解析几何知识点清单-高二上学期数学人教A版选择性

一、圆锥曲线知识点1椭圆1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹．2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b23、椭圆中的几个常用结论（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．（2）过原点最长弦为长轴长，最短弦为短轴长.（3）与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为．（4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为③△PF1F2的周长为知识点2双曲线1、双曲线的定义（1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．（2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是；③当2a>|F1F2|时，M点的轨迹2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点

渐近线离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3、双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝，|PF2|min＝（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.（4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为（5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a＝b;e＝eq\r(2)；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．知识点3抛物线1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上．2、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点离心率e＝准线方程范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)3、抛物线中的几何常用结论（1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦．①以弦AB为直径的圆与准线相切．②以AF或BF为直径的圆与y轴相切．③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于，通径是过焦点最短的弦．④|AB|=x1+x2+p；⑤1|AF|+1|BF|=（2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).二、圆锥曲线的标准方程的求解1.定义法求圆锥曲线的标准方程根据双曲线的定义确定a，b的值，结合焦点位置写出双曲线（椭圆）的标准方程.2.待定系数法求双曲线的标准方程根据焦点位置，设其方程为x2a2y2焦点位置不定时，可设为mx2+ny2=1(mn<0).3.待定系数法求椭圆的标准方程根据焦点位置，设所求的椭圆方程为x2a2+y2b2焦点位置不定时，可设所求的椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n).4.双曲线的标准方程的设法：①与双曲线x2a2y2b2=1(a>0，b>0)具有相同渐近线（相同离心率）②渐近线方程为ax±by=0(a>0，b>0)的双曲线方程可设为a2x2b2y2=λ(a>0，b>0，λ≠0).三、圆锥曲线的焦点三角形问题双曲线（椭圆）上一点P(不在坐标轴上)与其两焦点F1，F2构成的三角形PF1F2称为焦点三角形.(1)双曲线（椭圆）焦点三角形求法令|PF1|=r1，|PF2|=r2，∠F1PF2=θ，|F1F2|=2c，P(xP，yP)则①定义：双曲线：|r1r2|=2a.椭圆：r1+r2=2a②余弦公式：4c2=r12+r222r1r2cosθ.（利用完全平方公式可以配方求r1③面积公式：S△PF1F2=1双曲线（椭圆）焦点三角形性质①椭圆焦点三角形的周长C=2a+2c.②双曲线焦点三角形PF1F2的内切圆圆心的横坐标恒为定值a或a.③当且仅当点P位于短轴端点时，∠F1PF2最大.四、圆锥曲线弦长公式设斜率为k的直线被圆锥曲线截得的弦为AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=1+k|AB|=1+1k2|y1y2|=1+1特别的：圆的弦长公式：l抛物线的焦点弦：x1+x2+p

圆锥曲线答案解析一、圆锥曲线知识点1椭圆1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b23、椭圆中的几个常用结论（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为eq\f(2b2,a)，过焦点最长弦为长轴．（2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.（3）与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为eq\f(x2,a2＋λ)＋eq\f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞－b2)．（4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)．知识点2双曲线1、双曲线的定义（1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．（2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3、双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.（4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq\f(b2,a2).（5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a＝b;e＝eq\r(2)；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．知识点3抛物线1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上．2、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)3、抛物线中的几何常用结论（1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦．①以弦AB为直径的圆与准线相切．②以AF或BF为直径的圆与y轴相切．③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．④|AB|=x1+x2+p；⑤1|AF|+1|BF|=（2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).二、圆锥曲线的标准方程的求解1.定义法求圆锥曲线的标准方程根据双曲线的定义确定a，b的值，结合焦点位置写出双曲线（椭圆）的标准方程.2.待定系数法求双曲线的标准方程根据焦点位置，设其方程为x2a2y2焦点位置不定时，可设为mx2+n