2024-2025学年高一数学人教B版必修第四册教学课件 第十章 -10.3 复数的三角形式及其运算

10.3复数的三角形式及其运算第十章1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.3.了解辐角、辐角主值等概念.4.了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义.

重点：复数的三角表示.难点：复数乘除运算的三角表示及其几何意义.学习目标一、复数的三角形式

新知学习

从而z＝a+bi＝（rcosθ）+（rsinθ）i＝r（cosθ+isinθ），上式的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式（对应地，a+bi称为复数的代数形式），其中的θ称为z的辐角.显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地，在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作argz.【名师点拨】

为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.因为

0＝0（cosθ+isinθ），其中θ可以为任意值，所以我们也称上式为复数0的三角形式.这样一来，任意复数都可以写成三角形式了.【特别提示】（1）复数的三角形式与代数形式一样，也是表示复数的一种方法，它们可以相互转化.（2）复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一.（3）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值.二、复数三角形式的乘除法1.复数三角形式的乘法法则【尝试与发现】设z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），试求出z1z2.提示：z1z2＝r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2［（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2）］＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.由此，我们可得到复数三角形式的乘法法则：r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.z1的模乘以z2的模等于z1z2的模（简记：模相乘）z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角（简记：辐角相加）2.复数三角形式乘法的几何意义

从而z＝a+bi＝（rcosθ）+（rsinθ）i＝r（cosθ+isinθ），上式的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式（对应地，a+bi称为复数的代数形式），其中的θ称为z的辐角.显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地，在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作argz.3.复数三角形式的除法法则

模相除辐角相减4.复数三角形式除法的几何意义

◆将复数的三角形式化为代数形式的一般方法1.计算出cosθ，sinθ的值；2.整理为a+bi（a，b∈R）的形式，其中a＝rcosθ，b＝rsinθ.

一一

二、复数的辐角的定义、求法，辐角主值的定义、记法1.求复数的辐角主值例2复数z＝-sin100°+icos100°的辐角主值是

（）A.80° B.100° C.190° D.260°【解析】

z＝-sin100°+icos100°＝-cos10°-isin10°＝cos190°+isin190°，∴

argz＝190°.【答案】

C例3求复数2+2i，2的辐角主值.

【解】设这两个复数的模分别为r1，r2，辐角主值分别为θ1，θ2.

【注意】非零复数z＝r（cosθ+isinθ）中，辐角θ可以取辐角主值，也可以取其他辐角，它们相差2π的整数倍.

三、利用复数的三角形式进行复数的乘除运算

◆复数的乘法运算1.若复数为三角形式，则用复数三角形式的乘法公式进行计算，即r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].2.若复数为代数形式，可以先化为三角形式再进行计算，也可利用代数形式计算.

四、复数乘法和除法的几何意义及其应用

1.复数的三角形式z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ）的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式，其中的θ称为z的辐角.在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作argz.

为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.课堂小结2.复数三角形式的乘法法则r1（cosθ1