中职高考数学一轮复习讲练测7.3 平面向量的内积（讲）（原卷版）

7.3平面向量的内积【考点梳理】1．数量积的概念已知两个非零向量a与b，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作，即a·b＝，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))与b在a的方向上的投影eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cosθ的乘积．2．数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律①交换律：；②数乘结合律：；③分配律：．(2)常用结论①(a±b)2＝；②(a＋b)·(a－b)＝；③a2＋b2＝0⇔；3．数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则①e·a＝②a⊥b⇔.③当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝；特别地，a·a＝或eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝.④cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)4．数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝；a2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).②a⊥b⇔.考点一平面向量内积的定义【例题】（1）已知向量，，若与的夹角为，则为（

）A． B． C． D．1（2）若，，，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．（3）已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（

）A．2 B． C． D．1（4）若平面向量的夹角为，且，则（

）A． B．C． D．（5）若，且，则.（6）向量，满足，，，则向量与夹角的大小为.【变式】（1）已知向量与满足，且，则与的夹角等于．（2）已知向量满足，则（

）A．2 B． C．1 D．（3）已知，且，则向量夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．（4）已知等边三角形ABC的边长为2，则（

）A．2 B． C． D．（5）已知单位向量满足，且，，则_________.（6）平面向量与的夹角为，，则.考点二平面向量内积的坐标运算【例题】（1）已知向量，若，则（

）A．4 B．4 C．1 D．1（2）设向量，，则与的夹角等于（

）A． B． C． D．（3）设向量，，且，则=（

）A．1或3 B．3 C．1或5 D．5（4）已知向量，，且，则（

）A．6 B． C． D．（5）已知向量，，若，则___________.（6）已知向量，，，若与垂直，则.【变式】（1）已知，是两个平面向量，，若，则．（2）已知向量，，则______.（3）若向量，，已知与的夹角为，则实数k是．（4）若向量，且与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是（

）A． B．C． D．（5）已知向量，，且与垂直，则实数.（5）已知向量,，若的夹角为，则=.【方法总结】1．平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量，但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量，而是一个实数．2．注意平面向量的数量积与数的乘法的区别：在数的乘法中，若ab＝0，则a，b中至少有一个为0.但在向量的数量积中，由a·b＝0不能推得a＝0或b＝0，因为当两个非零向量a，b垂直时，也有a·b＝0.应注意平面向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．3．注意向量0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；0的方向是任意的，并非没有方向．4．注意两个非零向量a，b的夹角与a，b所在直线的夹角的区别．前者的取值范围是[0，π]，后者的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，