江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高二上学期期末调研数学试题（解析版）

第1页/共1页2024-2025学年高二第一学期期末六校联合调研试题高二数学一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线斜率的定义直接得出结果.【详解】由得，故倾斜角满足为，故.故选：D2.已知数列是等差数列，，则（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出.【详解】等差数列中，由，得公差，所以.故选：B3.“”是“方程表示双曲线”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】∵方程为双曲线，∴，∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，故选：Ａ.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程即可.【详解】由，求导得，则，因此曲线在点处的切线为，即.故选：D5.若抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则的值为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】求出椭圆的左焦点，由抛物线的准线方程得.【详解】椭圆的半焦距，因此抛物线y2=2pxp>0的准线过点，则，所以.故选：C6.记为等比数列的前项和，若，则（）A. B. C.1或 D.或【答案】B【解析】【分析】先判断，再运用等比数列求和公式化简方程，求得，利用等比数列通项公式化简所求式即得.【详解】设等比数列的公比为，若，则，故，则由可得：，因，可将其化简为：，即，解得（舍去）或.则.故选：B.7.已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，分析可知，直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】令，可得，令，则直线与函数的图象有三个交点，，令，可得或，列表如下：0,+增极大值减极小值增如下图所示：由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有三个交点，因此，实数的取值范围是.故选：A.8.已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据求出点的轨迹方程为，由题意，说明直线与圆有公共点，借助于直线与圆的位置关系判断方法，得到不等式，求解即得.【详解】设点，因，由可得：，化简得，即，依题意，直线与圆有公共点，故圆心到直线的距离，即，化简得，解得：.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题主要考查动点的轨迹方程的求法与应用，属于较难题.解题的关键有二：其一，要会利用所给等式通过设点，求出其轨迹方程；其二，正确理解轨迹方程表示的几何意义，学会等价转化解题.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（）A.当变化时，恒过定点B.若，则在轴，轴上的截距之和为4C.若，则的斜率为1D.当时，点关于直线的对称点坐标为【答案】AC【解析】【分析】对于A，将直线方程转化为，由解方程组即可；对于B，求出直线在轴，轴上的截距即可；对于C，化为斜截式即可得解；对于D，根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标.【详解】对于A项，直线的方程为化为，由，解得，所以直线恒过定点0,2，A正确；对于B项，时，，令，，令，，此时在轴，轴上的截距之和为，B错误；对于C项，由B项可知，故的斜率为1，C正确；对于D项，时，，设关于直线对称点坐标，则，解得，即点关于直线的对称点坐标为，D错误.故选：AC10.已知等差数列满足，记为前项和，则下列说法正确的是（）A.B.是递增数列C.当时，取得最小值D.使得的的最小值为13【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件可得，公差，再结合等差数列性质及前项和公式逐项判断即可.【详解】由，得，等差数列的公差，对于B，数列是递增数列，B正确；对于AC，数列的前7项都为负，从第8项起为正，因此，当时，取得最小值，A错误，C正确；对于D，，因此使得的的最小值不为13，D错误.故选：BC11.已知为坐标原点，抛物线为抛物线上的两点，且，则下列说法正确的是（）A.直线过抛物线的焦点B.以为直径的圆与轴相切C.当时，D.若点，且，则【答案】ABD【解析】【分析】设直线方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求得可判断A；计算可得的中点到轴的距离为，可判断B；求出结合焦点弦公式求解可判断C；利用数量积夹角公式判断即可判断D.【详解】对于A，设直线方程为，与联立得：，故，因为，所以，解得，即直线恒过点，故选项A正确；对于B，设点M是的中点，，的中点，点到轴的距离为，故以线段为直径的圆与轴相切，故B正确；对于C，因为，且三点共线，则，所以，代入中，得到，即，所以，故C错误；对于D，因为点，且AF=AD，所以，由对称性不妨设点A在第一象限，所以，，所以，又，所以，所以，所以，，所以，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：抛物线的相关结论，中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切；中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.数列的通项公式为，则它的前6项和为__________.【答案】147【解析】【分析】根据数列通项公式特点，运用分组求和，利用等差（等比）数列求和公式计算即得.【详解】因，则该数列的前6项和为：.故答案为：147.13.在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为______.【答案】18【解析】【分析】根据长方体的体积公式求得，求得函数的定义域，利用导数法求得最大值即可.【详解】设小正方形的边长为，依题意，箱子容积，由，解得，所以的定义域为.则，所以在区间单调递增；在区间单调递减，所以当时，取到最大值，且最大值为.故答案为：1814.在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为.连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点.若，则椭圆离心率为__________.【答案】【解析】【分析】求出点的坐标，由对称性求出点的坐标，由题意可得出，可得出关于、的齐次等式，结合可求出的值.【详解】如下图所示：易知点、Fc,0，直线的方程为，联立解得，即点，由椭圆对称性可知，点与点关于轴对称，则，所以，，且直线的斜率为，由已知，则，则，所以，，即，等式两边同时除以可得，因为，解得，解得.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用求通项公式；(2)先根据，再拆项，然后求和．【详解】解：（1）当时，，解得：，当时，，得，因为，所以，因为，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以.（2）因为，所以，所以数列的前项和.16.已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）已知以为端点弦的长度为，求该弦所在直线方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出的中垂线方程，与圆心所在直线方程联立求得，利用距离公式求出半径，即可得解；（2）按照弦所在直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，结合点到直线距离公式，根据弦长公式列式求解即可.【小问1详解】因为，所以的中垂线的斜率为，又的中点为，所以的中垂线方程为即，由，解得，又半径，所以圆的方程为.（或）【小问2详解】若弦所在直线斜率不存在，则弦长为8，不合题意，故所求弦的斜率存在.设弦所在直线方程为，即，设圆心到弦的距离为，由所以，即，解得或.所以弦所在的直线方程为或.17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论导数正负情况即可求出函数单调性.（2）由（1）求出函数的最小值，再构造函数，利用导数证明不等式.【小问1详解】函数中，，求导得，当时，在上单调递增；当时，时，时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】证明：由（1）知，当时，，设，求导得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，则，所以.18.已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）直线过点，与双曲线交于两点.①若直线，求的面积；②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可；（2）①写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出弦长和点到的距离即可；②设，Ax1,y1,Bx2,y2，当直线斜率不为0时，设，与双曲线方程联立，表示并化简得，根据为常数得出时；再验证当直线斜率时也满足即可.【小问1详解】因为点在双曲线上，得又因为渐近线方程为，所以，解得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】①直线斜率为，故直线的方程为，代入双曲线得，，所以，又点到的距离为，故的面积为.②设，Ax1当直线斜率不为0时，设，代入双曲线得，，，所以，若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以，所以，此时.当直线斜率时为，对于所以，解得或（舍），所以在轴上存在定点，使得为定值.19.在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项.（1）若数列的前4项分别为，求数列的前4项；（2）若满足，且.①求的值；②求的前项和.【答案】（1）（2）①392；②【解析】【分析】（1）根据题意求，即可得结果；（2）根据题意分析可知数列是以首项和公比均为的等比数列，进而可得.①结合题意即可得；②根据题意可得的通项公式，利用分组求和法结合错位相减法运算求解.【小问1详解】因为数列的前4项分别为，则，所以的前4项分别为【小问2详解】因为，即，且，可知数列是以首项和公比均为的等比数