陕西省咸阳市部分学校2025届高三第七次月考（3月）数学试题【含答案解析】

2025届高三第七次月考数学试题注意事项：1.本试卷共4页分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用黑色0.5毫米墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.第I卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由交集定义可得答案.【详解】因，，可得.故选：C2.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘方及乘法运算求出，进而求出的虚部.【详解】依题意，，所以的虚部为.故选：A3.已知某种零件的尺寸（单位：mm）在内的为合格品.某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（）A.1600 B.1800 C.800 D.180【答案】B【解析】【分析】利用正态分布的对称性求出合格品的概率，再估计合格品个数.【详解】由零件的尺寸服从正态分布，且，得，所以该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数估计为.故选：B4.已知直线，直线，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由直线一般式平行表示可得答案.【详解】因，则.当，，，两直线互相平行.则则“”是“”的充要条件.故选：C5.已知是第一象限角，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知先确定是第三象限角，进而利用正余弦的平方关系求得，利用二倍角的正弦公式可求.【详解】因为第一象限角，所以，所以，当时，，所以是第三象限角；当时，，所以是第一象限角；又，所以是第三象限角，所以，所以.故选：D.6.随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高.目前中国大众穿汉限的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类.某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，每类场景至多选2张，则8张照片中恰有两类照片是2张的不同的选择方案种数为（）A.252 B.105 C.357 D.324【答案】B【解析】【分析】由题可得8张照片中，4张照片为相同的2类照片，另外4张为种类各不相同的，据此可得答案.【详解】由题，先从7类照片中选2类，有种方法；再选剩下4张，有种方法，则共有种方法.故选：B7.已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，据此可得答案.【详解】抛物线焦点为，准线为.由抛物线定义可得，又，则为正三角形.则，设，又过F做PQ垂线，垂足为G，则，则，又，准线为则，则.故抛物线方程为：.故选：D8.已知函数，，则与的图象交点的纵坐标之和为（）A.4 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】由题可得对称中心相同，然后由大致图象可得答案.【详解】注意到，因关于原点中心对称，则图象关于对称.因为奇函数，则相当于把函数图象向右移动1个单位长度，向上移动2个单位长度得到.则图象也关于对称.又注意到均在R上递增，则在R上单调递增，据此可得大致图象，再将图象向右平移一个单位长度，向上平移2个单位长度可得图象.则如下图所示，共有2个交点，则两交点均关于对称，则与的图象交点的纵坐标之和为4.故选：A二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.小军参加少儿体操选拔赛，8位评委给出的分数分别为13，14，，18，18，20，22，23（从低到高排列），这组数据的下四分位数为15，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分.现去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是（）A.平均数为18 B.极差7C.中位数18 D.众数18【答案】ACD【解析】【分析】由题可得分位数为15，据此可得a，然后由平均数，极差，中位数，众数概念可得答案.【详解】由题可得分位数为15，因，则分位数为第2个数据与第3个数据的平均数，则.去掉一个最高分和一个最低分后，可得数据为：14，，18，18，20，22.对于A，平均数为：，故A正确；对于B，极差为，故B错误；对于C，中位数为，故C正确；对于D，众数为18，之后为18，故D正确.故选：ACD10.如图，在直三棱柱中，，分别是棱，上的动点，，，则下列说法正确的是（）A.直三棱柱的体积为B.直三棱柱外接球的表面积为C.若，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为D.取得最小值时，【答案】BCD【解析】【分析】根据三棱柱的体积公式即判断A；通过确定球心的位置，求出直三棱柱外接球的半径判断B；通过平移找到异面直线所成角，再利用余弦定理判断C；利用三棱柱的侧面展开图判断D.【详解】对于A，由，，得直三棱柱为正三棱柱，则，A错误；对于B，令和外接圆的圆心分别为和，连接，的中点为，连接，则，为直三棱柱的外接球半径，且，该球的表面积为，B正确；对于C，取的中点，连接，由是棱的中点，得，则四边形为平行四边形，，同理，即异面直线与所成角或其补角，，连接，则，，因此异面直线与所成角的余弦值为，C正确；对于D，将直三棱柱的侧面展开得到平面展开图，连接，分别交于点，于是的最小值为，由，得，D正确．故选：BCD11.我国知名品牌小米公司的具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）.则下列有关曲线的说法中正确的是（）A.对任意的且，曲线总关于轴和轴对称B.当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为C.当，时，曲线与坐标轴的交点个数为个D.当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为【答案】ABD【解析】【分析】利用曲线的对称性可判断A选项；利用基本不等式结合平面内两点间的距离公式可判断BD选项；求出曲线与坐标轴的交点坐标，可判断C选项.【详解】对于A，取曲线上点，则，点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，因为，，即点、都在曲线上，故曲线总关于轴和轴对称，故A正确；对于B，当，时，曲线的方程可化为，在曲线上任取一点，由，当且仅当时，即当时，等号成立，得，故曲线上的点到原点的距离最小值为，故B正确；对于C，当，，时，，则，得，所以或，所以曲线与轴有个交点，当时，，，得或，所以曲线与轴有个交点，综上，曲线与坐标轴的交点个数为个，故C错误；对于D，当，时，曲线上任取一点，由，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故曲线上的点到原点的距离最小值为，故D正确.故选：ABD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知单位向量，的夹角为，则_____________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律计算即得.【详解】由单位向量，的夹角为，得，所以.故答案为：13.的展开式中常数项为_____________.【答案】【解析】【分析】由二项式展开式通项可得答案.【详解】展开式的通项为：.令，则展开式常数项为：.故答案为：14.如图，分别为双曲线的左、右焦点，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，，直线与双曲线的另一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】设，则由双曲线的定义及勾股定理得，由是以为底边的等腰三角形得，连接，利用双曲线定义得，从而利用勾股定理列方程得，即可求解离心率.【详解】连接，易知点在双曲线的右支上，且四边形为矩形，故，不妨设，则，由，得，所以，则，且.因为是以为底边的等腰三角形，所以，连接，则，所以,在Rt中，由，得，化简得，即，所以.所以，化简得,所以双曲线的离心率.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对豆角亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克），之间的关系”进行研究，得出了与具有线性相关关系的结论.现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取5亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表：某种液体肥料每亩使用量（千克）23456豆角亩产量的增加量（百千克）45579（1）求豆角亩产量的增加量对该液体肥料每亩使用量的线性回归方程，预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？（2）若豆角亩产量的增加量不低于6百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田随机选出3亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望.参考公式：，.【答案】（1）；（百千克）；（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）由参考公式可得线性回归方程，然后可预测豆角亩产量的增加量；（2）由题可得“优质试验田”有两亩，则取值可能为0，1，2，据此可能分布列并可求出期望.【小问1详解】由题可得.，.则，.则回归方程为：.当液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为（百千克）；【小问2详解】由题可知“优质试验田”有两亩，则取值可能为0，1，2，则，，.据此可得分布列如下：012则期望为：.16.记的内角，，的对边分别是，，，已知.（1）求；（2）若面积为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换化简，即可解决；（2）利用三角形的面积公式，得，再利用余弦定理得，最后结合正弦定理即可求解.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，化简得，因为，即，所以，得，因为，所以，又，所以.【小问2详解】由（1）知，又的面积为，所以，即，由余弦定理可得，所以，，，即由正弦定理得，，所以.17.已知数列的前项和．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用数列前项和与的关系求的通项公式.（2）先求出的表达式，再根据其特点进行求和.【小问1详解】当时：已知，那么，所以.当时：，先展开式子.则，所以.当时，，上式也成立.所以.【小问2详解】已知，把代入可得：.可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的.所以.18.已知曲线上任意两点间的最大距离为4，，为与轴的交点，且点在的上方．（1）求的方程；（2）若过的直线与交于另一点（异于点），作，为垂足，直线，的斜率分别为，证明：；（3）若点在上，且，证明直线过定点，并求面积最大值．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析，【解析】【分析】（1）整理曲线方程，由题意知长轴为4，求得，从而求出曲线方程；（2）写出点坐标，设，得到斜率，由求，然后得到，由在曲线上求得即可得结果；（3）设，，写出直线的方程，联立方程组后整理成一元二次方程，由韦达定理得到横坐标的关系.因为，所以建立方程解出的值.代回直线方程知道直线过定点，结合交点弦长公式求得，由基本不等式求得最小值.【小问1详解】由题可知，该方程表示焦点在轴上的椭圆，任意两点间的最大距离为长轴长，所以，解得，故的方程为．【小问2详解】由（1）可知，．设，则．因为，所以，所以．又，故，即．【小问3详解】由题可知直线的斜率存在．设，，直线的方程为，联立方程得消去可得，则，（*）．因为，所以，即，将（*）式代入，可得，即，解得或（舍去），所以的方程为，易知过定点．因为点到点的距离为，所以，令，则，当，即时，取得最大值2，所以面积的最大值为．【点睛】方法点睛，本题是圆锥曲线的综合题目.在解析几何中已知线线垂直，可以利用斜率乘积为1来建立等式求得参数的值.直线与圆锥曲线产生的交点三角形问题，由直线方程和曲线方程联立整理得到一元二次方程，由韦达定理结合交点弦长公式得到弦长，然后求得三角形的高即可得到三角形面积.19.已知函数.（1）求在处的瞬时变化率；（2）若恒成立；求的值；（3）求证：.【答案】（1）1（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，即可根据瞬时变化率的定义求解，（2）根据可知是的一个极大值点，由，可得，