2024-2025学年北京市平谷区九年级上学期期末数学试卷（含答案）

2025北京平谷初三(上)期末

数学

2025年1月

一,选择题(本题共16分,每小题2分)

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.在RtA4BC中,NC=90°,AC=4AB=5,则sinA的值是

2.如图，直线直线/415被直线/1,/以3所截，截得的线段分别为

AB,BC,DE,EF,若A8=4,BC=6,Z)E=3,则EF的长是

992

(A)—(B)—(C)—(D)4

243

3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=2x2先向左平移3个单位长度，再向下平

移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为

A.y=2(x-3了+4B.y=2(x-3)2-4

C.y=2(x+3)2+4D.y=2(x+3>-4

4.如图，点A,B,C为。O上三点,44CB=30°42=3,弧AB的长是

3万

A.71B.—71C.—D.2万

42

5.如图，已知正方形ABCD的边长为6,点E是CD边上一点,CE=2,以CE为一边作正方

形CEMN,连接AM交CD于点H,则DH的长为

4,2

A.-B.1C.3D.一

33

6.点A(Iji),B(3,9)是反比例函数y=-迈图象上的两点，那么yij2的大小关系

是()

A.y\>yiB.y\=yiC.y\<yiD.不能确定

7.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在一定条件下，可以

食用率P与加工时间t(分钟)满足的函数关系式为：。=。产+初+。3/°),如霁:

图记录了三次相同条件下实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最

0.5-

佳加工时间为

A.3.5分钟B.3.75分钟一

C.4分钟D.4.25分钟

o1234567*/

8.如图,等边4ABC中，点D是BC边上一点（不与点B,点C重合），连接AD,以AD为边作等边4AED.给出如

下三个结论：

3S

①BE=DC;②△DBEs/XADC,③一＜-

4S&ABC

上述结论一定正确的是

（A）①⑻①③

（C）②③（D）①②③

二,填空题（本题共16分,每小题2分）

9.函数y=j2x—4的自变量尤的取值范围是.

,,m22m

10.若一=一，则---=.

n3m+n

11.如图，身高1.6米的小林从一盏路灯下8处向前走了8米到达点C处时,发现自

己在地面上的影子CE长2米，则路灯的高A8为米.

12.如图，在。O中,AB是。O的直径,C,D,E是。O上的点，如果/A0C+NE0D=180

,0D=5,DE=6,那么AC的长为.

13.若抛物线丁=a+2%—1的顶点在x轴上，则左的值为.

14.如图，点在双曲线、,=工上，过点A作ACLx轴于点C,过点B作BD，y轴于点D,连接0人,€«,设4

x

OBD的面积为Si,设△OAC的面积为S2,则Si_S2（填“＞,＜，或="）.

15.中国古代建筑中的斜脊结构，既有利于排水,又有利于保温，是古代工匠智慧的体现.如图，房屋的屋顶截面

结构为等腰三角形,若斜脊AB的坡度i为1：2,房子侧宽BC为12米,则斜脊AB的长为一米.

16.周末，明明要去科技馆参观,该科技馆共有A,B,C,D,E,F六个展馆,各展馆参观所需要的时间如下表,其

中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备9：00进科技馆,12：00离开（各展馆之间转换

时间忽略不计）.

（1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完一个展馆.

（2）若B,E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序.

展馆ABCDEF

专业讲解无9：30-11：00每半小时一场，无无10：00-12：00每1小时一场，无

共3场共2场

参观所需时间（分603045156090

钟）

三、解答题（本题共68分，第17,18,19,20,21,22题,每小题5分，第23,24,25,26题,每小题6分，第27,28

题,每小题7分）解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

17.计算：2sin45°+［；j+］应一1卜炳.

18.如图,四边形A2CD是平行四边形,于点瓦点E恰为中点,C尸，于点F,当2/=24）=6时,

求AB的长.

19.已知：如图,ZvlBC中5AB=AC,AB>BC.

求作：线段BD,使得点。在线段AC上，且ZBAC.

2

作法：①以点A为圆心,长为半径画圆.

②以点C为圆心,8C长为半径画弧，交。A于点P

（不与点8重合）.

③连接2尸交AC于点D

线段BD就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）.

（2）完成下面的证明.

证明：连接PC

\"AB=AC.

...点C在0A上.

:点尸在。A上.

：.ZCPB=2-ZBAC()(填推理的依据).

,:BC=PC.

：.ZCBD=.

ZCBD=-ZBAC.

2

20.已知二次函数几组x与y的对应值如下表:

・・・-i01234・・・

y・・•830-10m•••

（1）直接写出m的值,m=.

（2）求此二次函数的表达式.

21.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船,是近代航行模式之先导.如图,某桨轮船的轮子被

水面截得的弦AB,过O作半径OCJ_弦AB于点D,若轮子的半径为5米，弦长为8米，依题意补全图形，并

求轮子的吃水深度CO为多少米.

22.湖光塔坐落在平谷区金海湖中心岛的山顶，七层八角形楼阁式建筑挂满风铃，微风吹过，玲声悠扬，是金海湖

景区的主要景观之一.某校组织九年级学生到金海湖景区参加社会实践活动，数学小组的同学最初的目标是

测量湖光塔的高度,但是他们通过网络搜索发现，网上可以查到湖光塔的塔高为30米，所以他们把任务确定为

测量湖光塔所在的中心岛小山的高度，数学小组设计的方案如图所示，他们在点C处用测角仪测得塔顶A的

仰角为45。,此时，由于树木的遮挡，看不清塔底，他们延水平方向向后走64米在点。处用测角仪测得塔底B的

仰角为26.5。.请根据他们网上查到的数据和测量数据求中心岛小山BE的高度约为多少米.（参考数据：

sin26.5°«0.45;cos26.5°«0.89;tan26.5°«0.50;）

23.在平面直角坐标系尤2y中直线y=^+KkHO)与双曲线y=9(x>0)的交点是4a,3).

(1)求a和女的值.

(2)当x>3时对于x的每个值，函数y=mx(m^O)既大于函数y=—(x>0)的值，又小于函数y=Ax+1的

x

值，直接写出m的取值范围.

24.如图，已知△ABC中42=BC,点D是BC边上一点，连

接AD,以AD为直径画。O,与AB边交于点E,与AC边交

于点F,EF=AF,连接DE.

(1)求证：BC是。。的切线.

3

(2)若8C=10,cos4SE=g，求a。的长.

25.某客运站为了了解早高峰时间段运营情况，有效的缓解

该时段乘客的等待时间,对早上6:00-8:00时间段内，客运站累计候车人数和累计承载人数进行统计，为了便于

记录,将早上6:00开始每10分钟记作一个单位时间，记为时间x(0Wx<12)，累计候车人数记为yi.累计承载

人数记为y2..

下面是他们的调查过程,请补充完整：

(1)他们调取了客运站该时段内累计候车人数yi与累计承载人数y2随x的变化而变化的有关数据:

时间段0123456789101112

累计候车人数yi(万人)0.51.11.62.22.93.64.25.15.76.06.36.56.6

累计承载人数丫2(万人)0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5m6.5

(1)补全表格,m的值为.

(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画yi与x»2与x的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全表中各对对

应值为坐标的点，画出这两个函数的图象.

(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：

①大约一点一分时，客运站滞留人数最多.

②客运站将在滞留乘客人数达到0.5万人及以上的时间段增派车次缓解供需压力,公司约在一点—分至

点—分时间段增派车次更合理.

26.在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=x2-2>wc+nr-4.

(1)当m=l时，求抛物线与x轴的交点坐标.

(2)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为G,若点A(xiji),B

(无2»2)是函数G图象上的两点，若对于任意的-2<V1<-1U2=-L都有求m的取值范围.

27.RtAABC43,ZACB=90°NB=a，点D是AB边中点，点E是BC边上一点(不与点B,点C重合)，连接

DE,将线段DE绕点D逆时针旋转2a，得到线段DF,连接EF,AF.

(1)如图1,若a=30°,点F刚好落在BC边上,BE=1,则AF=_,AC=_.

(2)判断AF,BE和BC的数量关系，从图2,图3中任选一种情况进行证明.

E2

28.我们给出如下定义：在平面内,已知点M和图形G,点M到图形G上所有点的距离的最小值称作点M到

图形G的距离.

(1)平面直角坐标系下,已知点P(0,3),以0为圆心,1为半径画圆，则点P到。。的距离为.

(2)平面直角坐标系下,已知点P(0,3),在平面内有一个矩形ABC。,A(-2,1),B(2,1),D(-2,-1).

①当矩形绕着点0旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围为.

②若M为矩形ABCD上一点，连接OM,以0M为直径画圆,记作圆G,则点P到圆G的距离d的取值范围为

参考答案

一,选择题（本题共16分,每小题2分）

题号12345678

答案DADACCBB

二、填空题（本题共16分,每小题2分）

题号910111213141516

答案x>2488—13A/54;F-B-E

5

三,解答题（本题共68分，第17-22题,每小题5分，第23-26题,每小题6分，第27,28题,每小题7分）解答应写出

文字说明，演算步骤或证明过程.

17.解:

=2x—+3+72-1-3^...........................................................................................................4

2

=2-y/2..............................................................................................................................................5

18.解：,・,四边形A8C0是平行四边形

ZD=ZB,AD=BC,AB=DC......................................................................................................1

・.•CE1ADCF±AB

；・NCED=NCFB=900..................................................................................................................2

・・・ACDE〜ACBF

................3

.CDDE

19.

...............................................................................................................................................................2

圆周角定理....................................................................4

ZCPB..................................................................................................................................................5

20.解：

(1)3..................................................................................................................................................1

(2)由表中数据可知抛物线的顶点坐标为(2,-1),

.2

•••设抛物线的解析式为y=a(x-2>-l(awO)

....................................................................................................................................3

•••抛物线过点(3,0),

Aa(3-2)2-1=0

....................................................................................................................................4

解得a=l,

，抛物线的解析式为y=(x-2y-1.

...............................................................................................................................................................5

法2：

(2)由表中数据可知抛物线与y轴交点为(0,3),

*,•设抛物线的解析式为y=ax?+bx+3(aH0)

....................................................................................................................................3

•••抛物线过点(-L8),(1,0)

.a—b+3=8

[a+b+3=0

....................................................................................................................................4

解得a=l,b=-4.

，抛物线的解析式为y=x?-4x+3.

5

21.依题意补全图形1

---------ee-------------

解：：半径OC，弦AB于点D,AB=8

；.BD=4.......................................................................................................................................2

连接OB...............................................................................................................................................3

VOB=5

由勾股定理OD=3.............................................................................................................................4

；.CD=5-3=2........................................................................................................................................5

；・吃水深度为2米.

22.解:

由题意,NAED=90°,ZACE=45°,ZBDE=26.5°,AB=30,CD=64...........................................1

设BE=x，则EC=x+30.........................................................................................................................2

•.'tan26.5。“0.50

-------------~0.50....................................................................................................4

x+30+64

解得x标94...............................................................................................................5

答：小山高度约为94米.

23.(1)；双曲线y=g(x>0)过点A(a,3)

X

Aa=2..............................................................................................................................................1

*.*直线y=kx+\过点A(2,3)

：.k=l..............................................................................................................................................2

2

(2)-#m1..................................................................................................................................6

3

(一个界值1分,符号完全正确满分)

24.(1)证明

TAD为。。的直径.

AZAED=90°....................................................................................................................1

VBA=BC

・•・ZBAC=ZBCA

VEF=AF

・•・ZBAC=ZFEA.....................................

・•・ZBCA=ZFEA

ZDEF=ZDAC

・•・ZDAC+ZBCA=ZDEA+ZAEF=90

AADXBC

・・・BC为。。的切线..................................3

(2)TBC为。O的切线

JZADE+ZBDE=90°

・・.NB+NBDE=90°

・•・ZB=ZADE

3

*.*cosZAFE=—

5

3

cosZB=—

5

・BD_3

**AB-5

.BD_3

^~L0~~5

ABD=6.....................................................................................................................................4

由勾股,AD二8

VBC=10

ADC=10-6=4...................................................................................................................5

由勾股

AC=475......................................................................................................................6

25.(1)6..............................................1

(3)①7点20分.......................................4

②6点45分至7点45分

.......................................................................................................6

26.解：

(1)当m=l时,y=/-2x-3

令y=0,得y=Y_2x-3

解得无1=3,尤2=-1

.•・抛物线与x轴的两个交点(3,0)和(-1,0)

...................................................................................................................................................2

(2)由y=/―2mx+m2-4=(%-m)2-4

.,•抛物线的顶点为(m,-4),

抛物线的对称轴为x=m.

.......................................................................................................................................