2022年广东省深圳市南山外国语学校（集团）中考数学一模试卷（解析版）

2022年广东省深圳市南山外国语教育集团中考数学一模试卷一．选择题1.某物体如图所示，它的主视图是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．【详解】解：某物体如图所示，它的主视图是：故选：D．【点睛】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．2.下列运算中，结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】解：A．，此选项错误；B．，此选项错误；C．，此选项正确；D．，此选项错误；故选：C．3.口袋里有除颜色不同外其他都相同的红、蓝、白三种颜色的小球共30个，摸到红球的概率是，摸到蓝球的概率是，则袋子里有白球（）个．A.15 B.10 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】用摸到球的概率乘以球的总数即为摸出球的个数．【详解】解：因为摸到红球的概率是，摸到蓝球的概率是，所以红球的个数为，蓝球的个数为，所以袋子里有白球有30﹣15﹣10=5．故选C．【点睛】本题考查概率的定义.正确理解概率的定义是解题的关键.4.学校歌咏比赛，共有11位评委分别给出参赛选手的原始评分，评定参赛选手的成绩时，从11个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到9个有效评分．9个有效评分与11个原始评分相比，一定不变的特征数据是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】B【解析】【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．【详解】解：根据题意，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分，9个有效评分，与11个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，不变的特征数据是：中位数．故选：B．【点睛】此题考查了数据分析初步，涉及到平均数、众数、中位数以及方差，熟知相关数据特征代表的意义是解决本题的关键．5.如图，在中，点分别是边的中点，则与的面积之比为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质求解即可；【详解】∵点分别是边的中点，∴，，∴，∴与的相似比是1:2，则与的面积之比1:4．故答案选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．6.若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（

）A.

B. C.

D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴被开方数x+2为非负数，∴x+20，解得：x-2在数轴上表示为：故答案选D【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件．7.如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在A处观测到楼H在北偏东60°方向上，行驶1小时后到达B处，此时观测到楼H在北偏东30°北方向上，那么汽车由B处到达离楼H距离最近的位置C时，需要继续行驶的时间为（）A.60分钟 B.30分钟 C.15分钟 D.45分钟【答案】B【解析】【分析】作HC⊥AB交AB的延长线于C，根据题意得到BA=BH，根据∠BHC=30°得到BC=BH，等量代换得到答案．【详解】解：作HC⊥AB交AB的延长线于C，

由题意得，∠HAB=60°，∠ABH=120°，

∴∠AHB=30°，

∴BA=BH，

∵∠ABH=120°，

∴∠CBH=60°，又HC⊥AB，

∴∠BHC=30°，

∴BC=BH，

∴BC=AB，

则该车继续行驶30分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置，

故选B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值是解题的关键．8.某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是x元，则下列方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】文学类图书平均每本书的价格是x元，则科普类图书的价格为1.2x元，则1200元能购买文学类书的数量为：，购买科普类书籍的数量为，据此列出分式方程即可．【详解】文学类图书平均每本书的价格是x元，则科普类图书的价格为1.2x元，则1200元能购买文学类书的数量为：，购买科普类书籍的数量为，则依据题意有：，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．9.如图，已知二次函数，它与轴交于、，与的负半轴交于，顶点在第四象限，纵坐标为，则下列说法：①若抛物线的对称轴为，则；②；③为定值；④．其中正确的结论个数有（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】把顶点坐标（1，-4）代入求解即可判断①②；二次函数可以看做是二次函数向右平移得到的，即可求出AB即可判断③④；【详解】解：①若抛物线的对称轴为，则抛物线顶点坐标为（1，-4），∴，∴，故①正确；②∵当时，，∴，∵，∴，∴，∴，故②正确；③∵二次函数解析式为且顶点纵坐标为-4，∴二次函数可以看做是二次函数向右平移得到的，令，则，解得，∴，故③正确；④∴，故④正确；故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象的平移、二次函数与x轴的交点问题等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．10.如图，正方形中，E、F分别为边上的点，且，过F作，交于G，过H作于M，若，则下列结论中：①；②；③，其中结论正确的是()A.只有①② B.只有①③ C.只有②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】①根据∠ABE的余角是∠BGF和∠AEB，得到∠BGF=∠AEB，根据SAS证明△ABE≌△CBF，得到∠AEB=∠CFB，即可得到∠BGF=∠CFB；②将△DFH绕点D顺时针旋转90°，得到△DEN，证明N，E，H三点共线，根据DH=HN即可得到答案；③连接EF，证明EF=，BE=BF=,根据求出，根据求出，即可得到答案．【详解】①∵正方形ABCD中，AB=BC=9，∠A=∠C=90°，且AE=CF=3，∴△ABE≌△CBF(SAS)，∴∠CFB=∠AEB，∵FG⊥BE，∴∠BHG=90°，∴∠BGH+∠ABE=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠BGH=∠AEB，∴，正确；②∵AD=CD，AE=CF，∴DE=DF,将△DFH绕点D顺时针旋转90°，得到△DEN，点F的对应点为点E，则∠HDN=90°，∠DFH=∠DEN，DH=DN，FH=EN，∵∠EDF+∠EHF=180°，∴∠DEH+∠DFH==180°，∴∠DEH+∠DEN=180°，∴N，E，H三点在同一条直线上，∴∠N=∠DHN=(180°-∠HDN)=45°，∴DH=HN=EH+EN=EH+FH，∴，正确；③连接EF，∵AD=CD=9，AE=CF=3，，∴DE=DF=6，∴EF=，∵，∴，设BH=x，则EH=BE-BH=，∵，∴，∴，即，∵HM⊥AB，∴，∴，∴，∴故正确．∴正确的结论为①②③，故选D．【点睛】本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方形的边角性质，三角形全等的判定定理和性质定理，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数定义．二．填空题11.分解因式：=_______．【答案】4（x+2）（x-2）【解析】【分析】先提公因式4，然后使用平方差公式因式分解即可．【详解】解：原式=4（x2-4）=4（x+2）（x-2）．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键．12.若是关于的方程的解，则的值为________．【答案】【解析】【分析】把代入方程，得到关于的一元一次方程，再解方程即可.【详解】解：是关于的方程的解，，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的解的定义，理解分式方程的解的定义是解题的关键．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．13.抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是______．【答案】（3，5）【解析】【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标为（1，2），∵将抛物线y=（x-1）2+2再向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．故答案为：（3，5）．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．14.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，∠D=30°，B、C、D在同一直线上，连接AD，若AB=，则sin∠CAD=____．【答案】【解析】【分析】先解等腰直角三角形ABC，得出BC=AB=，AC=AB=．再解Rt△ABD，得出AD=2AB=2，BD=AB=3，那么CD=BD﹣BC=3﹣．过C点作CE⊥AD于E．根据S△ACD=AD•CE=CD•AB，求出CE=，然后在Rt△AEC中利用正弦函数的定义即可求出sin∠CAD的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AB=，∴BC=AB=，AC=AB=．∵在Rt△ABD中，∠B=90°，∠D=30°，AB=，∴AD=2AB=2，BD=AB=3，∴CD=BD﹣BC=3﹣．过C点作CE⊥AD于E．∵S△ACD=AD•CE=CD•AB，∴CE==，∴sin∠CAD==．故答案为．【点睛】本题考查了解直角三角形，利用面积公式求出EC的长是解题的关键．15.如图所示，由8个有公共顶点O的等腰直角三角形拼成的图形，∠AOB=∠BOC=⋅⋅⋅=∠MON=45°．若OA=64，则ON的长为__________．【答案】4【解析】【分析】在等腰Rt△BOA中，利用三角函数得到OB=，同理OC==，，ON=，据此求解即可．【详解】解：在等腰Rt△BOA中，OA=64，∴OB=OAcos45°=，在等腰Rt△BOC中，同理OC==，同理OD==，，∴ON==4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰直角三角形的性质，属于基础题，得出边长变化规律是解题关键．三、解答题16.计算：【答案】

【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及乘方的意义计算即可得到结果．【详解】解：原式

【点睛】本题考查了实数的混合运算；涉及到特殊角的三角函数值以及乘方，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键17.解方程：2（x+1）2=x+1．【答案】x1=﹣1，x2=﹣．【解析】【分析】将x+1看作整体，进而利用提取公因式法分解因式解方程即可．详解】解：2（x+1）2=x+12（x+1）2﹣（x+1）=0，（x+1）[2（x+1）﹣1]=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等)是解题关键．18.小鹏和小娟玩一种游戏：小鹏手里有三张扑克牌分别是3、4、5，小娟有两张扑克牌6、7，现二人各自把自己的牌洗匀，小鹏从小娟的牌中任意抽取一张，小娟从小鹏的牌中任意抽取一张，计算两张数字之和，如果和为奇数，则小鹏胜；如果和为偶数则小娟胜．（1）用列表或画树状图的方法，列出小鹏和小娟抽得的数字之和所有可能出现的情况；（2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）公平，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解；（2）根据计算概率比较即可．【详解】（1）画出树状图如下：（2）此游戏公平，由树形图可知：小娟赢概率==小鹏赢的概率．19.如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是．（1）和的相似比是；（2）请画出；（3）边上有一点，在边上与点对应点的坐标是；（4）的面积是．【答案】（1）（2）见解析（3）（4）3【解析】【分析】（1）直接利用点对应点坐标，即可得出相似比；（2）利用相似比即可得出对应点位置，进而确定答案；（3）直接利用位似图形的性质得出点坐标即可；（4）利用三角形面积公式求解即可．【小问1详解】解：和的相似比是；故答案为：；【小问2详解】如图所示，即为所求；【小问3详解】边上有一点，在边上与点对应点的坐标是；故答案为：；【小问4详解】的面积是：．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．20.某商店销售一款工艺品，每件成本为元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每月的销售量是件，而销售单价每降价元，每月可多销售件．设这种工艺品每件降价元．（1）每件工艺品的实际利润为元（用含有的式子表示）；（2）为达到每月销售这种工艺品的利润为元，且要求降价不超过元，那么每件工艺品应降价多少元？【答案】（1）（2）元【解析】【分析】（1）用销售单价减去成本即可得答案．（2）设每件工艺品应降价元，根据每月的销售利润每件的利润每月的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【小问1详解】每件工艺品的实际利润为：元，故答案为：．【小问2详解】设每件工艺品应降价x元，依题意得：，解得：，（不符题意，舍去）．答：每件工艺品应降价元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.如图，点E为正方形ABCD边AD上一动点（不与A、D重合）．连接BE交AC于点F，PQ经过点F，分别与AB、CD交于点P、Q，且PQ=BE．（1）求证：BE⊥PQ；（2）求证：FP=FE；（3）若CQ=，求AC﹣2AF的长．【答案】（1）证明过程见详解（2）证明过程见详解（3）2【解析】【分析】（1）过Q点作QM⊥AB于点M，先证△ABE≌△MQP，得到∠MPQ=∠AEB，即可证明；（2）连接FD，先证△BCF≌△DCF，FD=BF，∠FDC=∠FBC，再证∠FDC=∠BEA=∠MPQ=∠PQD，即有FQ=FD，即有FP=PQ-FQ=BE-FB=FE，则问题得证；（3）设MQ交BE于N点，交AC于T点，先证△BPF≌△QNF，得到FN=FP，再证∴△FNT≌△FEA，得到TF=AF，即有AC-2AF=AC-AF-TF=CT，在Rt△CQT中，，则问题得解．【小问1详解】证明：过Q点作QM⊥AB于点M，如图，在正方形ABCD中，有∠ABC=∠BCD=90°，BC=AB=AD=CD，，，∵MQ⊥AB，∴∠BMQ=90°=∠PMQ，∴四边形MBCQ矩形，∴MQ=BC=AB，∵BE=PQ，∠PMQ=∠BAE，∴△ABE≌△MQP，∴∠MPQ=∠AEB，∵在Rt△ABE中，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠MPQ+∠ABE=90°，∴∠PFB=90°，∴PQ⊥BE；【小问2详解】证明：连接FD，如图，在正方形ABCD中，AC平分∠BCD，，，∴∠BCF=∠DCF，∵BC=CD，CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴FD=BF，∠FDC=∠FBC，∵，∴∠BEA=∠FBC，∴∠FDC=∠BEA，∵在（1）中已经证明∠MPQ=∠AEB，∴∠FDC=∠AEB，∵，∴∠MPQ=∠PQD，∴∠FDC=∠BEA=∠MPQ=∠PQD，∴FQ=FD，∴FQ=FB，∵BE=PQ，∴FP=PQ-FQ=BE-FB=FE，∴FP=FE，问题得证；【小问3详解】设MQ交BE于N点，交AC于T点，如图，在（1）中已证得∠PBE=∠MQP，∠BFP=∠BFQ，在（2）中已证得FQ=FB，∴△BPF≌△QNF，∴FN=FP，根据（2）结论有FP=FE，∴FN=FE，∵四边形MBCQ是矩形，，∠CQM=90°，∴，即，CQ=MB，∴∠TNF=∠AFE，∵∠AFE=∠TFN，∴△FNT≌△FEA，∴TF=AF，∴AC-2AF=AC-AF-TF=CT，∵正方形中对角线AC平分∠BCD，，∴∠CTQ=∠BCT，∴∠QCT=45°=∠CTQ，∴CQ=QT=，∵∠CQM=90°，∴Rt△CQT中，，∴AC-2AF=CT=2．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行的性质等知识．构造全等三角形是解答本题的关键．22如图，抛物线y=﹣x2+bx+2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．连接AC，BC．（1）若点A的坐标为（﹣1，0）．①求抛物线的表达式；②点P在第一象限的抛物线上运动，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为以PF为腰的等腰三角形时，求点P的坐标．（2）抛物线y=﹣x2+bx+2的顶点在某个y关于x的函数图像上运动，请直接写出该函数的解析式．【答案】（1）①②，（2）【解析】【分析】（1）①将A点坐标代入即可求解；②设PH交AB于点M，坐标原点为O，AP交y轴于点N，先求得A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)，设点P的坐标为，且，即可表示出OM、PM、BM、AM，采用待定系数法求出直线BC、AP的解析式，即可求出N点、F点、H点坐标，则可求出ON、HM、CN，接下来分情况讨论：第一种情况：PF=HF时，证明△PMA∽△HMB，即有，即可求得a值，此时P点坐标可求；第二种情况：PF=PH时，先证明CN=NF，根据N点、F点坐标，利用勾股定理求出NF，再根据CN=NF列关于a的方程，解方程即可求出a，此时P点坐标可求；（2）将将配成顶点