中考数学总复习中考数学专项提升第24讲 矩形的性质与判定(讲义1考点+1命题点21种题型)(原卷版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第五章四边形第24讲矩形的性质与判定（思维导图+1考点+1命题点21种题型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点矩形04题型精研·考向洞悉命题点矩形的性质与判定►题型01矩形性质的理解►题型02根据矩形的性质求角度►题型03根据矩形的性质求线段长►题型04根据矩形的性质求周长，面积►题型05根据矩形的性质求点的坐标►题型06利用矩形的性质证明►题型07矩形的折叠问题►题型08矩形判定定理的理解►题型09添加一个条件使四边形是矩形►题型10证明四边形是矩形►题型11根据矩形的性质与判定求角度►题型12根据矩形的性质与判定求线段长►题型13根据矩形的性质与判定求周长，面积►题型14根据矩形的性质与判定解决多结论问题►题型15与矩形有关的新定义问题►题型16与矩形有关的规律探究问题►题型17与矩形有关的动点问题►题型18与矩形有关的最值问题►题型19矩形与函数综合►题型20与矩形有关的存在性问题►题型21与矩形有关的材料阅读类问题

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求矩形的有关证明与计算★★★理解矩形的概念；探索并证明矩形的性质定理与判定定理.【考情分析】矩形是特殊的平行四边形，其对角线相等、内角为直角，故矩形的考查经常与直角三角形的勾股定理相结合，利用矩形的性质解折叠问题是中考中的常考题型，注意折叠前、后对应的线段与角大小相等，试题形式多样，难度中等.【命题预测】矩形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2025年各地中考还将出现.其中，矩形还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而矩形其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视.解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大．02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.【易错点】对于矩形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②有一个角是直角.2.矩形的性质定理：性质符号语言图示边两组对边平行且相等∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC角四个角都是直角∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°对角线两条对角线互相平分且相等∵四边形ABCD是矩形∴AO=CO=BO=DO【补充】1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题.3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.3.矩形的对称轴1）矩形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴且对称轴都是经过对边中点的直线；3）过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分.4.矩形的判定判定定理符号语言图示角一个角是直角的平行四边形是矩形在平行四边形ABCD中，∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形三个角是直角的四边形是矩形在四边形ABCD中，∵∠B=∠A=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形对角线对角线相等的平行四边形是矩形在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形矩形判定思路：1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°2．（2024·陕西·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF．求证：AF=DE．3．（2024·甘肃·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=60°，AB=2，则AC的长为（）A．6 B．5 C．4 D．34．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，O是边AB的中点，∠AOD=∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．5．（2024·四川泸州·中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（

）A．∠A=90B．∠B=∠CC．AC=BD D．AC⊥BD04题型精研·考向洞悉命题点一矩形的性质与判定►题型01矩形性质的理解1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（

）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠ACB=∠ACD2．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论一定正确的是（

）A．AC平分∠BAD B．AB=BC C．AC=BD D．AC⊥BD3．（2023·湖南·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，AB>AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（

）

A．点O为矩形ABCD的对称中心 B．点O为线段AB的对称中心C．直线BD为矩形ABCD的对称轴 D．直线AC为线段BD的对称轴4．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（

）

A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线BD的长度减小C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变QUOTEQUOTEQUOTE►题型02根据矩形的性质求角度1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为（

）A．41° B．51° C．49° D．59°2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF．若∠ADB=38°，∠BOF=30°，则∠AOF=．3．（2022·湖北十堰·中考真题）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB=AC，侧面四边形BDEC为矩形，若测得∠FBD=55°，则∠A=°．4．（2020·贵州黔南·中考真题）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C'，D'处，D'E与BF交于点G．已知∠BGD'A．30° B．45° C．74° D．75°►题型03根据矩形的性质求线段长1．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，若DM=5，CM=3，则MN=2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB=3，BC=4，则点F到BD的距离为．3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=23，∠AEO=120°，则FCA．1 B．2 C．2 D．34．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA'，连接CA'．若AD=9，AB=5，C

5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边的三等分点，连接DE，点P是DE的中点，OP=3，连接CP，则PC+PE的值为QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04根据矩形的性质求周长，面积1．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=23，则矩形ABCD的周长是（

A．163 B．83+4 C．42．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD=4，AB=2．则四边形MBND的周长为（A．52 B．5 C．10 3．（2022·湖南邵阳·中考真题）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为4．（2023·广西·中考真题）如图，过y=kx(x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=−1x的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，

A．4 B．3 C．2 D．15．（2023·重庆·中考真题）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB=4,AD=3，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）

6．（2022·湖南湘潭·中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？QUOTE►题型05根据矩形的性质求点的坐标1．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为−4,0，点C的坐标为0,2．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'BA．−4,−2 B．−4,22．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处．若OA=8，OB=10，则点D的坐标是．

3．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5,OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E

A．1,2 B．−1,2 C．5−1,2 D．4．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为9,0，点C的坐标为0,3，以OA,OC为边作矩形OABC．动点E,F分别从点O,B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA,BC向终点A,C移动．当移动时间为4秒时，AC⋅EF的值为（

）

A．10 B．910 C．15 D．5．（2024·贵州安顺·模拟预测）如图，已知矩形ABCD的两点C、D在反比例函数y=kx的图象上，点A和点B都在坐标轴上，且B的坐标为1,0，AB=2BC，则k=►题型06利用矩形的性质证明1．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（

）

A．O为矩形ABCD两条对角线的交点 B．EO=FOC．AE=CF D．EF⊥BD2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形ABCD．(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接AE、CF．求证：四边形3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．(1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角4．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．(1)求证：AD(2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF=CF=12BD►题型07矩形的折叠问题1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若AB=4，BC=6，则CF=．2．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．53．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD=12cm，CD=10第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD'N，AD'交折痕MN于点EA．8cm B．16924cm C．1674．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形ABCD中，E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．(1)求证：△EDP∽△PCH．(2)若P为CD中点，且AB=2,BC=3，求GH长．(3)连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．5．（2023·青海西宁·中考真题）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D'处，MD'与BC

【猜想】】MN=CN【验证】请将下列证明过程补充完整：∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠∴∠CMD=∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC（矩形的对边平行）∴∠CMD=（∴=（等量代换）∴MN=CN（）【应用】如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD'上，点A落在点A'处，点B落在点B（1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；（2）若CD=2，MD=4，求EC的长．►题型08矩形判定定理的理解1．（2022·山东聊城·中考真题）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（

）A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等2．（2024·广西贵港·二模）请阅读下列材料，完成相应的任务．×年×月×日星期日只用卷尺也能判断矩形今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AC=BD．求证：四边形ABCD是矩形．证明：……．任务：(1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理：________________；(2)补全材料中的证明过程；(3)利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（写出简要的测量方法）►题型09添加一个条件使四边形是矩形1．（2023·上海·中考真题）在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（

）A．AB∥CD B．AD=BC C．∠A=∠B D．∠A=∠D2．（2022·甘肃武威·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是．3．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从以下三个选项中①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4

(1)你添加的条件是_________（填序号）；(2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．4．（2024·江苏南京·中考真题）如图．线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．(1)求证：AF与DE互相平分；(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．►题型10证明四边形是矩形1．（2024·广东广州·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠B=90°(1)尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．2．（2024·新疆·中考真题）如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点．(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)当BD=CE时，求证：▱DEFG是矩形．3．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点．

(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接EF．若EF=AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论．►题型11根据矩形的性质与判定求角度1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B,D不重合），GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足．连接EF,AG，并延长AG交EF于点H．

(1)求证：∠DAG=∠EGH．(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由．2．（2023·江西·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°<α<360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为

3．（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF．若∠BEF=α，则∠CDP一定等于（

）A．90°−α B．2α C．180°−3α D．45°+α4．（2023·河南新乡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点D、E分别在边BC、AB上，BD=2，DE∥AC，将△BDE绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是D'、E'，当A、D'►题型12根据矩形的性质与判定求线段长1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BCAB=5−12．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2．点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F．连接PF，取PF的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为．3．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE=30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB=2，则DF的长为．

4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF．

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时BCAB►题型13根据矩形的性质与判定求周长，面积1．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三个顶点D，E，F均在Rt△ABC的边上，且邻边之比为1：2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值．2．（2021·安徽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（

）A．3+3 B．2+23 C．2+33．（2021·山东烟台·中考真题）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2），则矩形的周长为4．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE,AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S,S1,S2

A．△ABE的面积 B．△ACD的面积 C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积5．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．(1)求证：四边形EBCF是矩形．(2)设△ABE的面积为S1，△ACE的面积为S2，矩形EBCF的面积为S3，则S1，►题型14根据矩形的性质与判定解决多结论问题1．（2021·四川雅安·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①四边形NEMF为平行四边形，②DN2=MC⋅NC；③△DNF为等边三角形；④当AO=AD时，四边形DEBF2．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2

3．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，矩形ABCD中，AD=2AB，点E在BC边上，且AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：①AF=DC，②OF：BF=CE：CG，③S△BCG=2S△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是4．（2020·广西柳州·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是．（填写所有正确结论的序号）►题型15与矩形有关的新定义问题1．（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形

新定义2：将顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平③折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处④展平纸片，按照所得到的点D折出DE(1)根据以上折纸法，求证：矩形BCDE为黄金矩形(2)如图5，已知∠A=36°，△ABC为黄金三角形，BC=1，求：(3)在（2）的条件下，截取BD=BC交AC于D，截取CE=CD交线段BD于E，过E作任意直线与边AB，BC交于P，Q两点，试判断：2．（2024·江苏苏州·二模）大家都知道黄金比的美，但是漫画家创造一个可爱的漫画形象时，通常会去选择运用白银比而非黄金比．因为白银比例创造出来的形象要比用形黄金比例创造出的形象更憨态可掬，温和可人．通过上网查阅资料，小希同学发现白银比的定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果ACBC=2，那么点C为线段AB的“白银分割点”，如图2，矩形ABCD中，BC应用：（1）如图3，矩形ABCD是一张A4纸，AD>AB，将矩形边AB翻折，使得点A的对应点落在BC上，将矩形边CD翻折，使得点D的对应点落在BC上，折痕交于点O，再将∠ABO对折，发现AB与BO恰好重合，求证：矩形ABCD是“白银矩形”．（2）如图4，在（1）的条件下，矩形ABCD中，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的“白银分割点”．（3）已知线段AB（如图5），作线段AB的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要做法）3．（2024·广东惠州·二模）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．(1)验证：矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形，其中矩形ABCD的长为12、宽为2，矩形EFGH长为4、宽为3．(2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．4．（2023·陕西咸阳·二模）【定义新知】如图1，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对称点F落在BC边上，再将纸片沿CE折叠，点D的对称点也与F重合，折叠后的两个三角形拼合成一个三角形(△BCE)，这个三角形称为叠合三角形．类似地，对多边形进行折叠，若折叠后的图形恰好可以拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，则这样的矩形称为叠合矩形．(1)图1中叠合△BCE的底边BC与高EF的长度之比为_______；(2)将▱ABCD纸片按图2中的方式折叠成一个叠合矩形MNPQ，若AD=13，MN=5，求叠合矩形MNPQ的面积；【问题解决】(3)已知四边形ABCD纸片是一个直角梯形，满足AB∥CD，AB⊥BC，AB点F为BC的中点，EF⊥BC，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．①如图3，若线段EF是其中的一条折痕，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出AB和CD的长；②如图4，若线段EF是叠合正方形的其中一条对角线，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出此时AB和CD的长．►题型16与矩形有关的规律探究问题1．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，连接OA1，以OA1为边，作矩形OA1A2B1使A1A2=23OA1，连接OA2交A1B于点C2．（2022·广东中山·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1~矩形ADCB；再连接AC1，A．5×522022 B．2×523．（2023·黑龙江鸡西·三模）如图，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC边上的高AB=1，点P1、Q1、H1分别在边AB、AC、BC上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1:P1B=2:3，点P2、Q

4．（2022·河北唐山·二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kxx>0的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1（1）点P2的坐标为（2）作出矩形B18A17A18►题型17与矩形有关的动点问题1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ−DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（

）A．423 B．83 C．72．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，点O是对角线AC的中点，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿折线BC−CD向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交折线DA−AB于点N，连接PQ，QM，MN，NP，得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（0<x<4），四边形PQMN的面积为y（cm

(1)BP的长为__________cm，CM的长为_________cm．（用含x的代数式表示）(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的值．3．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM=CN，试探究线段MN长度的最小值．【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：AM=MP；（2）∠CAP的大小为度，线段MN长度的最小值为________．【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN．钢丝绳MN长度的最小值为多少米．4．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．►题型18与矩形有关的最值问题1．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别在边AD、BC上，将纸片ABCD沿EF折叠，使点D的对应点D'在边BC上，点C的对应点为C'，则DE的最小值为，2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（

A．3 B．32 C．2 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8，点E是边AD上的动点，连结CE，以CE为边作矩形CEFG（点D，G在CE的同侧），且CE=2EF，连结BF．(1)如图1，当点E为AD边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求BF的长．(2)如图2，若∠BCE=30°，设CE与BF交于点K．求证：BK=FK．(3)在点E的运动过程中，BF的长是否存在最大（小）值？若存在，求出BF的最值；若不存在，请说明理由．4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=25,BC=8．点P是BC边上一动点，点M为线段AP上一动点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（A．2 B．810521 C．2.4 5．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC=4，BD=6，则AD+BC的最小值是．

6．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（

A．132 B．6013 C．125►题型19矩形与函数综合1．（2022·陕西西安·模拟预测）如图，一次函数y=−2x+6的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上(不与点A，B重合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．当矩形OCPD的面积为4时，点P的坐标为()

A．2,2 B．12,5 C．1,4或12,5 2．（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y=axa>0上第一象限内的两个动点OD>OB，以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y=kx【构建联系】（1）求证：函数y=kx的图象必经过点（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为1,2时，求k的值．【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP=32，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k3．（2023·江苏连云港·中考真题）【问题情境

建构函数】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4,M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC=x,AE=y，试用含x的代数式表示y．

【由数想形

新知初探】（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图像如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．

【数形结合

深度探究】（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是−42<y<42；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点A、B、C、D【抽象回归

拓展总结】（4）若将（1）中的“AB=4”改成“AB=2k”，此时y关于x的函数表达式是__________；一般地，当k≠0,x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．

►题型20与矩形有关的存在性问题1．（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l：y=kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ//y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF=∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB//OC，线段OA，AB的长分别是方程x2－9x+20=0的两个根（OA<AB）,tan∠OCB=43（1）求点B，C的坐标；（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ=5，将∆POQ翻折，使点O落在AB上的点O'处，双曲线y=kx的一个分支过点O（3）在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以O'3．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为−6,0，点C的坐标为0,3，点P从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O出发，同时点Q从点O出发，沿OA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当点P与点O重合时运动停止．设运动时间为t秒．(1)当t=2时，S△POQ=(2)当△POQ与△BQA相似时，求t的值；(3)当t=1时，抛物线y=−x2+bx+c经过P，Q两点，与x轴交于另一点M．抛物线的顶点为N，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=4．（2024·青海西宁·一模）综合与探究如图，抛物线y=12x2−x−4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴于点D，过点D作DE(1)求点A，B，C的坐标；(2)点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，当PF=AF时，求PE的长；(3)在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．►题型21与矩形有关的材料阅读类问题1．