中职高考数学一轮复习讲练测10.3抽样方法用样本估计总体讲解析版

10.3抽样方法、用样本估计总体【考点梳理】1．简单随机抽样(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样方法有两种：抽签法和随机数法．抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．随机数法：随机数法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．2．系统抽样(1)一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：①先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；②确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq\f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝eq\f(N,n)，如果遇到eq\f(N,n)不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除；③在第1段用简单随机抽样方法确定第一个个体编号l(l≤k)；④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．(2)当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用系统抽样．3．分层抽样(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的．4．用样本的频率分布估计总体分布(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．(2)在频率分布直方图中，纵轴表示eq\f(频率,组距)，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1．(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细地反映出总体在各个范围内取值的百分比．(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便．5．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数，中位数，平均数众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．平均数：样本数据的算术平均数，即＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．(2)样本方差，样本标准差标准差s＝，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是样本标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．考点一抽样方法【例题】（1）某校期末考试后，为了分析该校高一年级800名学生的学习成绩，从中随机抽取了80名学生的成绩单，就这个问题来说，下列说法中正确的是（

）A．800名学生是样本 B．每名学生是个体C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本容量是80【答案】D【解析】800名学生的成绩单是总体，故A错误；每个学生的成绩单是个体，故B错误；80名学生的成绩单是所抽取的一个样本，故C错误；样本容量是80，故D正确，故选：D.（2）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（

）A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验【答案】B【解析】选项A中总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法；选项B中总体中的个体数较小，样本容量也较小，且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法；选项C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法；选项D中总体中的个体数较大，不适合用抽签法，故选：B.（3）某校为了解高一年级学生的生涯规划情况，在高一年级的6个班级中任选2个班级，并在所选班级中按男女比例抽取样本，则应采用的抽样方法是（

）A．简单随机抽样 B．分层抽样C．先用分层抽样，再用随机数表法 D．先用抽签法，再用分层抽样【答案】D【解析】先从6个班级中任选2个班级，因为总体容量、样本容量都比较小，所以用抽签法更合理，再在所选班级中按男女比例抽取样本，因为男、女差异明显，所以用分层抽样更合理，故A，B，C错误，故选：D.（4）北京2022年冬奥会期间，某大学派出了100名志愿者，为了解志愿者的工作情况，该大学学生会将这100名志愿者随机编号为1，2，…，100，再从中利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本进行问卷调查，若所抽中的最小编号为3，则所抽中的最大编号为（

）A．96 B．97 C．98 D．99【答案】C【解析】由题意知，派出了100名志愿者中，利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本进行问卷调查，可得间距为，因为所抽样本中的最小编号为，可得样本中最大编号为，故选：C．（5）现要完成3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有座椅32排，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样本进行调查（）A．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样B．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样C．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样D．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样【答案】A【解析】对于①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样；②总体中的个体数较多，而且容易分成均衡的若干部分，选32人刚好32排，每排选一人，宜用系统抽样；③总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样，故选：A．（6）某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中抽取人进行问卷调查，则高三抽取的人数是.【答案】【解析】高三应抽取的人数为：人，故答案为：.【变式】（1）某市今年有6万名学生参加高考，为了解6万名学生的高考数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，以下表述中正确的是（

）A．6万名考生是总体 B．每名考生的数学成绩是个体C．2000名考生是总体的样本 D．2000名是样本容量【答案】B【解析】对于A：总体是6万名考生的高考数学成绩.本选项错；对于B：个体是每名考生的高考数学成绩,本选项正确;对于C：样本是2000名考生的高考数学成绩,本选项错误；对于D：样本容量是2000,而非2000名,故本选项不正确，故选:B.（2）利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，故，所以每个个体被抽到的机会为，故选：D.（3）某企业有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价没有较大差异．为了解客户的评价，该企业准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样（包括抽签法和随机数法）、系统抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是（

）A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样 D．分层抽样【答案】C【解析】由于不同年龄段客户对其服务的评价没有较大差异，故不适宜用分层抽样，由于总体样本容量较大，故不适用抽签法和随机数法,适合用系统抽样来抽取样本；故选：C.（4）从编号1，2，3，…，99的99个零件中，抽取一个样本容量为11的样本，按系统抽样的方法分为11组，若第一组中抽取的零件编号为3，则第三组中抽取的零件编号为．【答案】21【解析】因为有99个零件，分11组，所以每组有9个，因为第一组中抽取的零件编号为3，所以第三组抽取的零件编号为，故答案为：21.（5）在中国共产主义青年团建团100周年之际，某高中学校计划选派60名团员参加“文明劝导”志愿活动，高一、高二、高三年级的团员人数分别为100，200，300，若按分层抽样的方法选派，则高一年级需要选派的人数为_________.【答案】【解析】依题意可知高一年级需要选派的人数为人，故答案为：.（6）现有以下两项调查：①从台刚出厂的电视机中抽取台进行质量检查；②某社区有户家庭，其中高收入家庭户，中等收入家庭户，低收入家庭户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（

）A．①②都采用简单随机抽样B．①②都采用分层随机抽样C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样【答案】C【解析】①的总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样，②中1000户家庭中收入存在较大差异，层次比较明显，宜采用分层抽样，故选：C.考点二用样本估计总体【例题】（1）在一次连续10次的射击中，甲、乙两名射击运动员所射中环数的平均数一样，但方差不同，则下列说法中正确的是（

）A．因为他们所射中环数的平均数一样，所以他们水平相同B．虽然射中环数的平均数一样，但方差较大的，潜力较大，更有发展前途C．虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较稳定，更有发展前途D．虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较不稳定，忽高忽低【答案】C【解析】由方差的意义可知，方差越小，数据越稳定；反之，方差越大，波动越大，所以C说法正确，故选：C.（2）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组频数245342则样本数据落在区间[10,40）的频率为（

）A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55【答案】D【解析】由频率直方表数据知：样本数据落在区间[10,40)的频率为，故选：D.（3）10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】重新排列得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.则有：，所以，故选：D.（4）学校举行演讲比赛，11位评委对甲同学《祖国，我爱你》演讲的评分情况是：评分7.8899.5评委人数1235去掉一个最高分和一个最低分，则甲同学的最终得分为（

）A．8.5 B．8.9 C．9.0 D．9.1【答案】C【解析】去掉一个最高分9.5分和一个最低分7.8分，则甲同学的最终得分为，故选:C.（5）一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量（单位：kg）如下：450，430，460，440，450，440，470，460，则该组数据的方差为________．【答案】【解析】根据题意知，该组数据的平均数为，所以该组数据的方差为，故答案为：.（6）某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（

）A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数【答案】A【解析】由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差，根据方差公式知方差不变．故选：A．【变式】（1）在某次足球联赛上，红队每场比赛平均失球个数是1.6，全年比赛失球个数的标准差是1.1；蓝队每场比赛平均失球个数是2.2，全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法正确的是（

）A．平均来说，蓝队比红队防守技术好 B．蓝队很少失球C．红队有时表现很差，有时表现又非常好 D．蓝队比红队技术水平更不稳定【答案】C【解析】因为红队每场比赛平均失球数是1.6，蓝队每场比赛平均失球数是2.2，所以平均说来红队比蓝队防守技术好，故A错误；因为蓝队每场比赛平均失球数是2.2，全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以蓝队经常失球，故B错误；因为红队全年比赛失球个数的标准差为1.1，蓝队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以红队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确；因为红队全年比赛失球个数的标准差为1.1，蓝队全年比赛失球个数的标准差为0.4，所以蓝队比红队技术水平更稳定，故D错误，故选：C．（2）某校1000名学生的高中历史学业水平考试成绩的频率直方图如图所示，规定90分及以上为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数为（

）A．15 B．30 C．150 D．300【答案】C【解析】根据频率直方图得该校学生优秀等级的概率是，故该校学生优秀等级的人数是,故选：C.（3）一组数据6，7，8，a，10的平均数为8，则此组数据的方差为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意，，解得，故此组数据的方差为，故选：B.（4）已知一组数据：21，23，24，30，32，下列结论：①该组数据的中位数为24；②该组数据的极差为11；③将该组数据中每个数据都加上2，得到新的一组数据的方差与该组数据的方差相等．其中正确的是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】这组数据由小到大排列依次为：21、23、24、30、32，该组数据的中位数为24，极差为，①②正确；将该组数据中每个数据都加上2，新数据的平均数增加2，方差不变，③正确，故选：D.（5）数据65，73，94，63，78，83，86，90，79，84的极差为．【答案】31【解析】极差为一组数据中最大值与最小值的差，由数据可知，最大值为94，最小值为63，所以极差为，故答案为：31.（6）某次数学考试中20个人的成绩如下：101，103，107，110，112，113，116