向量的数乘-高一下学期数学

湘教版数学必修第二册第1章平面向量及其应用1.3向量的数乘问题引入问题：我们可用一把尺子去度量所有线段的长度，也就是把每条线段的长度写成这把尺子的非负实数倍.如果把某个向量看作一把尺子，能用这把向量尺子去度量平面上的所有向量吗？如果不能，它可以度量平面内哪些向量呢？新知学习向量的数乘求向量的实数倍的运算称为向量的数乘.思考：如何确定的大小与方向？我们把向量的加法、减法、数乘运算统称向量的线性运算.（向量线性运算的结果仍是向量）

典例精析练习巩固下列运算中正确的个数是（

C

）①（－3）·2

a

＝－6

a

；②2（

a

＋

b

）－（2

b

－

a

）＝3

a

；③（

a

＋2

b

）－（2

b

＋

a

）＝0.A.0B.1C.2D.3解析：根据向量数乘运算和加减运算法则知①②正确；③（

a

＋2

b

）－（2

b

＋

a

）＝

a

＋2

b

－2

b

－

a

＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的

个数为2.故选C.C新知学习共线向量两个向量平行规定：零向量与所有的向量平行.其中一个向量是另一个向量的实数倍对于线段AB与CD,如果存在实数λ，使得CD=λAB,则AB与CD共线或平行.典例精析[典例]已知

e

1，

e

2是两个不共线的向量，

a

＝2

e

1－

e

2，

b

＝

ke

1＋

e

2，若

a

与

b

是共线向量，则实数

k

的值是

⁠.

－2

利用共线向量定理常解决的三种题型为：①证明三点共线；②利用共线求待定系数；

③判断向量是否共线.在理解应用时要注意以下几点：（1）定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使

b

＝λ

a

（

a

≠0），则

a

与

b

共线；反之，若

a

（

a

≠0）与

b

共线，则必存在一个实数λ，使

b

＝λ

a

.（2）若

a

，

b

不共线，且λ

a

＝μ

b

，则必有λ＝μ＝0.练习巩固

新知学习向量的夹角

新知学习

典例精析[典例3]如图，已知△

ABC

是等边三角形.

[解]

（1）∵△

ABC

为等边三角形，∴∠

ABC

＝60°，如图，延长

AB

至点

D

，使

AB

＝

BD

，

练习巩固

练习巩固

A.2a－bB.2b－aC.a－bD.b－a

B练习巩固2.已知向量

a

＝

e

1＋λ

e

2，

b

＝2

e

1，λ∈R，且λ≠0，若

a

∥

b

，则（

D

）A.λ＝0B.e2＝0C.e1∥e2D.e1∥e2或e1＝0解析：当

e

1＝0时，显然有

a

∥

b

；当

e

1≠0时，

b

＝2

e

1≠0.又

a

∥

b

，∴存在实数μ，使

a

＝μ

b

，即

e

1＋λ

e

2＝2μ

e

1，∴λ

e

2＝（2μ－1）

e

1.又λ≠0，∴

e

1∥

e

2.D练习巩固--易错题[示例1]给出下列四个命题：①若｜

a

｜＝0，则

a

＝0；②若｜

a

｜＝｜

b

｜，则

a

＝

b

或

a

＝－

b

；③若

a

∥

b

，则｜

a

｜＝｜

b

｜；④

a

∥

b

，

b

∥

c

，则

a

∥

c

.其中，正确的命题有（

）A.0个B.1个C.2个D.3个①忽略了0与0的区别，

a

＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，不一定得到它们的模相等；④当

b

＝0时，

a

，

c

可以为任意向量，故

a

不一定平行于

c

.A练习巩固[示例2]下列命题正确的是（

）A.向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λaB.在△ABC中，＋＋＝0C.不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜中两个等号不可能同时成立D.向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线

[正解]

∵向量

a

与

b

不共线，∴

a

，

b

，

a

＋

b

与

a

－

b

均不为零向量.若

a

＋

b

与

a

－

b

平行，则存在实数λ，使

a

＋

b

＝λ（

a

－

b

），即（λ－1）

a

＝（1＋λ）

b

，

即

a

＋

b

与

a

－

b

不平行，故选D.D练习巩固1.（多选）已知实数

m

，

n

和向量

a

，

b

，下列结论中正确的是（

ABD

）A.m（a－b）＝ma－mbB.（m－n）a＝ma－naC.若ma＝mb，则a＝bD.若ma＝na（a≠0），则m＝n解析：易知A和B正确；C中，当

m

＝0时，

ma

＝

mb

＝0，但

a

与

b

不一定相等，故