高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册1.2　集合间的基本关系含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册1.2集合间的基本关系含答案1.2集合间的基本关系【学习目标】1.理解集合之间的包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集.2.会判断给定集合间的关系,并会用符号和Venn图表示.3.在具体情境中,了解空集的含义.【素养达成】数学抽象、逻辑推理直观想象数学抽象一、子集及相关概念1.Venn图:用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.2.两个集合之间的关系教材挖掘(P7观察)任意两个集合之间是否有包含关系?提示:不一定,如集合A={2,5},B={1,2,3},这两个集合就没有包含关系.版本交融(人BP10想一想)符号“∈”与符号“⊆”表达的含义相同吗?提示:不同.“∈”表示元素与集合之间的关系,如1∈N;“⊆”表示集合与集合之间的关系,如{1,2,3}⊆{4,3,2,1};“∈”的左边是元素,右边是集合,“⊆”的两边均为集合.【教材深化】1.不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”,因为集合A可能是空集,也可能是集合B.2.在真子集的定义中,A⫋B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A.3.若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素的排列顺序无关.4.含n个元素的集合有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.二、空集定义不含任何元素的集合叫做空集记法⌀规定空集是任何集合的子集,即⌀⊆A版本交融(人BP10尝试与发现)为什么可以规定空集是任何集合的子集?提示:因为空集中不含任何元素,根据子集的定义,所以可以规定空集是任何集合的子集.三、子集的性质1.任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.2.对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)集合{0}是空集.(×)提示:⌀是不含任何元素的集合,{0}是含有一个元素的集合,⌀⫋{0}.(2)空集是任何集合的真子集.(×)提示:空集是空集的子集,但不是真子集.(3)若A⫋B,则B中至少有一个元素不属于A.(√)提示:由真子集的概念可知.(4)若B⊆A,元素a∉A,则a∉B.(√)提示:因为B是A的子集,所以不属于A的元素一定不属于B.类型一求集合的子集、真子集(逻辑推理)【典例1】(1)填写表格,回答后面的问题:集合元素个数所有子集子集个数⌀{a}{a,b}{a,b,c}①你能直接说出集合{a,b,c,d,e}的子集的个数吗?②如果一个集合的元素个数为n,你能用n表示该集合子集、真子集的个数吗?【解析】集合元素个数所有子集子集个数⌀0⌀1{a}1⌀,{a}2{a,b}2⌀,{a},{b},{a,b}4{a,b,c}3⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}8①集合{a,b,c,d,e}共有32个子集.②含n个元素的集合的子集共有2n个,真子集共有2n-1个.(2)已知集合A={-2,0,2,3},若集合B满足{0,3}⊆B⫋A,则集合B可以为________________.

答案:{0,3},{-2,0,3},{0,2,3}【解析】因为集合B满足{0,3}⊆B⫋A,所以B={0,3},{-2,0,3},{0,2,3}.【总结升华】求集合子集、真子集个数的三个步骤提醒:要注意两个特殊的子集:⌀和自身.【即学即练】1.已知集合N={1,3,5},则集合N的非空真子集的个数为()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选B.集合N的非空真子集有{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},共6个.2.(2024·日照高一检测)已知集合A={(1,2),(2,1),(2,2)},试写出A的所有子集,并指出哪些是真子集.【解析】因为A={(1,2),(2,1),(2,2)},所以A的子集有:⌀,{(1,2)},{(2,1)},{(2,2)},{(1,2),(2,1)},{(1,2),(2,2)},{(2,1),(2,2)},{(1,2),(2,1),(2,2)}.其中A的真子集为:⌀,{(1,2)},{(2,1)},{(2,2)},{(1,2),(2,1)},{(1,2),(2,2)},{(2,1),(2,2)}.【补偿训练】已知非空集合P满足:(1)P⊆{1,2,3,4,5};(2)若a∈P,则6-a∈P.符合条件的集合P的个数为_______.

答案:7【解析】由a∈P,6-a∈P,且P⊆{1,2,3,4,5}可知,P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选,2,4同时选,3可单独选,可一一列出满足条件的全部集合P为{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.类型二集合间关系的判断(逻辑推理)【典例2】(1)(教材P9T2改编)设M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为()A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P【解析】选B.因为有一个角是直角的菱形是正方形,所以正方形应是菱形的一部分,因为正方形、菱形都属于平行四边形,所以它们之间的关系是Q⊆M⊆N⊆P.(2)(多选)下列各对集合之间满足“A⊆B”的是()A.A={-1,1},B={(-1,1)}B.A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}C.A={x|x是正整数},B={x|x是非负数}D.A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n+1,n∈N*}【解析】选BC.选项A,集合A是数集,集合B是点集,无包含关系;选项B,集合A={x|-1<x<4},B={x|x<5},用数轴表示如图所示,由图可知A⊆B;选项C,正整数都是非负数,故A⊆B;选项D,A={正奇数},B={不含1的正奇数},故B⊆A.【总结升华】判断集合间关系的方法【即学即练】1.已知集合U,S,T,F的关系如图所示,则下列关系中正确的是()A.S∈U B.S⊆TC.S⊆F D.F⊆T【解析】选B.由Venn图,得S⊆U,S⊆T,S与F,F与T没有包含关系.2.(多选)已知集合A={x|x2-2x=0},则有()A.⌀⊆A B.-2∈AC.{0,2}⊆A D.A⊆{y|y<3}【解析】选ACD.由题意得A={0,2},且空集是任何集合的子集,故A正确;因为A={0,2},所以-2∉A,{0,2}⊆A,A⊆{y|y<3},所以B错误,C,D正确.【补偿训练】已知集合M=xx=k2+14A.M=N B.M⊆NC.M⊇N D.M与N的关系不确定【解析】选B.因为N=x=x或x=且M=xx=k2类型三根据集合间的关系求参数(逻辑推理、数学运算)角度1根据集合的相等关系求参数【典例3】(2024·烟台高一检测)已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},若M=N,则a+b的值为_______.

答案:1或3【解析】由M=N,得a=2a解得a=0,b=1根据集合中元素的互异性,得a=0,b=0所以a+b=1或34【总结升华】根据集合的相等关系求参数的注意事项由集合相等求参数时要特别注意验证集合中元素的互异性.【即学即练】若整数x,y能使{2x,x+y}={7,4}成立,则xy=_______.

答案:10【解析】若2x=7因为x,y为整数,故舍去;若2x=4,x+y角度2根据集合的包含关系求参数【典例4】(类题·节节高)(1)已知集合A={x|x>4},非空集合B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,则实数a的取值范围为_______.

答案:{a|2<a≤3}【解析】因为B≠⌀,根据题意作出如图所示的数轴,则a+3≥2a,所以实数a的取值范围为{a|2<a≤3}.(2)已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,则实数a的取值范围为_______.答案:{a|a<-4或a>2}【解析】当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3;当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴,可得a+3≥2aa解得a<-4或2<a≤3,故实数a的取值范围为{a|a<-4或a>2}.【总结升华】利用集合的包含关系求参数问题的关注点(1)题目原型:一般涉及两个集合,其中一个是含参数的,另一个是具体的;(2)解题技法:借助数轴;(3)注意事项:弄清哪个集合是子集,注意对含参集合是否为空集的讨论,不要忘记验证端点值.【即学即练】1.已知集合A={-1,3,2a-1},集合B={3,a2},若B⊆A,则实数a=_______.

答案:1【解析】因为B⊆A,所以a2=2a-1,即(a-1)2=0,所以a=1.当a=1时,A={-1,3,1},B={3,1},满足B⊆A,故a=1.2.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},若B⊆A,则实数a的取值范围为_________.

答案:{a|3≤a≤4}【解析】因为B⊆A,所以a所以3≤a≤4.1.3集合的基本运算第1课时并集、交集【学习目标】1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用Venn图与数轴表达集合间的运算,体会直观图形对理解抽象概念的作用.3.能够利用集合并集与交集的性质解决简单的参数问题.【素养达成】数学抽象、数学运算直观想象逻辑推理一、并集教材挖掘(P10)集合A∪B的元素个数等于集合A与集合B的元素个数和吗?为什么?提示:不一定.当集合A,B没有公共元素时,A∪B的元素个数等于集合A,B的元素个数和;当集合A,B有公共元素时,A∪B的元素个数小于集合A,B的元素个数和.版本交融(苏教P14思考)A∪B=A可能成立吗?提示:可能成立,若B⊆A,则A∪B=A.【教材深化】“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况:x∈A,但x∉B;x∈B,但x∉A;x∈A,且x∈B.用Venn图表示如图所示.二、交集版本交融(人BP15想一想)如果集合A,B没有公共元素,那么它们的交集是什么?提示:它们的交集是空集.版本交融(苏教P13思考)A∩B=A可能成立吗?提示:可能成立.若A⊆B,则A∩B=A.三、并集、交集的性质(1)A∪A=A,A∪⌀=A;(2)A∩A=A,A∩⌀=⌀.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)B⊆A∪B,A∩B⊆B.(√)提示:由并集、交集概念可知.(2)A∩B中的元素个数一定比A或B中的元素个数少.(×)提示:A=B时不成立.(3)若A∩B=C∩B,则A=C.(×)提示:若A={1,2,4},B={2,4},C={2,3,4},则A∩B=C∩B,但A≠C.(4)若x∈(A∪B),则x∈(A∩B).(×)提示:x不一定是A,B的公共元素.类型一并集运算(数学运算)【典例1】(1)已知集合M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则M∪N=()A.{0} B.{0,3}C.{1,3,9} D.{0,1,3,9}【解析】选D.由题意,得N={0,3,9},故M∪N={0,1,3,9}.(2)(教材P14T1改编)设集合A={x|-1<x-1≤3},B={x|x-2≥7-2x},则A∪B=()A.{x|3≤x≤4} B.{x|x≥3}C.{x|x>0} D.{x|x≥0}【解析】选C.集合A={x|-1<x-1≤3}={x|0<x≤4},集合B={x|x-2≥7-2x}={x|x≥3}.如图所示,所以A∪B={x|x>0}.【总结升华】求集合并集的基本方法(1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解.(2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解.【即学即练】1.已知集合A={x|x2-3x=0},B={1,2,3},则A∪B=()A.{3} B.{1,2,3}C.{0,2,3} D.{0,1,2,3}【解析】选D.因为A={x|x2-3x=0}={0,3},所以A∪B={0,3}∪{1,2,3}={0,1,2,3}.2.已知集合A={x|x>1},B={x|x<-2},则A∪B=()A.⌀ B.{x|x<-2或x>1}C.R D.{x|-2<x<1}【解析】选B.因为A={x|x>1},B={x|x<-2},如图所示:则A∪B={x|x<-2或x>1}.【补偿训练】集合A={(x,y)|x<0},B={(x,y)|y<0},则A∪B中的元素不可能在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.由题意得,A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合,所以A∪B中的元素不可能在第一象限.类型二交集运算(数学运算)【典例2】(1)若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为()A.{2} B.{3}C.{-3,2} D.{-2,3}【解析】选A.易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},题图中阴影部分表示的集合为{2}.(2)(2024·绥化高一检测)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<3},则A∩B=()A.{x|-1<x<3} B.{x|x<3}C.{x|x>-1} D.⌀【解析】选A.因为集合A={x|x>-1},B={x|x<3},所以A∩B={x|-1<x<3}.【总结升华】求两个集合交集的一般方法(1)明确集合中的元素.(2)元素个数有限时,利用定义或Venn图求解,元素个数无限时,借助数轴求解.提醒:若所给集合中有一个不确定时,要注意分类讨论,分类的标准取决于已知集合.【即学即练】1.已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B等于()A.{2,1} B.{x=2,y=1}C.{(2,1)} D.(2,1)【解析】选C.由x+y故A∩B={(2,1)}.2.若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则A∩B等于()A.{x|-3<x<2} B.{x|-5<x<2}C.{x|-3<x<3} D.{x|-5<x<3}【解析】选A.在数轴上将集合A,B表示出来,如图所示,由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分,即A∩B={x|-3<x<2}.【补偿训练】已知集合A={x|3-x>0,3x+6>0},集合B={x|3>2x-1},则A∩B=_________答案:{x|-2<x<2}{x|x<3}【解析】解不等式组3得-2<x<3,则A={x|-2<x<3},解不等式3>2x-1得x<2,则B={x|x<2}.用数轴表示集合A和B,如图所示,则A∩B={x|-2<x<2},A∪B={x|x<3}.类型三并集、交集运算的应用(逻辑推理)角度1实际应用【典例3】(教材P35T11改编)某班有36名同学加入数学、物理、化学竞赛小组,每名同学至多加入两个小组,已知加入数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时加入数学和物理小组的有6人,同时加入物理和化学小组的有4人,则只加入物理小组的有_______人,同时加入数学和化学小组的有_______人.

答案:58【解析】由条件知,每名同学至多加入两个小组,故不可能出现一名同学同时加入数学、物理、化学小组.因为同时加入数学和物理小组的有6人,同时加入物理和化学小组的有4人,所以只加入物理小组的有15-6-4=5(人).设同时加入数学和化学小组的人数为x,则只加入数学小组的人数为26-6-x=20-x,只加入化学小组的人数为13-4-x=9-x.又因为总人数为36,即20-x+x+6+4+5+9-x=36,所以44-x=36,解得x=8,即同时加入数学和化学小组的有8人.【总结升华】解决集合交集、并集实际问题的策略在解决集合交集、并集的实际应用问题时,常常借助Venn图,使抽象问题直观化.【即学即练】某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座,其中有75人听了数学讲座,68人听了历史讲座,61人听了音乐讲座,17人同时听了数学、历史讲座,12人同时听了数学、音乐讲座,9人同时听了历史、音乐讲座,还有6人听了全部讲座,则听讲座的人数为_______.

答案:172【解析】由题意,作出Venn图.由图知听讲座的人数为52+48+46+11+6+3+6=172.角度2求参数问题【典例4】(易错·对对碰)已知集合A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a<x<4}.(1)若A∪B=R,则实数a的取值范围为_________;

【解析】(1)利用数轴,画出满足A∪B=R的图形,由图可知,a≤-1.(2)若A∩B=⌀,则实数a的取值范围为_______;

【解析】(2)当a≥4时,集合B为空集,满足题意;当a<4时,如图,A