中职高考数学一轮复习讲练测11.2 二项式定理（讲）（原卷版）

11.2二项式定理【考点梳理】1．二项式定理(a＋b)n＝(n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)n的二项展开式共有项，其中各项的系数(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即，通项为展开式的第项．2．二项式系数的性质(1)对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)，Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(n－2,n)，…，Ceq\o\al(k,n)＝Ceq\o\al(n－k,n)，…，Ceq\o\al(n,n)＝Ceq\o\al(0,n).(2)增减性与最大值二项式系数Ceq\o\al(k,n)，当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是递增的；当k＞eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项Ceq\s\up6(\f(n,2))n取得最大值．当n是奇数时，中间的两项Ceq\s\up6(\f(n－1,2))n和Ceq\s\up6(\f(n＋1,2))n相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.考点一求展开式的特定项、项数问题【例题】（1）在的展开式中，常数项为（

）A．80 B． C．160 D．（2）的展开式中系数最大的项是（

）A．第5项 B．第6项C．第5项、第6项 D．第6项、第7项（3）若的展开式有9项，则自然数的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10（4）已知的展开式中含的项的系数为（

）A．30 B．-30 C．25 D．-25（5）已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是（

）A．6 B．15 C． D．（6）在的展开式中，含x3项的系数为.【变式】（1）若的展开式中各项系数的和为256，则的值为（

）A．10 B．8 C．6 D．4（2）已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（

）A． B． C．15 D．20（3）的展开式中的系数为（）A．10 B．20 C．40 D．80（4）．的展开式中，项的系数是（

）A．30 B．30 C．60 D．60（5）已知的展开式中各二项式系数之和为128，则展开式中的常数项为．（6）在展开式中，含的项的系数是．考点二展开式的系数、系数和问题【例题】（1）已知，则（

）A． B．0 C．1 D．2（2）已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则为（

）A． B． C． D．（3）已知，则（

）A．31 B．32 C．15 D．16（4）在的展开式中，含的项的系数是（

）A．5 B．6 C．7 D．11（5）已知，若，则自然数n等于．【变式】（1）已知，设，则（

）A． B．0 C．1 D．2（2）若的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，则（

）．A．10 B．9 C．8 D．7（3）已知，则（

）A． B．0 C．1 D．2（4）设，则___________.（5）在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的项数为.【方法总结】1．二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是第k＋1项，而不是第k项．(2)求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出k，再求所需的某项(有时需先求n)．计算时要注意n，k的取值范围及它们的大小关系．(3)求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将通项中的系数和字母分离．2．要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别．在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项