2024-2025学年北京市东城区高三年级上册期末数学检测试题（附解析）

2024-2025学年北京市东城区高三上学期期末数学检测试题

一、单选题（本大题共10小题）

1.已知全集。={疝)<%<4},集合/={x|0<x<2},则()

A.{x\2<x<4}B.{x\2<x<4}

C.{x\2<x<4}D.{x|2<x<4}

2.若复数z满足z(l+i)=i,则z的共朝复数亍=()

A11-11.

A.—l—iB.----------1

2222

11.11.

C.——+—iD.-------1

2222

3.设“/ER,且a>6,则()

11,

A.—<—B.tana>tanZ?

ab

C.3-a<2-bD.a\a\>b\b\

4.设等差数列{%}的前〃项和为且Ss=15,则%q的最大值为()

9

A.-B.3C.9D.36

4

5.已知双曲线。的一个焦点是片（0,2）,渐近线方程为》=±氐，则。的方程是

（）

22

A.x2—=1B.——y2=1

33

C.-=1D.---=1

33

6.已知圆C:x2+2x+y2-l=0,直线加工+〃（＞一1）=0与圆。交于A,B两点.若VABC为

直角三角形，则（）

A.mn=0B.m-n=0

C.m+n=0D.m2-3n2=0

1y

7.已知函数〃x）=ln^—,贝IJ（）

1-X

A./（尤）在（Tl）上是减函数,且曲线y=/（x）存在对称轴

B./（x）在（T1）上是减函数,且曲线y=/（尤）存在对称中心

C./（x）在上是增函数,且曲线卜=/（尤）存在对称轴

D./（X）在（-M）上是增函数,且曲线y=/（x）存在对称中心

一一111

8.已知a,6是两个不共线的单位向量，向量c=/la+〃6(eR).“力>0,且

〃>0”是“>@+可>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知函数/x=JIgx=X2-4X-4,设beR,若存在aeR,

[ln(x+l),xe[0,+(x))

使得/(a)+g(b)=0，则实数6的取值范围是()

A.[-1,5]B.(-oo,-l]U[5,+oo)C.[-1,+<»)D.(一°°,5]

10.如图，水平地面上有一正六边形地块/BCD斯，设计师规划在正六边形的顶点

处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板4耳£。与不若其

中三根柱子BB},CG的高度依次为12m,9m,10m,则另外三根柱子的高度之和

A.47mB.48mC.49mD.50m

二、填空题(本大题共5小题)

11.在-的展开式中，x的系数是.

12.已知函数〃x)=sin(x+9)(e>0),=则夕的一个取值

为.

13.北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万

宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道

路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学

欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故

宫的概率为.

14.已知抛物线C./=8x①则C的准线方程为；②设C的顶点为O,焦点

为尸.点尸在c上，点。与点尸关于y轴对称.若0尸平分/尸尸。，则点尸的横坐标

为.

15.一般地，对于数列｛%｝,如果存在一个正整数心使得当〃取每一个正整数时，

都有%+,=%,那么数列｛%｝就叫做周期数列，t叫做这个数列｛%｝的一个周期.给出

下列四个判断：

①对于数列｛%｝,若qe｛l,2｝(i=l,2,3,-.),则｛叫为周期数列；

a

②若｛%｝满足：。2n=。2〃+2,2n-\=a2„+1(MeN*),则｛%｝为周期数列；

③若｛。“｝为周期数列，则存在正整数“，使得旧|＜河恒成立；

④已知数列｛%｝的各项均为非零整数，S“为其前”项和，若存在正整数使得

恒成立，则｛%｝为周期数列.

其中所有正确判断的序号是.

三、解答题(本大题共6小题)

1AbV10,V10

16.在“8c中，一=--,cosZ=------'

a510

(1)求证“BC为等腰三角形；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使“3C存在且唯

一，求6的值.

兀.

条件①：/B=j条件②：03c的面积为1彳5；条件③：边上的高为3.

17.“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.

某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周

参加课后活动的时间(单位：小时)，分别位于区间[7,9),[9,11),[11,13),

[13,15),[15,17),[17,19],用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每

个学生参加课后活动的时间相互独立.

[频率/组距

0.200r--------------------1—I

0.125-------------------

0.075----------------

0.050------------

。必上「卜卜十士一卜！»

O「791113151719时间/1、时

(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13,17)的概率；

(2)从全校学生中随机选取3人，记J表示这3人一周参加课后活动的时间在区间

[15,17)的人数，求J的分布列和数学期望£传)；

(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的众数、中位数、平均数的估计值分别为

。，b,c,请直接写出这三个数的大小关系.(样本中同组数据用区间的中点值替

代)

18.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面/BCD是菱形，PD_L平面48CD,平面尸4B_L

平面尸4D,E为尸/中点，PD=AD=2.

⑴求证：/2_1平面力。；

(2)求直线DE与平面尸3c所成角的大小；

(3)求四面体PEBC的体积.

22

19.已知椭圆C:=+4=l(a>6>0)的右焦点为尸，左、右顶点分别为48,

ab

\AF\=2+43,\BF\=2-43.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设。是坐标原点，是椭圆C上不同的两点，且关于x轴对称，E,G分别为线

段。河,〃3的中点，直线AE与椭圆C交于另一点“证明：D,G,N三点、共线.

20.已知函数/(x)=e*-cosx.

⑴求曲线y=〃尤)在点(OJ(O))处的切线方程;

⑵设g(x)=M，(x)-/(x),证明：g(x)在(0,+e)上单调递增；

⑶判断37g1与44力的大小关系，并加以证明.

21.给定正整数N23,已知项数为加且无重复项的数对序列/：

(尤1，乂)，(程％)，…，(尤,“，％,)满足如下三个性质：①x”%©{1,2,…,N},且

x产片。=1,2,…,机)；©x/+1==；③(“q)与(见。)不同时在数对序列/中.

(1)当N=3,优=3时，写出所有满足占=1的数对序列/；

(2)当N=6时，证明：机413；

⑶当N为奇数时，记加的最大值为7（N）,求7（N）.

答案

1.【正确答案】C

【详解】由题意，易得为/={x|24x<4}.

故选：C.

2.【正确答案】D

【详解】因为z（l+1）n,所以“号=湍尚

所以，="，•

故选：D

3.【正确答案】D

【详解】对于A：当。=1,6=-1时满足。>6,但是故A错误;

ab

对于B：当。=兀，6」时，满足。>b,但是tan。=0<tan/)=故B错误;

63

对于C：当a=1,6=0时，满足Q>b,但是3—〃=2—6故C错误;

x2,x>0

对于D：因为/(x)=MR=,所以/（X）在R上单调递增,

-x2,x<0

又a>b,所以/（〃）〉/伍），即丽>州,故D正确.

故选：D

4.【正确答案】C

【详解】因为$5=5（"；%）=5==15,所以。3=3,

又出+%=2%=6,所以%1七区J=9,

当且仅当%=%=3时取等号，

所以电•4的最大值为9.

故选：C

5.【正确答案】D

22

【详解】因为双曲线c的一个焦点是片（0,2）,设双曲线方程为、啧=1（°,6>0）,

则双曲线的渐近线为y=±@x,

b

c=2a=V3

2

所以，解得<b=l，所以。的方程是匕-/=i.

b3

c=2

c=yja2+b2

故选：D

6.【正确答案】A

【详解】因为圆C:f+2尤+/一1=0,圆心为C(一1,0),半径为厂=收，即

\CA\=\CB\^s/2

因为V/3C为直角三角形，所以|A8||C5|2+|CZ4|2=2,

\-m-n\m+n

设圆心c(-l,o)到直线mx+〃(y-l)=0的距离为d,d=

，加2+几2J机2+〃2

.______-yyi+“I

由弦长公式\AB\=2yjr2-d2得d=1,所以/=1，化简得加〃=0.

yjm+n

故选：A.

7.【正确答案】D

【详解】由户>0得(x+l)(x-l)<0,解得一1<X<1,所以“X)的定义域是(-1,1)，

1—X

/(x)=ln[|=ln'-(l-x)+2

、1-x

>=-1+」一在(一1,1)上单调递增，y=lnx在(0,+8)上单调递增,

1-X

根据复合函数单调性同增异减可知/(X)在(-1,1)上是增函数,

/(-x)=ln^-^=ln1+x

…三=一小)，

1-xI

所以/(X)是奇函数，图象关于原点对称，即D选项正确.

故选：D

8.【正确答案】A

【详解】当彳>0,且〃>0时,

2

C-(Q+B)=(苏+(a+b^=Xa+0+〃/■+应2=4+〃+)cos..)

>2+/z-(2+//)=0,充分性满足;

当c.(a+5)>0时,

+可=4+〃+(%+〃)cos«])，当丸〉0,〃=0时,

C.(Q+B)=4+4COS,5)是可以大于零的,

即当。•(。+6)>0时，可能有％>0,4=0,必要性不满足,

故“4〉0,且4>0”是0+杨〉0”的充分而不必要条件.

故选：A.

9.【正确答案】A

卜

k4可

TX孙

+a1\

【详解】因为〃x)=+1H/G+作出函数y=/(x)的图象，如图所示,

ln178

所以当xe(-8,0)时,/(%)>/(-1)=-1;

当xe[O,+⑹时，/(x)>/(O)=O,可函数/(尤)的值域为[T+◎，

设beR,若存在aeR,使得〃a)+g(6)=0成立，即/⑷=-g(b),

只需—g(b)N-l,即对于6eR,满足+46+42-1成立，即"YbWO,

解得-1W6V5,所以实数6的取值范围为[T5].

故选：A.

【详解】依题意可知4,昂G，4昂片六点共面,

设正六边形/8CDEF的中心为0,连接AD,BE,CF,

OQ，平面ABCDEF且ae平面4月G2&G，

依题意可知42,8闽,G耳相交于a,

连接/c交05于G,连接4G交于G1,

根据正六边形的性质可知四边形/8C。是菱形，所以/C,03相互平分,

则4q，a片相互平分，根据梯形中位线有G。=*℃=叱。a

即曾=乎。心13,

在梯形3EE圈中，。是BE的中点，则a是与&的中点，

所以EE]=2。。1—8与=26—9=17,

同理可得。〃=26—12=14,@=26—10=16,

所以DR+EEi+FR=17+14+16=47m.

故选：A

户.E\

11.【正确答案】-5

【详解】二项式(4-J5展开式的通项为=q(6广]-5'=(-iy

(0<r<5^reN),

5-3ri

令了=1,解得r=l,所以《=(-l)yx=-5x,

所以x的系数是-5.

故-5

7T

12.【正确答案】y(答案不唯一)

【详解】=小】«-/9卜m'+d，

]V3刀,

BP--cos^?+-^-sin^=cos^z?,解得tan0=6,

兀

•二。〉0,(p=—+ku9左£N.

二"的一个取值为三jr.

故三(答案不唯一).

13.【正确答案】1

【详解】设11个重要建筑依次为。，仇c,d,e,7,g,Q；),3其中故宫为〃，

从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个有：

(a,b,c),(b,c,d),(c,d,e),(d,e,f),

(e/g),(f,g,力),(g,A。",，,/),共9种情况，

其中选取的3个中一定有故宫的有：(6,c,4),(c,d,e),(d,eJ)共3种，

31

所以其概率尸=,=].

故答案为.g

14.【正确答案】x=-22

【详解】抛物线/=8x,2P=8,]=2,所以准线方程为x=-2,焦点尸(2,0),

设尸加，则。

由于P0/x轴，。尸平分/尸FO,所以NPQF=NPFQ,

222

所以|尸。|=|尸尸|，即匚X2=L+E=L+2,»=i6,

8828

所以尸的横坐标为:="=2.

88

【详解】对于①，若｛叫为：1,2,1,1,1,2,2,1,1,2,1,2,2,2,...,满足题意，但是数列｛%｝不

是周期数列，故①错误；

对于②，由&"=。2"+2，a2„-l=。2"+1(»eN*)可知，

。2=a4,>a\="3，“4=06，。3=。5，°6=06，05=。7，

即数列｛4｝的偶数项都相等，奇数项都相等，

所以当:2时，能使得当"取每一个正整数时，都有0“+,=%,

故数列｛4｝为周期数列，故②正确；

对于③，若｛%｝为周期数列，不妨设周期为乙(“oNl/oeN*),

所以数列｛%｝中项的值有/个，即数列｛%｝中的项是"。个数重复出现,

故存在正整数W,使得同|<M恒成立，故③正确；

对于④，取数列｛%｝为首项2,当“22时，

2,77=1

即a„=<

（-1）〃,让2'

则当"为奇数时，S.、=2,当"为偶数时，工=3,取M=4,

则恒成立，但｛%｝不为周期数列，故④错误.

故②③.

16.【正确答案】(1)证明见解析

(2)所

【详解】（1）在。中，2==设a=5m,b=,

a510

根据余弦定理/=〃+/一2bccosA,得25m2=1Om2+c2-2cxVlOmx—，

10

整理得c之一2加c-15加之=o,因为c〉0,解得c=5加,所以Q=。，

所以段为等腰三角形.

（2）若选择条件①：若乙8==,由（1）可知。=。，及//=/C=当，

612

by,5兀，兀兀、兀兀.兀.兀V6-V2

所以COST4=cos—=cos—+—=cos—cos—sin-sin-----------丰-----,

12（46J4646410

所以zUBC不存在.

若选择条件②：在AA8C中，由cosN=4^°nsiiL4=封国，

1010

由（1）a-5m,b=V10m,m>0,

诉|、JC1,.,1I77T3A/fO-1515

所以5jnr=—besir\A=—x71amx5mx------=-m2=一，

^ABC221022

解得冽=1,即b=V10,

若选择条件③：在小5C中，由边上的高为3,得加iM=3,

由cosZ==siih4=3^^,解得6=V10.

1010

17.【正确答案】（1）0.65

（2）答案见解析

（3）c<b<a

【详解】（1）参加课后活动的时间位于区间［13,17）的概率夕=（0.125+0.200）x2=0.65.

（2）活动的时间在区间［15,17）的概率P、=0.200X2=0.4,

4的可能取值为0,123,

3

P(g=o)=(1-0.4)=0.216,p(J=1)=C；.0.4x0-0.4『=Q432,

MJ=2)=C>0.42x(l-0.4)=0.288,?(J=3)=0.4,=0.064.

故分布列为：

自0123

P0.2160.4320.2880.064

£,(^)=0x0,216+1x0.432+2x0.288+3x0.064=1.2

(3)众数为：a=16；

(0.025+0.050+0.075)x2=0.3<0.5,

(0.025+0.050+0.075+0.125)x2=0.55>0.5,

贝ij伍-13)x0.125=0.5-0.3=0.2,6=14.6；

c=8x0.025x2+10x0.050x2+12x0.075x2+14x0.125x2+16x0.200x2

+18x0.025x2=14,

故c<6<a

18.【正确答案】(1)证明详见解析

(2)30°

2

⑶§

【详解】(1)因为尸。=4D,E是尸4的中点，所以DELP/,

由于平面尸N3_L平面P/D且交线为P4,Z)£u平面所以。E_L平面P/3,

由于48u平面尸48,所以。

由于尸。_L平面NBC。，N3u平面/BCD,所以尸。_L,

由于。£口尸。=。,。瓦尸。^^平面尸/。，所以/B_L平面PAD；

(2)因为/8_L平面尸ND,ABI/CD,所以CD_L平面

4D,尸Du平面P4D,所以CQ_L4D,CD_LPD,而尸。_L平面/BCD,

NZ),CDu平面/BCD,所以尸。，CD,

由此以。为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

则0(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),)(1,0,1),

所以Q=(2,0,0),CP=(0,-2,2),瓦=80,1),

设平面P3C的法向量为记=(x,y,z),

m-CB=2x=0(、

则一，故可设玩=0,1,1,

m-CP=-2y+2z=0

设直线DE与平面尸3c所成角为a,

m-DE]£

则sina=

\H\-\DE\72x722

由于0。4a490。，所以a=30°,

所以直线DE与平面PBC所成角的大小为30。.

（3）因为而=（-1,0,1）,

所以点E到平面尸8c的距离d==7=一

\m\<22

由于PD_L平面4SC。，BCu平面48CD,所以尸DLBC,

由于PCD,所以8C_L平面PCD,

由于尸Cu平面尸CD,所以8C_LPC,

所以四面体尸E3C的体积％△出c-d=」xLx2x20xYZ=2.

33223

丫2

19.【正确答案】⑴二+》=1

（2）证明见解析

【分析】（1）由题意得|/F|=2+g=a+c,附|=2-后=a-c,结合平方关系即可得

解.

（2）由题意不妨设M（%〃）,N（私-〃）,4（-2,0）,3（2,0）。（0,0）,则

n

“件£|《等，£|，将直线NE的方程y=+（x+2）,与椭圆方程联立，结合韦

7+2

达定理得点。坐标，要证2G,N三点共线，只需证明“G=%。即可，在化简时注意利

用=4-毋，由此即可顺利得证.

【详解】（1）由题意|/司=2+g=a+c,阿卜2-占=a-c,

所以a=2,c==J4—3=1,

2

由题意不妨设M（7〃,〃）,N（叽-〃）,/（-2,0）,3（2,0）,0（0,0）,其中？+〃2=1,（加±±2）,即

4H2=4-m2,

n

mn77?+21+，t、上心、pi-t、r

f92(x+2),

则E,,G~^~2且直线ZE的万程为＞=

72r2

X22.

1+y=1

将其与椭圆方程二+/=1联立得v

n

4(x+2)

y二----

m+4

216/16/

4H2

消去》并化简整理得1+x+•X

(m+4)2-m-+-4-)2+

16n2

-4

(加+4)2164-4(m+4)2

由韦达定理有xx=X

AD-2D=4/4n2+(m+4)2

1+

(m+4)2

-8n2+2（m+4）2

所以和=病+（：+4）z'

nn4〃(加+4)

(尤D+2)=

m+44/+(加+4)2

-Sn2+2(m+4)24n(m+4)、

即点。

An2+(m+4)24H2+(m+4)2J

4n(m+4)

3n+n

4n2+(m+4)2

23n4〃侬+43+4j+4/

而“G='c

]_坐2—m-8w2+2(m+4)2-8n2+2(m+4J-m侬+4^-4n2m

-T

An2+(m+4)2

4〃(加+4)+〃(加+41+4及g—加2)[2〃(加+3)3n

(2—加)(m+4)2-(4—加2)R+加)4(2-m)(m+3)2-m

所以2G,N三点共线.

20.【正确答案】(i)v=x

(2)证明见解析

(3)3/1卜4/2],证明见解析

【详解】(1)因f\x)=e，+sinx,所以/(0)=0/(0)=1,

所以曲线尸在点(0J(0))处的切线方程为kx.

(2)由题设，g(x)=x(ex+sinx)-(ex-cosx)=(x-l)ex+xsinx+cosx,

所以g'(x)=%(e"+cosx).

当x>0时，因e"+cosx>e°+cosx=1+cos%20,所以g'(x)>。,

即g(x)在(0,内)上单调递增，故得证.

(3)证明如下：

设h(x)=企,X6(0,+8),则〃'(x)==g(x),

XXX

由(2)知g(x)在(0,M)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0,则l(x)>o,

即〃(X)在(0,+oo)上单调递增，

故尺)>力(；)，即得证.

21.【正确答案】(1)/:。,2),(2,3),(3,1)或/:(