（2023·山东青岛·二模）【问题背景】如图1，△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2．取AC、BC、AB中点进行第1次剪取，记所得正方形面积为S1，如图2，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2【问题探究】（1）S2（2）如图3，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S3继续操作下去…，则第10次剪取时，S10=______；第n【拓展延伸】在第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______．【答案】（1）12；（2）129，【分析】（1）根据题意，可求得S△AED+S△DBF=（2）同理可得规律：Sn即是第n（3）依此规律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，得出甲、乙两种剪法，所得的正方形面积是解题的关键．【详解】解：（1）∵四边形ECFD是正方形，∴DE=EC=CF=DF，∠AED=∠DFB=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF，∵AC=BC=2，∴DE=DF=1，∴S同理：S2∴S故答案为：12（2）Sn等于第n∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：2−S第二次剪取后剩余三角形面积和为：S1第三次剪取后剩余三角形面积和为：S2…第十次剪取后剩余三角形面积和为：S9第n次剪取后剩余三角形面积和为：Sn−1故答案为：129，（3）在第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为S9故答案为：12►题型05勾股定理与网格问题正方形网格中的每一个角都是直角，在正方形网格中的长度计算都可以归结为求任意两个点之间的距离，一般情况下都是运用勾股定理来进行计算，关键是确定每一条边所在的直角三角形.1．（2023·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．

(1)在图①中，△ABC的面积为92(2)在图②中，△ABC的面积为5(3)在图③中，△ABC是面积为52【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）以AB=3为底，设AB边上的高为ℎ，依题意得S△ABC=12AB·ℎ=92，解得ℎ=3，即点C（2）由网格可知，AB=32+12=10，以AB=10为底，设AB边上的高为ℎ，依题意得S△ABC=12AB·ℎ=5，解得ℎ=（3）作BD=AB=5，过点D作CD∥AB，交于格点C，连接A、B【详解】（1）解：如图所示，以AB=3为底，设AB边上的高为ℎ，依题意得：S解得：ℎ=3即点C在AB上方且到AB距离为3个单位的线段上的格点即可，答案不唯一；（2）由网格可知，AB=以AB=10为底，设AB边上的高为ℎ依题意得：S解得：ℎ=将AB绕A或B旋转90°，过线段的另一个端点作AB的平行线，与网格格点的交点即为点C，答案不唯一，（3）如图所示，作BD=AB=5，过点D作CD∥AB

由网格可知，BD=AB=22+∴△ABD是直角三角形，且AB⊥BD∵CD∴S△ABC【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．2．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

【答案】见解析【分析】根据勾股定理可得AB=5【详解】解：如图所示，

如图①，AC=AB=12+22如图②，AD=AB=12+22=5如图③，AE=AB=12+22【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．（2024·广东·模拟预测）如图，在6×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的顶点均在网格的格点上．(1)求sinD(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作CE⊥AD，垂足为E，并直接写出CE的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）【答案】(1)2(2)图见解析，6【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键．（1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出△ACD是以∠ACD为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得；（2）先以点C为圆心、CA为半径画弧交AD于点F，再分别以点A,F为圆心，AC长为半径画弧，分别交于点C,G，然后画直线CG，交AD于点E，则CE即为所作；最后利用正弦的定义即可求出CE的长．【详解】（1）解：如图，连接AC，∵AD=12+52∴AC∴△ACD是以∠ACD为直角的直角三角形，∴sinD=（2）解：用尺规作图法过点C作CE⊥AD，垂足为E，作图如下：在Rt△CDE中，CE=CD⋅►题型06勾股定理与折叠问题解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾股定理列方程使问题得以解决.1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE=【答案】3【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出BD的长，折叠得到CD=DF，CE=EF,∠EFD=90°，设CE=x，在Rt△BFE【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是边AC的中点，∴CD=1∴BD=B∵将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，∴CD=DF=3，CE=EF,∠EFD=90°，∴BF=BD−DF=2,∠BFE=90°，设CE=x，则：EF=x,BE=BC−CE=4−x，在Rt△BFE中，由勾股定理，得：4−x解得：x=3∴CE=3故答案为：322．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC=10．sin∠AFB=45，则

【答案】5【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得AD=AF=10，EF=ED，可得AB=AF⋅sin∠AFB=10×45=8，BF=AF【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC=10，根据折叠可知，可知AD=AF=10，EF=ED，则，在Rt△ABF中，AB=AF⋅sin∠AFB=10×∴BF=AF2设DE=x，则CE=CD−DE=8−x，在Rt△CEF中，EF2解得：x=5，即：DE=5，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．3．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为

【答案】3【分析】连接BB'，过点F作FH⊥AD于点H，设CF=x，则DH=x，则BF=1−x，根据已知条件，分别表示出AE,EH,HD，证明△EHF≌△B'CBASA，得出EH=【详解】解：如图所示，连接BB'，过点F作FH⊥AD于点

∵正方形ABCD的边长为1，四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，∴S四边形设CF=x，则DH=x，则BF=1−x∴S即1∴AE=x−∴DE=1−AE=5∴EH=ED−HD=5∵折叠，∴BB∴∠1+∠2=∠BGF=90°，∵∠2+∠3=∴∠1=∠3，又FH=BC=1,∠EHF=∠C∴△EHF≌△B'CB∴EH=在Rt△B即1−x解得：x=3故答案为：38【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2024·四川广元·中考真题）已知y=3x与y=kxx>0的图象交于点A2,m，点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y=k

【答案】0,4【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出A2,23以及y=43xx>0，根据解直角三角形得【详解】解：如图所示：过点A作AH⊥y轴，过点C作CD⊥x轴，

∵y=3x与y=k∴把A2,m代入y=3x∴A2,2把A2,23代入解得k=2×23∴y=4设Cm在Rt△AHO∴∠1=30°，∵点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，∴∠2=∠1=30°，OC=OB，∴∠3=90°−∠1−∠2=30°，则CDOD解得m=23∴C2∴OB=OC=2∴点B的坐标为0，故答案为：0，►题型07勾股定理与无理数1．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC=12AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE=mAB，则m

A．5−12 B．5−22 C．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得∠ABC=90°，再根据BC=12AB，设AB=a，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理可得【详解】解：∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，∵BC=12∴BC=1∴AC=A由题意得：AD=AE，∴AE=AD=AC−CD=5∵AE=mAB，∴m=5故选：A2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，BA=BC，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是．【答案】−3【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是求出AB，即可得a的值．【详解】解：由图可得，BC=2∴A表示的数比B表示的数小5，∴a=−1−5∵2<5∴−3<−5∴−4<−1−5∴a的值最接近的整数是−3，故答案为：−3．3．（2024·山西大同·模拟预测）为了比较5+1与10的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段OA，且OA=1，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接AB，AC，由AB+BC>AC推出5+1>10A．统计思想 B．数形结合 C．模型思想 D．分类讨论【答案】B【分析】本题考查了勾股定理、三角形的三边关系等知识点，根据题意可得AB=5【详解】解：由题意得AB=5∴5该过程利用数轴，结合勾股定理可得5+1>故选：B．4．（2024南宁三中模拟）利用勾股定理，可以作出长为2、3、5、⋯的线段，如图：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，则AC的长等于______．在按同样的方法，可以在数轴上画出表示2、3、5、⋯

（1）在数轴上作出表示−2的点M（2）在数轴上作出表示3的点N（尺规作图，保留痕迹）．【答案】5；（1）作图见解析；（2）作图见解析．【分析】本题考查了勾股定理，在数轴上表示无理数，利用勾股定理正确作出直角三角形是解题的关键．利用勾股定理即可求出AC的长度；（1）如图，在数轴上作出直角边为1的等腰直角三角形，由勾股定理得斜边长为2，以原点为圆心，2为半径画圆，与数轴的负半轴交于点M，点M表示的数即为−2（2）如图，先在数轴上作出直角边为1的等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜边为直角边，另一条直角边为1作一个直角三角形，由勾股定理可得，它的斜边为3，然后以原点为圆心，3为半径画圆，与数轴的正半轴交于点N，点N表示的数即为3；【详解】解：∵∠B=90°，AB=2，BC=1，∴AC=A故答案为：5；（1）如图，点M即为所求；（2）如图，点N即为所求．►题型08利用勾股定理证明线段平方关系1．（2021·山东枣庄·中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+C（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由见解析；（2）AB2+C【分析】（1）连接AC,BD，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线AC是线段BD的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可得证；（2）先根据垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理解答即可；（3）设CE分别交AB于点M，交BG于点N，连接BE,CG，先证明△GAB≅△CAE，得到∠ABG=∠AEC，再根据角的和差可证∠BNM=90°，即CE⊥BG，从而可得四边形CGEB是垂美四边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得．【详解】证明：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：如图，连接AC,BD，∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想AB∵四边形ABCD是垂美四边形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得：ADAB∴AB（3）如图，设CE分别交AB于点M，交BG于点N，连接BE,CG，∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，∴∠CAG=∠BAE=90°,AG=AC,AB=AE，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG=AC∠GAB=∠CAE∴△GAB≅△CAESAS∴∠ABG=∠AEC，又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，∴∠ABG+∠BMN=90°，∴∠BNM=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：CG∵AB是Rt△ACB的斜边，且AC=4，AB=5，∴BC2=A在Rt△ACG中，CG在Rt△ABE中，BE∴9+GE解得GE=73或GE=−故GE的长为73．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键．2．（2024·山西朔州·二模）阅读与思考下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用，例：如图1，已知P为等边三角形ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°.求以AP，BP，CP为边的三角形中各个内角的度数.解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以AP，BP，CP为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为AP，BP，CP的三角形来解决问题．解：将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，则△AQB≌△APC．∴BQ=CP，AQ=AP，∠1=∠CAP．由旋转可知∠QAP=60°，∴△APQ是等边三角形．【依据】∴QP=AP，∠3=∠4=60°．∴△QBP就是以AP，BP，CP为边的三角形．∵∠APB=113°，∴∠5=∠APB−∠4=53°．∵∠AQB=∠APC=123°.∴∠6=∠AQB−∠3=63°．∴∠QBP=180°−∠5−∠6=64°．∴以AP，BP，CP为边的三角形中，三个内角的度数分别为64°，63°，53°.构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单．任务：(1)上面小论文中的“依据”是________．(2)如图2，已知点P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC=102°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的度数为________°．(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=30°，∠ABC=60°，AB=BC．求证：BD【答案】(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形(2)18(3)证明见解析【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理：（1）依据是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（2）将△ACP绕点A顺时针旋转60°到△AQB的位置，连接PQ，则△AQB≌△APC，可得△APQ是等边三角形，则△QBP就是以AP，BP，CP为边的三角形．根据全等三角形的性质及三角形内角和定理分别求得三个内角的度数，即可得到答案；（3）连接AC，将△BCD绕点C顺时针旋转60°到△ACE的位置，连接DE，先证明△ABC是等边三角形，由旋转的性质可得△DCE为等边三角形，进而可得∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，利用勾股定理即可得证．【详解】（1）解：依据是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故答案为：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（2）解：如图，将△ACP绕点A顺时针旋转60°到△AQB的位置，连接PQ，则△AQB≌△APC，∴BQ=CP，AQ=AP，∠1=∠CAP，由旋转的性质可知∠QAP=60°，∴△APQ是等边三角形，∴QP=AP，∠3=∠4=60°，∴△QBP就是以AP，BP，CP为边的三角形，∵∠APC=102°，∴∠5=180°−∠APC−∠4=180°−102°−60°=18°，∵∠AQB=∠APC=102°，∴∠6=∠APC−∠3=102°−60°=42°，∴∠QBP=180°−∠5−∠6=120°，∵∠5<∠6<∠QBP，∴最小内角的度数为18°，故答案为：18；（3）证明：如图，连接AC，将△BCD绕点C顺时针旋转60°到△ACE的位置，连接DE，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC，由旋转可知AE=BD，CE=CD，∠DCE=60°，∴△DCE为等边三角形，∴DE=DC，∠CDE=60°，∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得A∴BD3．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．

(1)判断∠ACD与∠BCE间的数量关系，并说明理由；(2)直接写出线段AD、AE、AC间满足的数量关系．【答案】(1)见解析(2)AD【分析】（1）根据已知条件得出∠DCE=∠ACB=90°，即∠DCE=∠ACD+∠ACE,∠ACB=∠BCE+∠ACE，即可得出∠ACD=∠BCE；（2）证明△CAD≌△CBE，得出∠CAD=∠CBE，BE=AD，进而根据四边形内角和为360°，求得∠AEB=90°，进而勾股定理即可得证．【详解】（1）∠ACD=∠BCE理由如下，∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠DCE=∠ACB=90°，∵∠DCE=∠ACD+∠ACE,∠ACB=∠BCE+∠ACE，∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE，∴∠ACD=∠BCE；（2）AD如图所示，连接BE，

由（1）可得∠ACD=∠BCE∵CA=CB,CD=CE∴△CAD≌△CBE∴∠CAD=∠CBE，BE=AD，∵∠CAD+∠CAE=180°∴∠CBE+∠CAE=180°∵∠ACB=90°在四边形ACBE中，∠AEB=360°−∴△ABE是直角三角形，∴A又△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2AC，即又∵BE=AD，∴A【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·陕西咸阳·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中点，作∠POQ=90°．分别交AC，BC于点P，Q，连接(1)【尝试探究】如图1，若AC=BC，求证AP(2)【深入研究】如图2，试探索（1）中的结论在一般情况下是否仍然成立；(3)【解决问题】如图3，若AC=6，BC=8，点C，P，O，Q在同一个圆上，求△PCQ面积的最大值．【答案】(1)见解析(2)成立，证明见解析(3)625【分析】（1）证明△APO≌△CQO，得到AP=CQ，推出BQ=CP，由勾股定理，得到PQ（2）延长QO至D，使OD=OQ，连接AD,PD,AQ,BD，易得四边形ADBQ是平行四边形，得到AD∥BQ,AD=BQ，进而得到∠PAD=90°，AP2+BQ2=AP（3）根据∠C=90°，推出∠POQ=90°，利用（2）的结论，设PC=a,CQ=b，求出a,b之间的关系式，利用面积公式将三角形的面积转化为二次函数求最值即可得解．【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点O是AB的中点，∴AO=CO,∠A=∠OCQ=45°,CO⊥AB，∵∠POQ=90°，∴∠AOP=∠COQ=90°−∠COP，∴△AOP≌△COQASA∴AP=CQ，∵AC=BC，∴CP=BQ，∵∠ACB=90°，∴CP∴AP（2）AP证明：延