《电磁场与电磁波》课件-第3.4节

3.4分离变量法

分离变量法是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积的方法。在直角、圆柱、球等坐标系中都可以应用分离变量法。本节要点直角坐标系分离变量法圆柱坐标系分离变量法球坐标系分离变量法1.直角坐标系中的分离变量法

如果待求问题的边界面形状适合用直角坐标系表示,待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，且其中的每个函数仅是一个坐标的函数。电位函数的拉普拉斯方程为代入拉普拉斯方程可得到以下四个方程：分离变量法（续）kx、ky、kz称为分离常数,它们三个中只有两个是独立的，且它不能全为实数，也不能全为虚数或者为零。

分离变量法（续）若kx为实数若kx为虚数，或若kx=0，则微分方程的解为

g(y)和h(z)的情况类似因而求得对于给定边界条件的具体问题的解，拉普拉斯方程解的形式由边界条件来确定。[例3-3]

长方形截面的导体槽，槽可以视为无限长，其上有一块与槽绝缘的盖板，槽的电位为零，盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。解：这是一个矩形域的二维场问题。在直角坐标系中，电位函数的拉普拉斯方程为：令由分离变量法得以下三个方程[例3-3]（续）sin(nx/a)

称为在上述边界条件下的本征函数

要满足和时的边界条件在f(x)的三种可能的解中，只有f(x)=A1sinkxx且kx的取值为n

/a

kx=n

/a

为本征值

[例3-3]（续）若要g(y)满足时，的边界条件电位函数的通解为

由常数方程得，即ky为虚数，因此g(y)的解必为第二种。只有[例3-3]（续）

由时的边界条件决定，即系数Dn，利用三角函数的正交性质再对x从0到a积分得因此电位函数将等式两边同乘以，xampsin电位函数与求和的阶数U0=100V槽内电位分布、等位线及梯度边界条件改变槽内电位分布、等位线及梯度分离变量法（小结）根据问题所给定的边界情况，选定适当的坐标系，写出该坐标系的拉普拉斯（或泊松）方程的表达式；确定待求电位函数为几个变量函数；把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个函数仅是一个坐标变量的函数；若待求位函数为二维函数，则将其表示成两个单变量函数的乘积；将二个未知函数的乘积代入拉普拉斯（或泊松）方程，分解出二个常微分方程和一个常数方程。根据给定的边界条件和而二个常数之间的关系，写出二个常微分方程解的通解形式；用给定的边界条件及三角函数的正交性，确定待定常数。练习题长方形截面的导体槽，边界条件如图所示，求槽内的电位函数。U=U0sinx/a边界条件变化对结果的影响

以上为直角坐标系中二维拉普拉斯方程的求解过程，三维拉普拉斯方程的求解与上述类似，只是解答形式较复杂，在展成傅立叶级数时会遇到双重傅立叶积分。

2.

圆柱坐标系中的分离变量法

在求解圆柱空间或有柱面边界的场问题时，采用圆柱坐标较为方便。圆柱坐标中电位的拉普拉斯方程为采用分离变量法，圆柱坐标系中拉普拉斯方程的一个解为n阶第一类贝塞尔函数

n阶第二类贝塞尔函数或纽曼函数

式中的所有系数均由边界条件确定！

第一类贝塞尔函数曲线特殊情况1如果我们研究的问题是圆柱沿方向无限长，则电位与z无关，此时拉普拉斯方程变为应用分离变量法上述方程的解为式中的所有系数由边界条件确定！

特殊情况2如果圆柱的电位是圆对称的且z方向无限长，即电位与z和

方向无关，此时拉普拉斯方程为此时方程的解为

以上分析了几种条件下圆柱结构拉普拉斯方程解的可能形式，下面举例来说明其具体应用。式中的系数同样由边界条件确定！

[例3-5]

半径为a、介电常数为

的无限长介质圆柱置于均匀电场E0中，圆柱轴线与E0垂直，求圆柱内、外的电位和电场分布。分析：在均匀电场作用下，介质圆柱表面将出现极化电荷，因而空间任一点的电位是均匀场的电位和圆柱面上的极化电荷所产生的电位的叠加。根据坐标面一致的要求，选择圆柱坐标系如图所示。此时，均匀电场的电位和圆柱表面的极化电荷所产生的电位均与坐标z无关。[例3-5](续)设柱内、外的电位分别为

1和

2，其表达式分别为其边界条件为

（1）在圆柱轴线

=0处，

1应为有限值；（2）当

时，

2应为-E0

cos

；（3）在

=a的圆柱面上，

1=

2和

[例3-5](续)由条件(1)得C2=0、Fn=0，此时圆柱内电位表达为圆柱外的电位表达式为[例3-5](续)由条件（3）得上面两式任意角度都成立，比较sin

和cos

的系数得联立两组方程解得[例3-5](续)再比较其它正弦和余弦项的系数得

综合上述各系数，可得到圆柱内、外的电位为[例3-5](续)分别对电位函数求负梯度，可得相应的电场强度

可见，介质圆柱内的电场比原外加电场要小，这是由于介质圆柱在外加电场作用下发生极化，极化后在右半圆柱面上产生正的极化电荷，在左半圆柱面上产生负的极化电荷，极化电荷在圆柱内产生的电场与外加电场E0反向，因而总电场减弱。外加电场中的介质柱3.

球坐标系中的分离变量法

在求解球空间或有球面边界的场问题时，采用球坐标较为方便。球坐标中电位的拉普拉斯方程为，利用分离变量法求得方程的通解为m阶l次第一类连带勒让德函数

球对称性问题的解具有球对称性问题的拉普拉斯方程的通解为

勒让德多项式

[例3-7]

设有一半径为a的接地导体球，放置于均匀的外电场E0中，球外为真空，试求空间任一点处的电位和电场分布。

zraOE0分析：静电平衡状态下球面和球内电位处处相等，由于导体球接地，所以球面和球内电位均为零。由于电位对极轴对称，电位与坐标

无关，此时电位函数的通解应为：

[例3-7](续)所以上式展开成如下形式

所以球外任意点的电位为球外任意点的电场强度为

由上式可见：在