高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价四十九　概率的基本性质含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价四十九概率的基本性质含答案四十九概率的基本性质(时间:45分钟分值:95分)【基础全面练】1.(5分)(多选)下列说法正确的是()A.必然事件的概率等于1B.随机事件的概率可以等于1.1C.不可能事件的概率是0D.P(A∪B)=P(A)+P(B)【解析】选AC.必然事件一定发生,故其概率是1,A正确;必然事件的概率是1,故概率为1.1的事件不存在,B不正确;不可能事件的概率是0,C正确;当A,B为互斥事件时,P(A∪B)=P(A)+P(B),D不正确.2.(5分)甲、乙两队举行足球比赛,若甲队获胜的概率为13,则乙队不输的概率为(A.56 B.34 C.23 【解析】选C.乙队不输的概率为1-13=23.(5分)(2024·重庆高一检测)已知A,B,C,D四个开关控制着1,2,3,4号四盏灯,只要打开开关A则1,4号灯就会亮,只要打开开关B则2,3号灯就会亮,只要打开开关C则3,4号灯就会亮,只要打开开关D则2,4号灯就会亮.开始时,A,B,C,D四个开关均未打开,四盏灯也都没亮.现随意打开A,B,C,D这四个开关中的两个不同的开关,则其中2号灯亮的概率为()A.16 B.13 C.12 【解析】选D.由题意,随意打开A,B,C,D这四个开关中的两个不同的开关,共有AB,AC,AD,BC,BD,CD种,其中只有打开AC开关时2号灯不会亮,其余情况2号灯均会亮,所以2号灯灯亮的概率为1-16=54.(5分)(多选)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品有20件,合格品但非一等品的有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A为“是一等品”,B为“是合格品”,C为“是不合格品”,则下列结果正确的是()A.P(B)=710 B.P(A∪B)=C.P(A∩B)=0 D.P(A∪B)=P(C)【解析】选ABC.由题意知A,B,C为互斥事件,故C正确;又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件,所以P(B)=710,P(A)=210,P(C)=110,则P(A∪B)=5.(5分)(2024·石家庄高一检测)掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率为16.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A∪B(B表示事件B的对立事件)发生的概率为(A.13 B.12 C.23 【解析】选C.由题意,知B表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件B互斥,由概率的加法计算公式可得P(A∪B)=P(A)+P(B)=26+26=466.(5分)围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出两粒都是黑子的概率是17,从中取出两粒都是白子的概率是1235,则从中任意取出两粒恰好是同一色的概率是________,任意取出两粒恰好不同色的概率是【解析】易知事件“从中取出两粒都是黑子”与“从中取出两粒都是白子”为互斥事件,事件“两粒恰好是同一色”与“两粒恰好不同色”为对立事件.故两粒恰好是同一色的概率为17+1235=1735,两粒恰好不同色的概率为1-17答案:17357.(5分)某公司三个分厂的职工情况为:第一分厂有男职工4000人,女职工1600人;第二分厂有男职工3000人,女职工1400人;第三分厂有男职工800人,女职工500人.如果从该公司职工中随机抽选1人,则该职工为女职工或为第三分厂的职工的概率为________.

【解析】记事件A为“抽取的职工为女职工”,事件B为“抽取的职工为第三分厂的职工”,则A∩B表示“抽取的职工为第三分厂的女职工”,A∪B表示“抽取的职工为女职工或第三分厂的职工”.由题意可知,该公司三个分厂的职工共有4000+1600+3000+1400+800+500=11300(人),则P(A)=1600+1P(B)=800+50011300P(A∩B)=50011300所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=35113+13113-5113答案:438.(5分)(2024·梅州高一检测)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是____________.

【解析】由题意可知0<所以0<2-a所以54<a≤4即实数a的取值范围为(54,43答案:(54,49.(10分)一名射击运动员在一次射击中射中10环,9环,8环,7环,7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这名射击运动员在一次射击中:(1)射中10环或9环的概率;(2)至少射中7环的概率;(3)射中环数小于8环的概率.【解析】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A,B,C,D,E,可知它们彼此之间互斥,且P(A)=0.24,P(B)=0.28,P(C)=0.19,P(D)=0.16,P(E)=0.13.(1)P(射中10环或9环)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事件“至少射中7环”与事件E=“射中7环以下”是对立事件,则P(至少射中7环)=1-P(E)=1-0.13=0.87.所以至少射中7环的概率为0.87.(3)事件“射中环数小于8环”包含事件D=“射中7环”与事件E=“射中7环以下”两个事件,则P(射中环数小于8环)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29.10.(10分)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:(1)该队员只属于一支球队的概率;(2)该队员最多属于两支球队的概率.【解析】分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A,B,C.由题图可知3支球队共有球员20名,则P(A)=520,P(B)=320,P(C)=(1)令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件D.则D=A∪B∪C,因为事件A,B,C两两互斥,所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=520+320+420(2)令“抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件E,则E为“抽取一名队员,该队员属于3支球队”,所以P(E)=1-P(E)=1-220=9【综合应用练】11.(5分)(2024·吉安高一期末)已知事件A,B是互斥事件,P(A)=16,P(B)=23,则P(A∪B)=(A.118 B.49 C.12 【解析】选C.因为P(B)=1-P(B),P(B)=23,所以P(B)=1因为事件A,B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=16+13=12.(5分)(多选)(2024·深圳高一检测)口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状、大小相同的小球,从中任取2球,事件A=“取出的两球同色”,B=“取出的2球中至少有一个黄球”,C=“取出的2球中至少有一个白球”,D=“取出的两球不同色”,E=“取出的2球中至多有一个白球”,下列判断中正确的是()A.事件A与D为对立事件B.事件B与C是互斥事件C.事件C与E为对立事件D.P(C∪E)=1【解析】选AD.由对立事件定义得A与D为对立事件,故A正确;B与C有可能同时发生,故B与C不是互斥事件,故B错误;C与E有可能同时发生,不是对立事件,故C错误;P(C)=1-615=35,P(E)=1415,P(CE)=815,从而P(C∪E)=P(C)+P(E)-P13.(5分)事件A,B互斥,它们都不发生的概率为25,且P(A)=2P(B),则P(A)=________【解析】因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为25,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1-25=35.又因为P(A)=2P(B),所以P(A)+12P(A)=35,所以P答案:214.(10分)某校在元旦联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分别设置一等奖、二等奖、三等奖、无奖.从中任取一张,不中奖的概率为12,中二等奖或三等奖的概率为5(1)任取一张,求中一等奖的概率;(2)若任取一张,中一等奖或二等奖的概率为14,求中三等奖的概率【解析】(1)设事件A=“任取一张,中一等奖”,事件B=“任取一张,中二等奖”,事件C=“任取一张,中三等奖”,事件D=“任取一张,不中奖”,则事件A,B,C,D两两互斥.由条件可得P(D)=12P(B∪C)=P(B)+P(C)=512由题意知P(A)=1-P(B∪C∪D)=1-P(B∪C)-P(D)=1-512-12=所以任取一张,中一等奖的概率为112(2)因为P(A∪B)=P(A)+P(B)=14,且P(A)=112,所以P(B)=14-1又因为P(B∪C)=P(B)+P(C)=512所以P(C)=14所以任取一张,中三等奖的概率为1415.(10分)某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过4小时.(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13,停车费多于14元的概率为5(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.【解析】(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A,“一次停车1到2小时”为事件B,“一次停车2到3小时”为事件C,“一次停车3到4小时”为事件D.由已知得P(B)=13,P(C∪D)=5又因为事件A,B,C,D两两互斥,且P(A∪B∪C∪D)=1,所以P(A)=1-13-512=所以甲的停车费为6元的概率为14(2)易知甲、乙停车时间的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,这16个样本点发生的可能性是相等的.而“停车费之和为28元”的样本点有(1,3),(2,2),(3,1),共3个.所以所求概率为316四十二总体百分位数的估计(时间:45分钟分值:70分)【基础全面练】1.(5分)数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30%分位数为()A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.3【解析】选A.因为8×30%=2.4,故30%分位数是由小到大排列后的第三项数据8.4.2.(5分)以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的第80百分位数是()A.90 B.90.5 C.91 D.91.5【解析】选B.把成绩按从小到大的顺序排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为15×80%=12,所以这15人成绩的第80百分位数是90+912=90.53.(5分)数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位数是4.5,则实数x的取值范围是()A.[4.5,+∞) B.[4.5,6.6)C.(4.5,+∞) D.(4.5,6.6]【解析】选A.因为8×65%=5.2,所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5,则x≥4.5.4.(5分)某高校12名毕业生的起始月薪如表所示:毕业生123456起始月薪285029503050288027552710毕业生789101112起始月薪289031302940332529202880则第85百分位数是()A.3325 B.3130 C.3050 D.2950【解析】选B.将这12个数据按从小到大的顺序排列:2710,2755,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325.又因为12×85%=10.20,所以第85百分位数是第11个数据为3130.5.(5分)(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则()A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差【解析】选BCD.由题图可得,x甲=4+5+6+7+85=6,x乙=3×5+6+95=6,A甲的成绩的第80百分位数是7+82=7.5,乙的成绩的第80百分位数是6+92=7.5,所以二者相等,C甲的成绩的极差为4,乙的成绩的极差也为4,D项正确.6.(5分)一个容量为20的样本,其数据按从小到大的顺序排列为:1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,则该组数据的第75百分位数为________,第86百分位数为________.

【解析】因为75%×20=15,所以第75百分位数为14+152=14.5因为86%×20=17.2,所以第86百分位数为第18个数据17.答案:14.5177.(5分)数据13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20的四分位数为____________.

【解析】把这12个数据按从小到大的顺序排列可得12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31,计算12×25%=3,12×50%=6,12×75%=9,所以数据的第25百分位数为15+182=16.第50百分位数为20+222第75百分位数为27+282=27.5答案:16.5,21,27.58.(10分)某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况,记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位:kg),并绘制频率分布直方图如图:一次进货太多,水果会变得不新鲜;进货太少,又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜,又能80%地满足顾客的需求(在10天中,大约有8天可以满足顾客的需求).求每天应该进的苹果质量(精确到整数位).【解析】80%地满足顾客的需求也可理解为计算这组数据的第80百分位数,因为日销售量[60,90)的频率为0.525<0.8,日销售量[60,100)的频率为0.875>0.8,所以第80百分位数落在[90,100)内,则每天应进90+10×0.8-0.5250.875-0.525≈98(kg)苹果【综合应用练】9.(5分)某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设该组数据的平均数为a,第50百分位数为b,则有()A.a=14.7,b=15.5 B.a=14,b=15C.a=12,b=15.5 D.a=14.7,b=15【解析】选D.把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其平均数a=110×(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.因为10×50%=5,所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为b=15+152=1510.(5分)(多选)某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心,技能动天下”的文创大赛,随机抽取了400名学生进行成绩(单位:分)统计,发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间,进行适当分组后(每组的取值区间均为左闭右开),画出频率分布直方图(如图),则下列说法正确的是()A.在被抽取的学生中,成绩在区间[90,100)内的学生有160人B.图中x的值为0.020C.估计全校学生成绩的中位数为86.7D.估计全校学生成绩的80%分位数为95【解析】选ACD.由题意,成绩在区间[90,100)内的学生人数为400×0.040×10=160,故A正确;由(0.005+0.010+0.015+x+0.040)×10=1,得x=0.030,故B错误;由于前3组的频率和(0.005+0.010+0.015)×10=0.3<0.5,前4组的频率和(0.005+0.010+0.015+0.030)×10=0.6>0.5,所以中位数在第4组,设中位数为a,则(0.005+0.010+0.015)×10+0.030(a-80)=0.5,得a≈86.7,故C正确;低于90分的频率为1-0.4=0.6,设样本数据的80%分位数为n,则n-90100-90=0.20.4,解得n=95,故11.(5分)如图是某市2023年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图,这7天的日最高气温的第10百分位数为________,日最低气温的第80百分位数为________.

【解析】由折线图可知,把日最高气温按照从小到大排序得24,24.5,24.5,25,26,26,27,因为共有7个数据,7×10%=0.7不是整数,所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据为24℃.把日最低气温按照从小到大排序得12,12,13,14,15,16,17,因为共有7个数据,7×80%=5.6不是整数,所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据为16℃.答案:24℃16℃12.(10分)某工厂有工人1000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天