2024-2025人教A版高二年级上册期中数学模拟检测试题（共2套附解析）

2024-2025高二上期中数学（人教A版）真题试卷模拟检测

试题（一）

检测范围：选择性必修一第一章、第二章、第三章

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.（24-25高二上•山东潍坊•开学考试）如图所示，在四面体/一BCD中，点£是CD的中点,

记次=&,AC=b,AD=c,则而等于（）

1-1

——a+b+—c

D.22

2.（22-23高二下•吉林长春•开学考试）不论左为任何实数，直线

（2左-1衣-6+3方-（左-11）=0恒过定点，则这个定点的坐标为（）

A.（一2,3）g（2,3）c.（2，-3）口.（一2,-3）

3.（2022高三・全国・专题练习）设《丹是椭圆1224的两个焦点，尸是椭圆上一点，且

小;贝产耳的面积为（）

A.6B.6友C.8D.8应

4.（23-24高二下•江苏常州•期中）已知"=0T3）,“=（-4,%2）,且小（。+5），则的

值为（）

A.6B.10C.12D.14

5.（22-23高二下•广东深圳•期中）点P（L°）,点°是圆Y+丁=4上的一个动点，则线段

尸。的中点〃的轨迹方程是（）

22

£邑-勺=1（。>0/>0）

6.（23-24高三上•湖北武汉•阶段练习）过双曲线b~的左焦点尸作

222-----,,------*

x+y=或的一条切线，设切点为九该切线与双曲线£在第一象限交于点/,若FA=3FT,

则双曲线£的离心率为（）

V13V15

A.6B.V5C.2D.2

7.（23-24高三上・北京海淀・期末）已知圆Ux?+2x+:1=0,直线加工+"（尸1）=°与圆

C交于A,B两点.若V/8C为直角三角形，则（）

A.mn=0B.加一〃=0

C.m+n=0D._3«2=0

y=—x2

8.（23-24高三下•山东荷泽•阶段练习）已知抛物线0的方程为4,厂为其焦点，点

N坐标为（°，一4）,过点尸作直线交抛物线c于A、B两点，。是X轴上一点，且满足

DH=08|=QN|,则直线42的斜率为（）

+妪+而

A.12B.一2C.士0D.土百

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.（24-25高二上•浙江台州•开学考试）如图所示，在棱长为1的正四面体/BCD中，E,F

分别是N5,的中点，则下列计算结果正确的是（）

—►一1----1

EFBA=-EFBD=—

A.4B.2

EFDC=~-AB-CD=-

c.4D.2

10.（23-24高二下•山西运城•开学考试）下列说法正确的是（）

~兀［「3兀）

0,一LJ---,71

A.直线xsin&+y+2=0的倾斜角e的取值范围是L4」［4）

B.“。=T”是“直线-y+］=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件

C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.已知向量"（9"，-4）,3=（1,2,2）,则°在不上的投影向量为（1,2,2）

22

11.（23-24高三上•河北沧州•阶段练习）已知椭圆，2/一的焦点分别为月（°乂），

月（°厂2）,设直线/与椭圆c交于M,N两点，且点（2'2）为线段的中点，则下列说

法正确的是（）

V3

A.相2=6B.椭圆C的离心率为3

C.直线/的方程为力+»-2=°口.△工的周长为4女

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）

12.（22-23高三下•湖北•阶段练习）已知抛物线丁=2*5>0）的焦点为尸，过点尸的直线

与该抛物线交于48两点，.却=5亚,的中点纵坐标为0，则°=.

13.（2024・浙江•二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特・梵高用夸张的手法,

生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆。的一段圆弧£,且弧

4兀

£所对的圆心角为5.设圆c的圆心C在点。与弧E中点的连线所在直线上.若存在圆C满足:

弧E上存在四点满足过这四点作圆。的切线，这四条切线与圆C也相切，则弧E上的点与圆

2兀V5-1

cos——=--------

C上的点的最短距离的取值范围为,（参考数据：54）

14.（22-23高二下•江苏连云港•阶段练习）如图，在四棱锥中，已知平面

AABC=ABAD=-…fr-

4BCD,且四边形NBC。为直角梯形，2,PA=ADf,AB=BC=T点

°是线段BP上的动点，当直线CQ与。P所成的角最小时，则线段8。的长为

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（13分）（2021•浙江•高考真题试卷）如图，在四棱锥9一/8。中，底面是平行四

边形，^BC=nO°,AB=l,BC=4,PA=415,”，N分别为8C,PC的中点，

PDl.DC,PM1MD

（1）证明：AB1PM;

（2）求直线/N与平面pzw所成角的正弦值.

22

土-匕=1

16.（15分）（23-24高二上•广东东莞•期中）已知双曲线/b2的渐近线方程为

且点M（2,1）在该双曲线上.

（1）求双曲线C方程；

⑵若点片，片分别是双曲线C的左、右焦点，且双曲线C上一点尸满足咫,时，求

△尸耳耳的面积.

17.（15分）（23-24高二上•浙江金华•阶段练习）已知动点尸与两个定点/6°）,'（4°）的距

离的比是2.

（1）求动点尸的轨迹C的方程；

（2）直线/过点（2/），且被曲线0截得的弦长为2道，求直线/的方程.

18.（17分）（2023•江苏徐州•模拟预测）在三棱台/BC-。即中，G为/C中点,

AC=2DF,AB上BC,BCLCF

B

（1）求证：8c,平面DEG；

（2）若"=BC=2,CF1AB,平面EFG与平面4CFD所成二面角大小为3,求三棱锥

E-OFG的体积.

19.（17分）（2024•山东青岛•一模）已知。为坐标原点，点水为°°：/+「=4和0M的公

共点，而•丽=0,与直线x+2=0相切，记动点M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）若〃＞心＞0,直线4：x-y-，〃=0与c交于点/,B,直线小工一了一,二。与c交于点H,

B',点4,H在第一象限，记直线44'与83'的交点为G,直线4"与加'的交点为〃，线段

AB的中点为E.

①证明：G,E,〃三点共线；

②若（〃?+1）一+〃=7,过点”作4的平行线，分别交线段88'于点T,T,,求四边形

G7KT面积的最大值.

答案:

题号12345678910

答案ABBCACABABCACD

题号11

答案AC

1.A

【分析】利用空间向量的线性运算，用基底表示向量.

【详解】连接如图所示，

A

c

（AC+AD）=^+c）

••,E是CD的中点，AC=b,AD=cf:,AE=2

在中，BE=BA+AE=-AB+AE,又方=

BE=-a+—（b+c>\=-a+—b+—c

...2V722

故选：A.

2.B

【分析】直线方程即以2'+）一D+（—、+3歹+11）=°,一定经过2x_yT=0和f_3y+11=0

的交点，联立方程组可求定点的坐标.

［详角军］直线Qk-l）x-（左+3）j-（A：-11）=0

即k（2,x—,一1）+x—3y+11）=0

（2x-y-l=0{x=2

根据k的任意性可得If-3y+11=0,解得b=3

不论k取什么实数时，直线Q斤-1>+（斤+3）y-（左-11）=0都经过一个定点（2,3）.

故选：B

3.B

【分析】利用椭圆的几何性质，得到忸用+忸引=2。=46，|百用|=2°=46，进而利用

2"4得出附卜%=*,进而可求出S5

22

土+匕=1,,

【详解】解：由椭圆1224的方程可得片=24万=12,

所以c?=/-/=12,得”=2跖c=2/

且忸胤+|尸闾=2a=4几国月|=2c=46

在AP片与中，由余弦定理可得

(IWI+I尸81)2-2|尸片II尸瓦H甲寸

cos

ZFXPF2=

2\PFl\\PF2\2|尸耳II尸刃

4a2_402_2|尸片||尸6|_4/_2|尸片|_4x12-21/耳||尸巴|

2|尸耳|吐|一2\PFl\\PF2\~-21m0|

cos/F]PF,=-附|•附1=18

而-3,所以,

cos^FlPF2=-sin4%=—

又因为,所以3

1],B

SAPF昆=/尸耳||PR|-sin/耳尸玛=]X18x-^-=6及

所以,

故选：B

4.C

【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案.

【详解】因为一("'),所以"(2,-1,3)-(2-4,-1+^,3+2)=-4+l-y+15=0

解得y=i2,

故选：C.

5.A

【分析】设出点M坐标，得出。点坐标，代入圆方程，即可得到线段尸°的中点M的轨迹方

程.

【详解】设点”的坐标为"(X/),因为初点是线段「°的中点，

可得0（2x-l,2y）,点。在圆上，

则（2x-l）2+（24=4,即I"2）+yI

故选：A.

6.C

【分析】取线段4T中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.

【详解】令双曲线E的右焦点为尸'，半焦距为c,取线段/T中点连接°T，/P，FN,

因为E4切圆/+/=。2于？，则0TJ.E4,1Fr|=7lOF|2-1OT|2=y/c2-a2=b

因为成=3成,则有尸C=6,用-2a=36-2〃，

而。为"'的中点，于是FA///。？，即尸加，《尸，|FW=2|°T|=2a,

在RtA4F'N中，（2。）2+/=（36-2斤，整理得「二5,

cIb2V13

e———/1—____

所以双曲线E的离心率-。飞a2~2

故选：C

7.A

【分析】由直线与圆相交的弦长公式必到二2犷二层进行求解即可.

【详解】因为圆。：一+2》+「-1=0,圆心为C（T。）,半径为，=亚,即侬=倒=应

因为V/8C为直角三角形，所以越=#X+|O「=2,

卜加一“|m+w|

设圆心。（一⑼到直线3+"&-1）=°的距离为d,y/m2+n2^m2+n2

由弦长公式MM=2犷二/得"=1,所以j苏+甘，化简得加〃=o.

故选：A.

8.B

【分析】设力&V1）,8（冷42），“（。，0）,直线48方程为产6+1,联立直线与抛物线方程,

消元，得到中2=一4,再由冈=|四=|网=#I不,可得4（%加，8@242）是方程

f+「-2"T6=0的解，将了=丘+1代入方程，由国马=-4求出仁

［详解］设"（、为）,见叼必），°（。，°）,直线方程为^=履+1,

y=Ax+1

y=­x

联立直线与抛物线方程I4,可得X?-4履-4=0,

显然A>°,所以王超=-4.

又皿=囱=|DN|=+42即J（x1_ay+y；='（xz-aj+y；=da。+4?

即x；+—2QX]-16=0x；+-2axz_16=0

故4（%i，y1）,B（%2必）是方程-16=0的解，

将了=去+1代入方程/+/-2办-16=0,

整理得（l+〃”+（2"2a）x-15=0,显然△＞（）,

\+k2

故选：B.

方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

(1)设直线方程,设交点坐标为(乙3)、(叼必)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或V)的一元二次方程，必要时计算A；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为再+工2、再马的形式；

(5)代入韦达定理求解.

9.ABC

【分析】利用向量数量积的定义分别求解即可.

--1--

EF=-BD

【详解】因为E,尸分别是的中点，所以2,

丽而」亦.的=」而同cos匝加=工Xcos60。」

所以22lII।24,A正确；

EF-BD=-BD-Bb=-\BT)\=-

22l।2,B正确；

-I^=-BDDCBDDCcosBD-DC=-xcosn()o=--

2=-2\l\H\\।-24,c正确；

A8-c5=AB.(AD-l4C)=AB-AD-AB-I4C-|Z8||ZD|cosAB,AD-1Ag||^c|-cosA8,^C=

cos60°-cos60°=0,D错误.

故选：ABC.

10.ACD

【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断A选项，利用两直线的

垂直及充要条件的定义即可判断B选项，利用空间向量的基本定理可判断C选项；利用投影

向量的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，直线xsina+V+2=°的倾斜角为夕，贝|tane=-sina,因为

「兀［「3兀)

0G0,—D,71

-iVsinaVl,所以-lWtan"l,所以「4」14九故A正确；

对于B选项，因为直线片'_'+1=0与直线工一0_2=0互相垂直，所以

2

flxl+(-l)x(-fl)=0；即。2+。=0,解得。=0或4=-1,所以=是“q=0或”_1„的

充分不必要条件，所以“。=T”是“直线/x->+1=°与直线X---2=°互相垂直,，的充分不

必要条件，故B错误;

对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非

零向量不共线，设这两个非零向量为或由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非

零向量人使得3'',｝为空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确;

对于D选项，因为向量力=（9,4，-4）3=（1,2,2）,所以2在B上的投影向量为

a-bb=牌'=凯2,2)=(1,2,2)

|a|cosa,Z>-=r=|a|-同同•阿

故D正确.

故选：ACD.

11.AC

【分析】先由题意求出/即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直

线/的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D.

【详解】如图所示：

根据题意，因为焦点在y轴上，所以苏-2=4,则/=6,故选项A正确;

e_c_2__

椭圆。的离心率为aa3,故选项B不正确;

（%+%）（%-工2）=_（必+%）（—2）=_3X一+强

两式相减得2一6，变形得再一马必+%,

石+/1

一+一二2―一―=5二］

产化工］M+%必+%yP1

又注意到点【22）为线段"N的中点，所以22

,-yx+x

k,=———2=-3ax-t----2-=—3x1=—3

所以直线/的斜率为再-%%+为

y--=-3\x

所以直线/的方程为2I,即3x+y-2=°,故选项c正确;

因为直线/过片，所以A&MN的周长为

FM+FN+MN=(\FM\+\FM{)++\FN[)=2a+2a=4a=4v6上乙3THe-十也

222Xr,故选项D不正确.

故选：AC.

V2

12.2行或2

_£

【分析】由题可设直线的方程为'一""+/（匹，%），8（々,力），与抛物线联立可得交

点坐标关系，根据相交弦长公式及中点坐标公式即可求得°的值.

Fp

2M。x=my-\——

【详解】抛物线》=2"（p>0）的焦点设直线的方程为-2,

/(再,必),2(无2,%),

%+%=6

所以2,贝2,2

p

x=my+—

y=2px,消去x得：y2-2pmy-p2=0

联立

A=(-2p加7-4x(-p2)=4P2m2+4/>0恒成立,

V2

m=--

所以％+%=2。加,必”=一p2,所以2p%=2四，

贝IJP,

又

\AB\=Vl+m2=+,J(“+%)、-4%%=Jl+〃/•,8+4/=1+与48+4/=5五

2/+鸟_17=01=oe

整理得：P',所以PP，解得。=2也或2.

e

故2行或1".

13.(°⑹

【分析】设弧E的中点为M,根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆

。的位置，分析可得弧E上的点与圆C上的点的最短距离.

【详解】如图，

4兀

设弧E的中点为“，弧片所对的圆心角为彳，

圆。的半径以图=1,在弧E上取两点则-5,

分别过点48作圆。的切线，并交直线加于点。，

当过点48的切线刚好是圆。与圆C的外公切线时，劣弧/台上一定还存在点丛7,使过点

邑7的切线为两圆的内公切线，

则圆C的圆心C只能在线段“D上，且不包括端点，

过点°,分别向。作垂线，垂足为凡尸，则。尺即为圆°的半径，

设线段℃交圆C于点N,则弧E上的点与圆°上的点的最短距离即为线段九亚的长度.

,,!\O!A\\OA\\OA\1r

°。=——=—/Un4^^=了—=V5+1

11cosZAODN40B2n5i

cos-----cos___i

在RtaZOZ）中，254,

^\MN\=\OC\-\OM\-\CN\=\OC\-l-\CR\<\OD\-l-Q=y/5+l-l=45

即弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为逐）

故答案为.（°，6）

结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解:

相离的两个圆（圆心分别为9和°?,半径分别为R和r）上的两个动点之间的距离L的最小

值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即

Anin=|O1O2|-y?-r,Zmax=\O}O2\+R+r

V3

14.2

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用向量的夹角公式求出Ic°s〈诙，赤〉।的

最大值，从而确定。点在8尸上的位置，即可求得答案.

AABC=ABAD=-,,

【详解】因为P/，平面/BCD年2,所以D22/尸D两两垂直,

以｛AB,AD,AP｝为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

则各点的坐标分别为8(1,0,0),C(1,1,0),D(0,V3,0),尸(0,0,V3)

因为丽=(-1,0,省)设苑=4/=(-彳,0,6为,(04彳41),

又C8=(0,-1,0),则CQ=CB+BQ=(-2,-1,732)

CQDP1+V32

cos(CQ,DP)=

又加=(0,36)

从\CQ\\DP\8万+2

设1+V3A-t,t&[1,1+-\/3]

3产3,7

cos2(CQ,DP)--------------------------------------

8户一⑹+141416-8

—z---------------bO

则tt

43_

t=lA=__Vu

当且仅当一W,即一彳时，Icos〈丽，丽〉|的最大值为丁,

巫

即直线c0与。p所成角的余弦值的最大值为工，

而直线C0与。p所成角的范围为2,

[0,-]「c

因为y=cosx在2上是减函数，故此时直线。。与。尸所成角最小，

又因为8P=Vi3=2,所以42,

V3

故2

方法点睛：建立空间直角坐标系，利用向量的坐标求得c。，。尸的夹角的余弦的最大值，即可

确定0点的位置，进而求得答案，因此在解决类似问题时，可以尝试建立空间坐标系，利用

向量解决问题，可以简化题目的难度.

V15

15.(1)证明见解析；(2)6.

【分析】(1)要证可证DC'PM,由题意可得，PDLDC,易证OM/OC,

从而OCL平面即有OC'PM,从而得证；

(2)取/。中点E,根据题意可知，儿化,DM,9两两垂直，所以以点M为坐标原点，建

立空间直角坐标系，再分别求出向量芯和平面PDM的一个法向量，即可根据线面角的向量

公式求出.

【详解】(1)在△DCW中，DC=1,CM=2,ZDCM=60\由余弦定理可得。.=右，

所以。A/?+DC?=CA/2,DM1DC,由题意DCJ,尸。且PDcDM=。，；.Z)C_L平面

PDM,而PMu平面所以DC_LPAf,又AB"DC,所以

(2)由尸NLA®,ABVPM,而48与DM相交，所以尸加■，平面ABC。，因为

AM=^,所以尸河=20,取/。中点E,连接ME,则ME，。“，尸"两两垂直，以点

M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，

则A(-瓜2,0),P(0,0,2V2),D(区0,0)JW(O,O,O),C(V3,-1,O)

又N为尸C中点，所以122JI22人

由(1)得平面尸。河，所以平面尸。”的一个法向量力=(°，L°)

__5

"小=,2=叵

|n|.+至+26

从而直线NN与平面pzw所成角的正弦值为V4+4+

B

本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明可以考虑DCLPM,

题中与℃有垂直关系的直线较多，易证DC_L平面产况/,从而使问题得以解决；第二问思

路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得

出.

22

土-乙=1

16.（1）33

（2）3

«=1互_上=1

【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得了，根据点加（2J）在双曲线上列方程//,

最后解方程组得出双曲线的方程；

（2）根据双曲线定义和咫,尸巴列方程组求解尸片,尸入,再根据三角形面积公式计算面积可

得出答案.

国1

a「

22]2a~。3

【详解】（1）由题知，1//解得，，=百

22

工-匕=1

所以双曲线C的方程为：33

2

（2）■■PF^lPF2,­,PF：+PF2=FtF^=（2cy=24

根据双曲线的定义得，户周一尸闾=2。=26

.]尸耳-1|=26

PF：+=24解方程得，PF'"2=6

邑"典=gPk%=；x6=3

考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题.

17.（1）5-5）。+/=4

（2）9=1或比+4y-10=0

【分析】（1）直接利用条件求出点尸的轨迹方程，所求方程表示一个圆；

（2）直线/的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当

直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即

可求出直线的斜率，进而求出直线的方程.

【详解】（1）设点-G」）,

:动点P与两个定点⑼，8（4，°）的距离的比是2,

M_2

A\PB\,即叫=2阀，

贝”"（XT）2+/=2^/（x-4）2+y2,

化简得X2+/7°X+21=°,

所以动点尸的轨迹C的方程为（x-5）?+V=4；

（2）由（1）可知点尸的轨迹C是以（5，°）为圆心，2为半径的圆，

:直线被曲线C截得的弦长为26,

二.圆心（5,°）到直线/的距离"=6^=1,

①当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为》=2,此时圆心到直线/的距离是3,不符合条

件；

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为〉一1=上（无一2）,即丘-y-2左+1=0,

d=^l=X

所以圆心色°）到直线/的距离护不，

k」

化简得91+6左+1=/+1,解得左=0或4,

止匕时直线’的方程为〉=1或3x+4y-i°=°.

综上，直线/的方程是了=1或3x+4'T0=0.

18.（1）证明见解析

1

【分析】（1）易证得四边形GCED为平行四边形，由此可得8CLOG,结合8CLDE,由

线面垂直的判定可得结论；

（2）根据垂直关系，以G为坐标原点可建立空间直角坐标系，设"G=CV=机（加＞0）,由

二面角的向量求法可构造方程求得比,利用体积桥/“叩=%-DEF可求得结果.

【详解】⑴在三棱台中，G为/C中点，则"=2GC,

又4c=2DF,GC=DFt

ACIIDF,四边形Gb。为平行四边形，.•.OG〃CF,

又BC1CF,:.BCIDG,

•/DE//AB,AB工BC,:.BC上DE,

•・・DEC\DG=D,O£,OGu平面。EG,「.BC，平面。EG

(2)vCFLABDG//CF,/.DG1ABf

又DG上BC,ABcBC=B,平面45。，「.OG，平面45。,

连接BG,•:AB=BC=2,ABLBC9G为4C中点，:.GBLAC.

以忸,GC,G"｝为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系G-平,

则G(0,0,0)5(72,0,0)/小,一行,0)C^),V2,0)

设OG=CV=M(机>0)则0(0,0,唐)F(0,42,m^

.-.GE=GD+DE=GD+^AB=(Q,0,42,0^=(^,^,m

GF=(0,42,m^

设平面E-G的一个法向量为方=G/，z),

-V2V2

n•GE=xH-----y+mz=0

22

n-GF=\[2y+mz=0

则,令Z=Y1,解得：>=机，x=m

又平面ACFD的一个法向量两=0,°，°),

\m-n\m_1

阮I,同,2加2+22,解得：m=l,即。G=l,

•••Z)G_L平面Z5C,平面48C〃平面。£7"，OG_L平面。瓦"

,VE-DFG=VG-DEF=TS^DEF.£>G=X[X1X1X1=J

3326

19.(l)/=4x

⑵①证明见解析；②骁

【分析】（1）设/（x，y）,根据题目条件列式化简可得轨迹；

（2）①设线段4®的中点为尸，利用向量证明G,E,尸三点共线，同理X,E,厂三点共

线，进而可得结论；②将四边形G遇7'面积转化为四边形面积，将直线和抛物线联立,

利用韦达定理，求出直线NH和直线84的方程，则可求出G,“坐标，然后利用面积公式

S=^\GH\-\yi-y2\

求解最值即可.

【详解】（1）设M（x，>）,。"与直线x+2=。的切点为N,则1肱汗=也少「=|0朋7+|0矽2,

所以I尤+2「=x~+/+4

化简得廿=4x,所以。的方程为：y2=4x,

（2）①设线段4"的中点为尸，

因为/儿，所以可设第=2而，GB=AGB',

GE=-（GA+GB）=-（GA'+GB'）=AGF

又因为2、J2、，

所以G,E,厂三点共线，同理，H,E,尸三点共线，

所以G,E,〃三点共线.

②设N（Xi，yJ,8（%,%）,4（三,为），8口4，乂），中点为£,/⑻中点为厂,

将工=>+机代入/=4x得：/_4/_4m=0,所以％+%=4,必％=_4机，

v」+%_2

所以『2

同理为+乂=4,处=2（G,E,〃,厂均在定直线y=2上）

因为TT'/4,所以与面积相等，△E8T'与△£8〃面积相等；

所以四边形GT^T'的面积等于四边形GAHB的面积，

设G(%,2),H(XH,2)

//'：»-%=直工(xf)

直线x「X3,即44

X=2（必+匕）一%％

又因为%=2,所以“一

整理得：直线4

*=竺乜巫X

同理，直线%+%,切=2,所以”4

(%-%)(2-%)2

\GH\=\XG-XH\=

S=±G〃|.|必f|="心也二区

所以四边形G//Y面积2

[(必+%•-4弘％]•j(%+”)一

16

(16+16m)-J16+16〃

=4,(1+加)2(i+.)

<4。+"；+1+”=2(2+m2+2m+w)=16

m+2加=n

n+m2+2m=6目「

所以四边形G窗T'面积的最大值为16.

关键点点睛：本题的关键是将四边形G明7'的面积转化为四边形G/HB的面积，还有充分利

用第一问中的点共线求出G，”的横坐标，可以给求面积带来便利.

2024-2025高二上期中数学（2019人教A版）真题试卷模拟检测

试题（二）

检测范围：选择性必修一第一章、第二章、第三章

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.（2023高三•全国•专题练习）方程J--+J（x+>+/>的化简结果是（

）

22

-—1t+2=1

A.53B.35

C.259D.925

2.（21-22高二上•山东济宁•期中）设点44,-3）,5（-2,-2）,直线/过点尸（口）且与线段月8相

交，则直线/的斜率上的取值范围是（）

_

A.k>l^k<-4B.左21或3c.4<A：<1

3.（23-24高二下•江苏宿迁•期中）已知空间单位向量之，"两两垂直，则

\a-b+c

A.GB.瓜

4.（22-23高二上•山东枣庄•期末）两定点/,2的距离为3,动点〃满足性例=2|“可，则

M点的轨迹长为（）

B2G兀

A.4兀C.2A/2TID.2兀

5.（22-23高二上•安徽马鞍山•阶段练习）在四面体0/8。中，0A=a,0B=b,0C=c,

OP=^PG_

G为V/2C的重心，尸在。G上，且2,则4尸=（）

2-1工1_8.1-U

——a+—b+—c—a——b——c

A.999B.999

8-1r1-2一11一

——a+—b+—c—a——br——c

C.999D.999

6.（2024•吉林长春•模拟预测）已知点尸为抛物线C：/=4x的焦点，过尸的直线/与C交于

48两点,则M司+2忸尸I的最小值为（）

A.2后B.4C.3+2收D.6

7.（2023•北京海淀•二模）已知动直线/与圆°：/+r=4交于A,8两点，

且4402=120。.若/与圆（X-2/+/=25相交所得的弦长为乙则/的最大值与最小值之差

为（）

A.10-4"B.1c.4^6-8D.2

22

C=l（tz>0,6>0）z/日

8.（2024・河南•模拟预测）设双曲线a?b2的左、右焦点分别为外,力,过

坐标原点的直线与C交于48两点，但㈤=2|五/,£4尸2'=4a2,则。的离心率为（）

A.&B.2C.^5D.近

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.（20