广西柳州市2024-2025学年高一下学期4月联考数学模拟试题【含答案解析】

广西柳州市2025年高一下学期4月联考数学模拟试题一、单选题1.已知都是正数，若，则的最小值是（）A.5 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用将化为积为定值的形式后，由基本不等式可求得结果.【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2.已知向量，，若与反向，则（）A.-30 B.30 C.-100 D.100【答案】D【解析】【分析】由向量共线求出x的值，进而由向量数量积的坐标表示可求.【详解】解：由已知得与共线，则，解得，所以，所以，因此．故选：D.3.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，即可求出结果.【详解】，.故选：C【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.4.三个数，，的大小顺序是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的单调性即可比较大小.【详解】因为，，，，又函数在内单调递增，所以，即.故选：C.5.已知函数（且）过定点，点在一次函数，的图象上，则的最小值为（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】由指数函数恒过定点可得，代入可得，后由基本不等式可得答案.【详解】因为且，令可得，，所以该函数过定点；又点在一次函数图象上，所以，因此，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为.故选：B6.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据所给数据做出直观图形的面积，由直观图的面积和原图的面积关系，得到结果．【详解】根据矩形是一个平面图形的直观图，其中，可得直观图的面积是由直观图的面积是原图的面积的倍，原图形的面积是．故选：A7.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的模及复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数.【详解】因为，所以，所以复数的共轭复数是.故选：C8.已知，，一条对称轴为，若关于x的方程在有两个不同的实数根，则m的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函数的对称性求得的解析式，利用换元法，将问题转化为与在上有两个交点，数形结合即可得解.【详解】因为的一条对称轴为，所以，，解得，，又因为，所以，所以，因为，，即，，令，则，则在上有两个实根，即与在上有两个交点，又，则的大致图象如图，结合图象可知，即.故选：A二、多选题9.函数，则关于说法正确的是（）A.函数的最小正周期是 B.函数的最大值是C.函数的一条对称轴方程是 D.函数是奇函数【答案】BC【解析】【分析】本题首先可通过三角恒等变换得出，根据得出A错误，然后根据正弦函数性质得出B正确，再然后根据对称轴方程为即可判断出C正确，最后通过不满足得出D错误.详解】，最小正周期，A错误；由正弦函数性质易知函数的最大值是，B正确；对称轴方程为，即，当时，，C正确；，不满足，D错误，故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质判断，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，考查三角函数的周期性、对称性以及奇偶性，考查推理能力，是中档题.10.下列各式中不成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】A：根据对数运算检验等号是否成立；B：利用切化弦结合同角的三角函数关系式判断等式是否成立；C：根据特殊角的三角函数值判断结果是否正确；D：根据特殊角的三角函数值判断结果是否正确.【详解】对于A：，，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：AC.11.已知是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，则不等式成立的一个充分条件是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】先根据奇函数的性质求得，再根据函数图象的解析式与性质画出的图象，结合函数图象平移的性质得出的图象，再根据函数的周期，数形结合分析即可得出结果.【详解】由题意，因为的图象关于直线对称，故，又为奇函数，所以有，所以，故，所以，故的周期为8.因为是定义在上的奇函数，故，解得，根据当时，，结合奇函数的性质与直线对称以及函数的周期性作图，且是的图象往左平移2个单位所得，作图如下.又不等式成立，即在的函数图象下方，由对称性得，当时，与的交点的横坐标为，结合图象可得与的交点的横坐标满足，所以在这个周期内，满足题意的解为，则所有符合题意的解为.当时，解为；当时，解为；当时，解为；当时解为，故选：CD.【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性、对称性与周期性，结合函数图象平移的方法数形结合解决函数不等式的问题，难度较大.三、填空题12.已知logx27＝3，则x＝________.【答案】3【解析】【分析】利用指对数互化即可求出x.【详解】因x3=27，而33=27，所以x=3.故答案为：313.函数的最大值是___.【答案】4【解析】【分析】利用配方法求得函数的最大值.【详解】依题意，故当时，函数取得最大值为.故填：.【点睛】本小题主要考查二次函数最大值的求法，属于基础题.14.圆柱的底面积为，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积为__________．【答案】【解析】【分析】先解出底面半径，求出底面圆周长即为侧面展开正方形的边长，然后求出侧面积.【详解】由得圆柱的底面半径，故侧面展开图的边长为，所以圆柱的侧面积是．故答案为：.【点睛】本题考查圆柱的侧面积计算，较简单.四、解答题15.已知.（1）化简，并求出其定义域；（2）若，求的值.【答案】（1），的定义域为（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式与同角的商数关系即可化简.（2）由（1）的结论可求得，利用齐次式法计算即可.【小问1详解】，要使有意义，则，即，所以的定义域为；【小问2详解】由，可得，.16.已知，是夹角为的两个单位向量，，，其中．（1）求；（2）若，求实数的值；（3）若向量，的夹角为，求实数的值．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得；（2）依题意存在实数，使，根据平面向量基本定理计算可得；（3）首先求出，，再根据数量积的定义得到方程，解得即可.【小问1详解】，是夹角为的两个单位向量，，，；【小问2详解】，且，存在实数，使，即，又，是夹角为的两个单位向量，根据平面向量基本定理得，解得；【小问3详解】因为，又，且向量，的夹角为，，解得或．17.已知向量，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，列式计算即得.（2）利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【小问1详解】向量，，由，得，所以.【小问2详解】向量，，由，得，所以.18.已知函数，，其中，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为.（1）求和的值；（2）若方程有解，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）结合条件先判定最小正周期得，再结合对称中心求即可；（2）利用换元法求得在的值域，将方程有解转化为函数与有交点的问题即可.【小问1详解】若的图像相邻两最高点的距离为则的最小正周期，∴，又函数图像的一个对称中心为，所以，∴，，又，∴.【小问2详解】由上得：，当得时，，时，，要在时有解等价于函数与在时有交点，则．19.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边BC上，，，，且.（1）证明：；（2）求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题设易得，根据已知条件，应用正弦边角关系、二