湖北省2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以故选：D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】命题“，”的否定为“，”可得命题“”的否定是“”.故选：D.3.截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为，则这个扇形钢板的半径约为（参考数据：）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设扇形的半径为，由扇形面积公式可得，又，可得（），故选：C.4.已知函数，则的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为和在上都是连续的增函数，所以在上是连续的增函数，所以在上至多有一个零点，因为，，所以，所以唯一的零点所在的区间为，故选：C.5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，“”是“”的必要不充分条件.故选:B.6.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】易知函数的定义域为，因为，所以，函数为奇函数，排除D.又当时，，则，排除C.又，排除B.故选：A.7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，当时，，即.所以当时，，即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为.故选：A.8.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，，要比较与0的大小，即比较的大小.由，，可得，故；又，故，所以，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知角的终边过，则（）A.角为第二象限角 B.C.当时， D.的值与的正负有关【答案】BC【解析】由，角的终边在第四象限，显然A错误；由定义，，B项正确；当时，，所以，所以C项正确；因为，与的正负无关，所以D项错误，故选：BC.10.已知函数的定义域为，，则（）A. B.C.为减函数 D.为奇函数【答案】ABD【解析】因为，，令，可得，则，令，可得，则.对于A选项：令，可得，所以A正确；对于B选项：令可得，所以B正确；对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误；对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称，令，可得，所以，所以为奇函数，所以D正确.故选：ABD.11.已知，函数，若恒成立，则（）A.的最小值为9 B.的最小值为2C.的最小值为 D.的最小值为【答案】AC【解析】因为​单调递增，​单调递增，恒成立，所以与零点相等，令可得，令可得所以函数的零点为，函数的零点为，所以对于A选项：，可知，故，所以，当且仅当，即取等号，所以A正确；对于B选项：，可知，即，显然，所以，当且仅当时等号成立，故B错误；对于C选项：由可知，易知，，故，所以，故，当且仅当，即取等号，所以C正确；对于D选项：由可知，，由A选项可知，所以，当且仅当取最小值，所以D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象过点，则_____.【答案】8【解析】由题意得，，解得，所以.故答案为：.13.若，且，则_____.【答案】或【解析】法1：由已知得，与联立可得，故，因为，则，所以.法2：由可知，因为，则，，则，由于，则，联立，解得，即.法3：由，构造对偶式，令，两式平方相加可得，因为，则，，则，即或（舍），所以，解得.故答案为：.14.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知.（1）_____；（2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】因为，所以，所以；，画出的图象要使方程恰有5个实数根，结合图像可知，，解得.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.解：（1）依题意，所以.（2）由（1）及，得，解得，所以16.已知集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若集合中恰有3个整数，求实数的取值范围.解：（1）由，可得或，即集合或：由，得或，解得或.（2）易知集合的区间长度为6，故中最少有5个整数，而集合中端点“”与“7”相距8个单位，故要使集合中恰有3个整数，则有两种情形：①当即，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为，，，则，可知②当即时，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为7，8，9，则，可知综上可知.17.已知，函数为奇函数.（1）求的值；（2）判断的单调性，并用定义证明；（3）解不等式：.解：（1）法一：因为为奇函数，所以，即，亦即，解得.法二：因为为奇函数，所以，即，解得.此时，所以所以符合题意，故.（2）为增函数.证明如下：设且，则.因为，所以，即，故，所以为增函数.（3）原不等式即为.又由（1）可知为奇函数，所以.又由（2）可知为增函数，所以，即，解得.所以原不等式解集为.18.某企业生产一批产品，受工艺和技术水平的限制，在生产中会产生一些次品，其次品率与日产量（单位：千件）之间满足如下关系：（且）.每生产1千件合格品企业平均可以获利5万元，但每生产1千件次品企业平均亏损7万元.（注：次品率，盈利=获利总额-亏损总额.）（1）求企业日盈利（单位：万元）关于日产量的函数关系式；（2）当日产量多少时，企业日盈利最大？解：（1）依题意，，当时，，则，当时，，则，所以日盈利关于日产量的函数关系式为，（且）.（2）由（1）知，当时，企业不盈利，则只需考虑时的情况，设，，则，且，则，①当，即时，，当且仅当，即时，取最大值27万元，此时千件；②当，即时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，则当，即千件时，取最大值，最大值为万元，所以当，时，日产量（千件）时，企业盈利最大；当，时，日产量（千件）时，企业盈利最大.19.用表示中的最小值，用表示中的最大值.（1）已知，求的值；（2）已知，求的最大值；（3）已知，函数，试讨论函数的零点的个数.解：（1）由对数函数性质知，即又由指数函数性质知，即.又因为，所以，即.（2）解法一：由，可得，且.则，所以，当且仅当即，时取等号，所以的最大值为.解法二：由，可得，且.则，所以，当且仅当即，时取等号，所以的最大值为.解法三：由，可得，且.所以.下面研究的最大值：，令，，则有.由及可得，故的最大值为.接下来验证取等号的条件.当时，，所以取等号的条件为即，时取等号，所以，故的最大值为.（3），，由可得.对，则①当，即时，恒成立，所以的零点也为的零点，故有个零点；②当，即或.（i）当时，，此时，是的个零点.（ii）当时，，当时，，，当时，，当且仅当，所以有个零点，和.②当，即或，有个零点，记为.所以，（i）当