第03讲平面向量基本定理及坐标表示(原卷版)

第03讲平面向量基本定理及坐标表示目录TOC\o"13"\h\u知识点一：平面向量基本定理 2知识点二：平面向量的正交分解及坐标表示 2考点1：平面向量基本定理与坐标表示的概念辨析 2知识点三：平面向量坐标运算 4考点2：平面向量的坐标运算 5考点3：向量共线的坐标表示及其应用 6考点4：向量线性运算的坐标表示的应用 7考点5：平面向量基本定理及坐标表示的综合应用 9

知识点一：平面向量基本定理如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数，使，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式。推论1：若，则．推论2：若，则．知识点二：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解。此时，这两个互相垂直的向量组成的基底为正交基底。平面向量的坐标表示在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作。平面向量与有序数对的对应关系向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量向量点考点1：平面向量基本定理与坐标表示的概念辨析设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（

）A． B．C． D．（多选）如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（

）A．可以表示平面内的所有向量B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得D．若实数，使得，则且（多选）已知向量，对坐标平面内的任一向量，下列说法错误的是（

）A．存在唯一的一对实数，使得B．若，则，且C．若x，y∈R，，且，则的起点是原点OD．若x，y∈R，，且的终点坐标是，则已知向量是一个基底，实数x，y满足，则.知识点三：平面向量坐标运算平面向量加、减运算的坐标表示（1）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。（2）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标。平面向量数乘运算的坐标表示（1）若，，则，即实数与向量的积的坐标等于用该实数乘原来向量的相应坐标。（2）设，，则。平面向量数量积的坐标表示向量的长度（模）：若，则有。两点间距离公式：已知点，，则，。已知非零向量，，为向量、的夹角结论几何表示坐标表示数量积夹角的充要条件与的关系（当且仅当时等号成立）考点2：平面向量的坐标运算已知向量，，，则以向量与为基底表示向量的结果是A． B． C． D．若向量，则点A的坐标为（

）A． B． C． D．若向量，，则（

）A． B． C． D．已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（

）A． B． C． D．已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（）A．3 B．2C．2 D．3设平面向量，，且，则=（

）A．1 B．14 C． D．已知向量，若，则．（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若与的夹角为，则D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是已知点，则向量在方向上的投影为A． B． C． D．已知向量，满足，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．已知向量，，，若，则实数（

）A．6 B．5 C．5 D．6考点3：向量共线的坐标表示及其应用已知向量，，．若，则．已知，，，若，则（

）A． B． C． D．（1）已知向量，，，求的值．（2）已知，，与共线且方向相同，求．（3）设向量，，，求当k为何值时，A，B，C三点共线？设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.考点4：向量线性运算的坐标表示的应用方法提炼边长为的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形bb平行四边形直角梯形等腰梯形圆正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．（多选）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（

）

A．8 B．9 C．10 D．11

已知，若点P是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（

）A．21 B．19 C．15 D．13如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．如图，圆是边长为２的正方形的内切圆，若，是圆上两个动点，则的最小值为（）A．6 B． C． D．4在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是（

）A．1 B． C． D．2考点5：平面向量基本定理及坐标表示的综合应用在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标定义为：若，其中向量，分别为斜坐标轴，轴同方向的单位向量，则点的坐标为.（1）若点的坐标为，则；（2）以为圆心，2为半径的圆在斜坐标系下的方程为.设点，若动点满足，且，则的最大值为．已知：、是同一平面内的两个向量，其中．(1)若且与垂直，求与的夹角；(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．已知向量，，，．(1)求的最小值及相应的t值；(2)若与的夹角为钝角，求实数t的取值范围．已知，，.（Ⅰ）求证：向量与垂直；（Ⅱ）若与的模相等，求的值（其中为非零实数）.已知点,,，，试问