2024-2025学年高三数学立体几何（原卷版）

立体几何

题型01空间几何体的有关计算

题型02点线面位置关系、空间角及距离

题型03内切球、外接球问题

题型04空间向量

空间几何体的有关计算

1.（2024•山西晋城•统考一模）若一个正〃棱台的棱数大于15,且各棱的长度构成的集合为

{2,3},则〃的最小值为,该棱台各棱的长度之和的最小值为.

2.（2024•浙江•校联考一模）已知圆台的上下底面半径分别是1,4,且侧面积为10兀，则该圆台的

母线长为.

3.（2024•安徽合肥•合肥一六八中学校考一模）球O的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的

表面积也相等，则圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为,球。的体积与圆锥M的体积的比

值为.

4.（2024•湖南长沙•雅礼中学校考一模）已知圆锥的母线长为2,则当圆锥的母线与底面所成的角

的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为.

5.（2024•广东深圳•校考一模）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的

底面，且与底面的距离为百的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆

台的体积之比为.

6.（2024•辽宁沈阳•统考一模）正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至

少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1,则该正方体的棱长为（）

A.V2B.eC.2D.75

7.（2024•云南曲靖・统考一模）为努力推进“绿美校园”建设，营造更加优美的校园环境，某校准备

开展校园绿化活动.已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，圆台两底面直径分别为18厘

米，9厘米，母线长约为7.5厘米.现有2000个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共

需要营养土约为（）（参考数据：兀。3.14）

A.1.702立方米B.1.780立方米

C.1.730立方米D.1.822立方米

8.（2024•新疆乌鲁木齐•统考一模）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为

40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，则（）

A.该几何体的顶点数为12

B.该几何体的棱数为24

C.该几何体的表面积为（4800+800^）cm2

D.该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项

9.（2024•山西晋城•统考一模）如图，在正四棱柱MCD-4301。中，4B=2,AAt=4,

QE=3EC,平面/BE将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为。上，下部分对

应的几何体为。下，则（）

A.。下的体积为2

B.。上的体积为12

C.。下的外接球的表面积为97r

D.平面/BE截该正四棱柱所得截面的面积为

|题型02|

点线面位置关系、空间角及距离

10.（2024・河北•校联考一模）已知直线/、m、〃与平面a、（3,下列命题正确的是（）

A.若（z//£,lea,nu0,则”/〃B.若eJ_〃，lea,则/

C.若/_L〃，mA.n,则〃D.若/_L（z,1//0,则aJ■分

11.（2024•浙江•校联考一模）已知直线和平面,则"a〃"是"。?a"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.（2024•广东深圳•校考一模）已知a,万是两个不同的平面，小，〃是两条不同的直线，则下

列说法正确的是（）

A.若机_L",mLa,nV/3,则（z_L/7B.若mHn,mlla,〃///?,则a///?

C.若％_L〃，mlla,a工B,贝！|〃_L/D.若m11n,mVa,aV13,则〃〃万

13.（2024•吉林白山・统考一模）正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长

A.直线/E与CF是异面直线B.平面48尸_1_平面ABE

C.该几何体的体积为（亚D.平面/BE与平面DCF间的距离为城

3

14.（2024•河南郑州•郑州市宇华实验学校校考一模）如图，在四棱锥中，尸/_L平面

ABCD,PA=AB=2,/BAD=120°,AC1BD,Z\BCD是等边三角形.

B

⑴证明：平面尸4D_L平面尸CD.

⑵求二面角8-PC-D的正弦值.

15.(2024•辽宁沈阳•统考一模)如图，在三棱锥/-BCD中，平面4BC/平面3c。，且

BC=BD=BA,NCR4=/C8D=120°,点尸在线段“C上，点。在线段CO上.

(1)求证：AD1BC；

BP

(2)若/C,平面3尸。，求就的值；

BQ

⑶在(2)的条件下，求平面”。与平面尸3。所成角的余弦值.

16.(2024・重庆•统考一模)如图，四棱锥尸-/BCD中，P/工底面/3C。，四边形48co中,

AB=AP,AB±AD,AB+AD=6,CD="ZCDA=45°.

(1)若£为尸8的中点，求证：平面P8C2平面NAE；

(2)若平面P/B与平面PCD所成的角的余弦值为好.

6

(i)求线段N8的长；

(ii)设G为△尸40内(含边界)的一点，且,求满足条件的所有点G组成的轨迹的长

度.

17.(2024•云南曲靖•统考一模)在图1的直角梯形/BCD中,

//=/。=90。,/2=3。=2,"?=3,点E是。C边上靠近于点。的三等分点，以8E为折痕将

△3CE折起，使点C到达G的位置，且/G=",如图2.

图1

（1）求证：平面平面

（2）在棱上是否存在点P,使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长

度，若不存在说明理由.

18.（2024•云南曲靖•统考一模）如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱

的中点，过直线的平面分别与棱交于点，以下四个命题中正确的是

)

A.四边形一定为菱形

B.四棱锥体积为

C.平面平面

D.四边形的周长最小值为4

19.（2024•山东济南•山东省实验中学校考一模）如图，在四棱锥P-48CD中，P4_L平面

ABCD,P8与底面/BCD所成的角为，底面/BCD为直角梯形，

，点E为棱上一点，满足,下列结

论正确的是（）

A.平面平面PCD；

B.在棱上不存在点£,使得平面P4B

C.当时，异面直线与N3所成角的余弦值为；

D.点P到直线C。的距离百；

20.（2024•新疆乌鲁木齐•统考一模）如图，在四棱锥中，底面48。为正方形，PA1

平面48CD,，点、E,尸分别是棱的中点.

⑴求直线与平面所成角的正弦值；

（2）在截面内是否存在点G,使平面，并说明理由.

21.（2024•山西晋城•统考一模）如图，尸是边长为2的正六边形所在平面外一点,

的中点为P在平面内的射影，

⑴证明：平面

（2）若，二面角的大小为，求

22.（2024•河南郑州•郑州市宇华实验学校校考一模）如图，在正方体48co-44中，点尸是

的中点，点。是直线上的动点，则下列说法正确的是（）

A.是直角三角形

B.异面直线与所成的角为

C.当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值

D.平面平面

23.(2024•浙江•校联考一模)在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三

角形，点是线段的中点，

(1)证明：平面；

(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.

24.(2024•广东深圳•校考一模)如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的

等边三角形，为圆弧N8的两个三等分点，£是的中点.

(1)证明：平面

⑵求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

25.（2024•广西南宁•南宁三中校联考一模）在如图所示的五面体中，共面,

是正三角形，四边形43CD为菱形,平面，点为

中点.

（1）证明：平面；

⑵已知，求平面与平面所成二面角的正弦值.

26.（2024・安徽合肥・合肥一六八中学校考一模）如图，菱形N3CD的对角线4C与交于点

,，点£,分别在，CD上，，交于点，将沿

折到位置，

⑴证明：平面/BCD；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值.

27.（2024•安徽合肥•合肥一六八中学校考一模）设表示两条直线，a、尸表示两个平面,

则下列命题正确的是（）

A.若,,贝UB.若，,则

C.若,贝IJD.若，，则

28.（2024•吉林延边•统考一模）已知三棱柱,侧面是边长为2的菱形,

,侧面四边形是矩形，且平面平面点。是棱的中点.

⑴在棱NC上是否存在一点£,使得平面,并说明理由;

⑵当三棱锥的体积为6时，求平面与平面夹角的余弦值.

29.(2024•黑龙江齐齐哈尔・统考一模)如图1,在平面四边形中，,

.点E是线段上靠近尸端的三等分点，将沿折成四棱锥

P-ABCD,且，连接，如图2.

⑴在图2中，证明：平面；

(2)求图2中，直线与平面所成角的正弦值.

30.(2024・重庆•统考一模)如图，在边长为1的正方体/BCD-中，E是的中点,

是线段上的一点，则下列说法正确的是()

A.当点与点重合时，直线平面

B.当点移动时，点。到平面的距离为定值

C.当点与E点重合时，平面与平面夹角的正弦值为

D.当点为线段中点时，平面截正方体4BCD-44GA所得截面面积为

31.（2024•福建厦门•统考一模）如图，在四棱锥中，，

，，平面48CD,过点作平面

（1）证明：平面平面；

⑵已知点尸为棱的中点，若，求直线与平面所成角的正弦值.

32.（2024,吉林延边・统考一模）如图，在多面体中，底面48co是边长为友的正方

形，平面N8。，动点尸在线段上，则下列说法正确的是（：

A.

B.存在点P,使得平面

C.三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是

D.当动点P与点重合时，直线与平面所成角的余弦值为

33.（2024・福建厦门•统考一模）如图所示，在五面体中，四边形/BCD是矩形,

和均是等边三角形，且，，则（）

A.平面ABCD

B.二面角随着的减小而减小

C.当时，五面体的体积最大值为

D.当时，存在使得半径为的球能内含于五面体

内切球、外接球问题

34.（2024•黑龙江齐齐哈尔•统考一模）已知四面体/BCD的各个面均为全等的等腰三角形，且

.设£为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（）

A.

B.四面体48CD的体积为

C.当时，点E的轨迹长度为

D.当三棱锥的体积为时，点E的轨迹长度为

35.（2024•吉林白山・统考一模）在四面体Z-8CD中，,,且满足

,,.若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积

为.

36.（2024•吉林延边•统考一模）已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为火的

扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球的表面上，则球的体积为.

37.（2024•河南郑州•郑州市宇华实验学校校考一模）已知正三棱柱的底面边长为2,

以为球心、百为半径的球面与底面的交线长为，则三棱柱的表面在球内

部分的总面积为.

38.（2024•江西吉安・吉安一中校考一模）已知球的直径，，，C是球球面上的

三点，是等边三角形，且，则三棱锥的体积为（）

A.B.C.D.

39.（2024•湖南长沙•雅礼中学校考一模）如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，

。是尸8的中点，£是CO上的动点，则下列说法正确的是（）

A.直线/E与尸8所成的角为

B.的周长最小值为

C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为

D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为

40.（2024•江西吉安•吉安一中校考一模）如图，在正三棱锥中，有一半径为1的半球,

其底面圆。与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切.设点。为8C的中点，

⑴用a分别表示线段BC和PD长度；

（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小