2024-2025学年湖南省高三年级上册第二次大联考（11月）数学检测试题（含解析）

2024-2025学年湖南省高三上学期第二次大联考（11月）数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

设集合4={M-4WXW0},5={X—3WXW1},

1则集合AcB中所含整数的个数为

A.2B.3C.4D.5

3-i

z=-------

2.已知l+2i,则彳的虚部为（）

7_7J

A.5B.5C.5D.5

3.“2025。＞2025“W1”是“Y＞/”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

sin（＜9+100）=-^贝°sin（29+110°）=（）

7J__£_7

A.8B.8C.8D.§

5.经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会

与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范

围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，

实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A,3,通过

数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为

S，=（4,3）,SB=（2,10）,设光子B相对光子A的位移为8,则8在力上的投影向量的坐标

为（）

A.GWB.（-2,7）c,1石'刃D,而石）

6.已知等差数列｛"」的前一项和为S",公差为"吗=2,若庖F也为等差数列，则

d的值为（）

A.2B.3C.4D.8

X+1

/（x）=In-------F2x（mw1）

7.已知函数x+m关于点（"，4）中心对称,则曲线7=/（功在点（〃一%,

/（"-M）处的切线斜率为（）

17313

A.4B.4C.8D.8

兀

bcosC*+ccosB—2^4—-_

8.中，角A,B,C所对的边分别为a,6,c,且一'一3,则

△N8C的内切圆半径的最大值为（

V2V3V3

A.2B.3c.TD.1

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知正数X）满足2x+y=l,则（）

14

-+->12

A.&孙（1B.xy

4/+/>1x(y+l)<-

C.’2nv74

10.三棱台4sC-4耳G中，"8=2/4,设AB的中点为凡,4的中点为尸，4月与BF

交于点G,4c与C,F交于点H,则（）

A.直线GH与直线异面

nGH//BC.

C.线段AE上存在点尸，使得8C"/平面4PC

D.线段BE上存在点尸，使得2C"/平面//。

11.设函数/（x）=e-〃x+/,〃eN+,记的最小值为见，则（）

Aa\>a「2gan>n+\

C./（"〃）>/（〃）D,an+m>an+am

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知命题：“V无eR,*一6-2<0”为真命题，则。的取值范围是.

13.已知P为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则方•刀的取

值范围是.

14.三棱锥尸一/BC中，AB=AC=42,AB±AC平面尸2cL平面/8C,且心=尸聂

2_j_

记尸一/5C的体积为V,内切球半径为小则7一万的最小值为

四、解答题(本大题共5小题)

15已知函数/(x)=Gsin2x+cos2x,x£(0,兀)

(1)求“X)的单调递减区间；

71

----,771

(2)若“X)在L12」上的最小值为-2,求加的取值范围.

16.记首项为1的数列包｝的前〃项和为S",且犯=(〃+1)。”.

(1)探究数列J是否为单调数列；

(2)求数列也2"｝的前"项和入

17.如图，四棱柱一4片GA中，四边形ABCD是菱形，四面体42CQ的体积

与四面体的体积之差为244瓦)的面积为2石.

(1)求点A到平面48。的距离；

(2)若48=4248'4G，m=2,求锐二面角4-B0-G的余弦值.

一

f(x)=——+ax-ax\nx/

18.己知函数2在Q+°°x)上有两个极值点勾尤2,且占<包

(1)求。的取值范围；

—e(l,e)

⑵当再时,证明2<elnX]+ln12<e+l

mtn

—m—\

对于"@7=2,3,…)项数列｛%｝,若满足f同-豆

19.z=li=l则称它为一个满足

“绝对值关联”的加阶数列.

(1)对于一个满足“绝对值关联”的机阶数列证明：存在，"e｛L2,…,加｝,满足

aflj<0

(2)若“绝对值关联”的加阶数列3"｝还满足.归M=12'r"),则称也｝为“绝对值

X关联”的机阶数列.

3

①请分别写出一个满足“绝对值a关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数

列（不必论证，符合要求即可）；

②若存在“绝对值2关联”的〃阶数列（“22）,求几的最小值（最终结果用常数或含

〃的式子表示）.

答案

1.【正确答案】C

【分析】根据集合的交集，可得答案.

【详解】由题意可得,={*一1叫,8={》-3""可得/门8={尤1-34》40},

故集合/cB中所含整数有-3,-2,-1,0,共4个.

故选：C.

2.【正确答案】A

【分析】求出z,求出彳，求出彳的虚部.

3-i(3-i)(l-2i)3-2-i-6i17.

Z——~-1

【详解】由题意可得1+2i(l+2i)(l-2i)555,

_17.7

z——l—i—

故55,其虚部为5.

故选：A.

3.【正确答案】A

【分析】根据指数函数的单调性以及幕函数的单调性，结合充分不必要条件，可得答案

【详解】由2025°>2025"21,且函数歹=2025”为增函数，可得。>620,

令函数〃幻=/，易得/(x)单调递增，故当。>此0时，一定有故充分性成立;

但由/只能推出。>以即必要性不成立；

故"2025”>2025b1”是“/”的充分不必要条件.

故选：A.

4.【正确答案】A

【分析】根据诱导公式结合二倍角公式求解即可.

sin(0+10")=」

【详解】由题意可得,,4,

故sin(26+110°)=sin(90°+26+20°)=cos(26+20°)=1-2sin2(6>+10°)

故选：A.

5.【正确答案】C

【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.

［详解］由向量力=(43),SR=Q,1。),可得<=23=Sp-力=(2,10)-(4,3)=(-2,7),

8力力.21-8s-13(5239)

_rU同一丁,二一三43)-0,刘

所以s在S”上的投影向量为IdMl.

故选：C.

6.【正确答案】C

【分析】根据等差数列通项公式的函数特点，结合等差数列的求和公式，可得答案.

1

Sn—an=—n+\2--d\n+d-2/VT-

【详解】易知2I2J，若4»"一。"也为等差数列，

-n2+(2--d}n+d-2[2--d\-2d(d-2)=0

则2<2)为完全平方，则I2J,解得d=4.

故选：C.

7.【正确答案】D

【分析】由题意结合函数图象变换整理新函数，利用对称性可得其奇偶性，根据导数与

切线斜率的关系，可得答案.

【详解】因为“X)关于点(％对中心对称，

g(x)=/(x+〃)-4=Ind"+2x+2〃-4

所以函数x+m+n为奇函数，

,x+3

y=In-----------

贝(j2"_4=0,即〃=2,且x+加+2为奇函数，所以加+2=-3,解得加=-5,

f(x)=Inx+1+/(x)=2------------------/⑺="

故八)x-52x,〃一加=7,且/(x+D(x-5),故切线斜率为)8.

故选：D.

8.【正确答案】B

._坐)be

【分析】先计算出。，然后利用面积公式计算出‘-22+b+c,再利用余弦定理和基

本不等式计算出M4,最后计算出r的最大值.

【详解】设的内切圆半径为r,由题意可得bcosC+ccosB=2,

-J'/+c—2/$一/十万+C?-/

由余弦定理可得2ab2ac2a2a

百be

S^ABC=—6csin=—(«+/>+c)r

而22故22+6+c,

由余弦定理可得«2=b2+c2-2bccosA,则4=/+c?一儿26c,当且仅当方二0时等号成

立，

而4=(b+cP_3bc,则6+c=J3加+4,其中beW4,

A/3beA/3be

y-..----------------

故22+b+c22+j36c+4,

令j3bc+4=«2</W4)故62+f63

故选：B

9.【正确答案】AC

【分析】对于选项A：利用基本不等式即可判断；

对于选项B：利用“1”的妙用，即可判断；

对于选项C：利用基本不等式即可判断；

对于选项D：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断；

【详解】对于选项A：因为2x+y=122声亍，则刈气，当且仅当2x=y,

11

x=一,y——

即42时取等号，故选项A正确；

14,14、­、/l8xy,.rr

对于选项B：xyxyyxx,

-=z旦)丫=2益

当且仅当>以即工=2•时取等号，故选项B错误；

xy<—4x2+y2=(2x+y)2-4xy>l-4x—=—

对于选项C：由选项A可知8,所以82,

11

。x=一=-

当且仅当2x=y,即42时取等号，故选项c正确；

~-2

/1、J/1、/12x+0+l)1

x(y+1)=—•2x(y+1)<—•--------------=—

对于选项D：因为2212」2,当且仅当2x=1+l,即

x=—,y=0x(y+1)<—

2'时取等号，这与x,y均为正数矛盾，故-2,故选项D错误.

故选：AC.

10.【正确答案】AD

【分析】A选项，根据线面关系，得到B,G,H三点不共线，直线GH与直线没

有交点，故两直线异面；B选项，/G:G8=1:2,但巨是FG的中点，

F"："G=1：2不成立，故B错；CD选项，取线段BF的中点°,连接4。交BE于点

p,可证得8G//平面4尸0,c错误，D正确.

【详解】如图所示，对于A,因为8瓦,平面8G尸,840平面8G尸=巴

故'耳与平面2G尸的交点为8,且是唯一的.又因为B,G,H三点不共线,

所以GH不经过点B,又GH1平面8CF,所以直线GH与直线84没有交点，

即直线GH与直线2片异面，故A正确；

对于B,因为AB的中点为区/4的中点为尸，所以点G是△4/8的重心，

FG:GB=1:2,若GHUBG,则尸〃：g=l:2,

而=彳起=2卬+就乖+2而)=24⑷

-3-1JAj1-•，

所以4”一定经过C尸的中点，故H是尸0的中点，FH:HQ=1:2不成立,故B错误;

对于CD选项，如图，取线段BF的中点0,连接4。并延长，交BE于点尸，

下证3〃平面4尸。：由H为C/的中点可知HQUBC^

又平面4尸平面&PC,所以8C"/平面4尸°,故D正确，C错误;

故选：AD.

11.【正确答案】BCD

【分析】利用导数思想来研究单调性和最值，再构造函数，通过求导来证明不等式，从

而来比较大小.

【详解】由题意可得/3=二一"，当xe(-oo,ln")时，/'(x)<OJ(x)单调递减，

当xe(ln〃,+8)时，/(x)>OJ(x)单调递增，所以“工)的最小值为"M”),

2

gpdn=f(1nn)=n+n-n\nn

a-2

对于A：4=2,1=6—21112,4—2_q=2_21n2>0,gp\<«2,故A错误;

对于B-设函数尸(无)=x2-l-xlnx,xeN+，尸'(x)=2x-lnx-l,

^(x)=2x-Inx-1,2r(x)=2--,x>1，/、C/、

设函数X时，则g(x)>°ng(x)单调递增，

故g(x)>g⑴=1>0=>L(x)>0nF(x)单调递增，

22

F(x)>F(l)=0^>n-l-n\nn>0^n+n-n\nn>n+\^an>w+1故B正确

对于C：易知〃>ln〃，又因为〃x)在xe(ln〃,+8)上单调递增，

故4111〃)</(〃)<〃〃+1)4/(%),故/(0)>/(〃),故c正确；

对于D.an+m-am-an=网>+也加一ln(〃+加)]+〃[加+111〃-+机)],

只需证明〃+lnzw-lnS+")>0即可，而〃+lnm=inenm,由e'>x+l(x"1)

易得men>+1)=加+mn>m+n^故〃+In加一ln(n+机)>0,

同理可得加+ln〃-ln(〃+")>0,故%+„.>%+%>,故D正确，

故选：BCD.

12.【正确答案】（TO】

【分析】先讨论。=°成立，然后讨论。二°时，利用二次函数的图像求解即可.

【详解】因为命题“VxeRw2-ax-2<°”为真命题，当。=o时，-2<0成立，

JQ<0

当。中0时，贝14=/+8"<°,解得一8<a<0,故。的取值范围是（-8,0],

故（-8,。]

13.【正确答案】[-8,24]

【分析】利用向量数量积的几何意义，等于动向量下在方方向上的投影长度与

存的模之积，这里的投影长度是有正负的，规定投影长度与方方向相同的为正数,

与否方向相反的为负数，然后找到端点位置去计算取值范围.

【详解】

-------»

根据正六边形的特征及投影的定义可以得到/P在方向上的投影长度的取值范围是

[-2,6]；

由数量积定义可知后•万等于方的模与后在方方向上的投影长度的乘积，

所以后.方的取值范围是[-8,24],

故答案为.-8,24]

14.【正确答案】V6+2/2+V6

2_2-+2+2J2/+1_2J2/+1+2+之

【分析】根据等体积法可得r一h~h，即可构造函数

利用导数求解单调性，’即可求解最值.

【详解】设三棱锥P-/8C的高为6,依题意，可取8C中点0,

连接。4OP,则OPLBC,

由于AB=AC=y[2,AB.LAC则BC=\[2AB=2

贝°0A=OB=OC=1,OP=h,

由于平面PBC，平面48C,且交线为5C,OP,8C,OPu平面BBC,

故。尸，平面尸5C,故PA=PB=PC,

-h-BC=h-OABC=1

则APBC的面积为2、4BC的面积2

由P4=PB=PC=VF+1可得APBA和^PAC的面积为

于是三棱锥尸-"BC的表面积为，2宣+1+a+1,

所以「hh

2_j_2123__________

~r~Vr1c,rh2d2/+1+232J2r+1—1

-S.„rh-----------------+2—;=-----------------+2

故

、2,2无2+-1

〃x)=-+--2-------------

设函数X,且无>0,

J2/+1—2

22

,,z、xyJlx+\+1+2)

则/(x)=

x<J：,/(x)<0J(x)

当单调递减,

V2,〃x）单调递增,

2=逐+2

/«>/

所以

V62_J_

所以,一2时，7一方取得最小值遥+2,

故展+2.

22〃+2+2A/2/+I2,2/+1+2

+2

关键点点睛：利用等体积法得到厂hh,构造函数

242/+1—1

/w=+2

x求导.

712兀

15.【正确答案】（1）1%T

271

⑵L3

【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简）（X）,结合正弦函数的单调性即可求得答案,

,兀71.71

2x+—€

(2)由已知确定636」范围，结合正弦函数的最小值可得

3兀，兀13兀

——<2m+—<——

266,即可求得答案.

/(x)=V3sin2x+cos2x=2sin[2x+；e(0,兀)

【详解】（1）由题意可得

兀_7i13K

Z=2x+—,xG(0,71)Z£6'~6~

令6，贝|]

7i13K71371

y=sinz,ze

6，-6~的单调递减区间是12'2

因为

71兀

gZ4型兀」,2兀2

—<x<——,所以〃）的单调递减区间是63

且由22,得63xL'

兀_7171_兀

XG——2xHG一,2〃？+一

(2)当12则636

71

—,Tn

2

因为/(x)在区间L'上的最小值为-2,

7T_71

一,2加+一

即^=$»12在136上的最小值为T,

7113兀兀,c13K

ZG37i

6，-6-——<2m+—<——,

又因为，所以266

2兀2兀

——<m<Ti,故加的取值范围为L3'

即3

16.【正确答案】（1）数列不是单调数列.

⑵北=（力-1）27+2.

【分析】（I）当“22时，利用%=S"-S"T,求出数列｛“■｝的递推关系式即可得解;

（2）利用错位相减法求和.

【详解】（1）由题意得2S"=（"+1）4,当“22时，2s“T=〃*

两式作差得2氏=(«+!>„(«-!)«„=na.i

ana„-l

所以»"T,则数列为常数数列,

无单调性，故数列不是单调数列.

2=幺=1

(2)由(1)可得〃1，所以凡=",故aj2%=〃-2".

所以。=>2+2-22+3"+…+〃.2",①

27；=1-22+2-23+3.24+•■•+(«-1)-2"+«-2"+1②

,,2。-2")

-7=2+22+23+---+2"-n-2"+1=-^-----^-«-2"+1=-2-(»-1)-2"+|,

①-②得1-2

所以小(1)2”+2・

17.【正确答案】(1)百

V2

⑵2

【分析】（1）连接AC交BD于点°,设四棱柱/8。。-4月。12的体积为%=5//,求

出四面体”近）4的体积，四面体442。的体积，证明四面体48Go的体积是四面体

的体积的两倍，求出点A到平面48。的距离；

（2）连接°4,证明四边形ABCD是菱形，证明NC,平面证明40,平面

ABCD,以点。为原点，0A为x轴，0B为》轴，为z轴，建立空间直角坐标系,

根据向量求出锐二面角4一*）一。的余弦值.

【详解】（1）如图，连接AC交BD于点°,

设四棱柱12四一4瓦GD的体积为忆=s〃（其中S为菱形ABCD的面积，〃为四棱柱

一的高），

所以四面体的体积为5$与"一%"

同理四面体448G的体积为2S'3h~~6V

又因为四边形ABCD是菱形，

AO=OC=^AC=^A1C1

所以

所以点A到平面4加的距离为点G到平面”①。距离的一半，

所以四面体42Go的体积是四面体的体积的两倍，即3r,

设点A到平面4BD的距离为d,

2=-V--V=-V=-d-243

贝Ij3663,

解得"=6；

0A

（2）如图，连接{

由得又四边形

481MBLNC,ABCD是菱形，

所以NC_Z,8Z）,又48n5D=8,48,H0u平面4区0,

所以4C_L平面4吗又4。u平面,叫

所以4O_L/C又4B=A[D,B0=BD

所以又8。八*7=0,80,/。（=平面人8©口

所以4°，平面ABCD,以点。为原点，0A为％轴，0B为夕轴，°4为z轴，建立如

图所示空间直角坐标系，

由（1）知展12,且"加的面积为S=26,

h=4M_2石

所以棱柱的高一丁一，而三棱锥耳一,8。的体积为2,

—x2^/3x一/Ox2=2r~

故32，故A0=6

所以。（0,0,0）,（?（-后,0,0）,8（0,1,0）,。（一2百,0,2道），

易得平面48°的一个法向量为oc=（-V3,o,o）（

设平面8CQ的一个法向量为G=（a，b，c）,

又砺=（0,1,0）,西=（-2瓜0,2肉,

«=0b二0

,元二°,即一

所以cic=0

\n-OQ#)V2

取〃=(1,0,1),故

V2

故锐二面角4-BO-G的余弦值为T.

18.【正确答案】（l）=e（e,+8）

（2）证明见解析

【分析】（1）求出了'（X）,分aWO、。＞0讨论可得答案;

In强

In石=——工

zxzx巡_]/--G(1,e)"+e|n(

(2)根据g(石六g(*2)=°,得再，令玉,得。山1+加工2="1,

/-It-\t-\

o,〕ii/72---<InZ<(e+1)----m(t)=]nt-2---

欲证2<61呻+1眸<6+1,即证f+ef+e,令函数t+e,函数

t-i

n(t)=(e+1)-----]nt,te(l,e),、„八„

f+e,只需证明砌)>0,"«)>0即可.

【详解】(1)易得“X)定义域为(Q+W.-lnx,

①当a4°时，/'(x)单调递增，不可能有两零点，不合题意.

，/、x-a

?(x)=--------

②当a>0时，令函数g(x)=/'(x),易得‘x,

故xe(0,a)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，xe(a,+8)时，g〈x)>0,g(x)单调递增，

当°Me时，有g(x)Ng(a)=a"lna)»O,不可能有两零点；

当a>e时，有g(a)<0,g⑴=1>0,

由零点存在性定理可得g(X)在区间。，4)必有一个零点%1.

g(")=Q("—21nq),令函数°(a)=q_21na,

,2'

(P(a)=1--->0(、

则a,即。(°)单调递增，

故?⑷>?(e)=e-2>0,即g(Y)>°,故g(x)在(%+8)上有零点％,

综上ae(e,”>)；

(2)依题意有且(石)=g(%)=0,即玉一。山石二%2—Qin/=0,

%2一%

二三--_=]口邃

故得111再lnx2Inx2-Inxxx1

111^

ln西=一^ln三

%一再不三一]七三e(l,e)

因此再，令再

1In,〔tintt+e.

Inx=---lnx=----i,[---In/

则t-1,同理9t-\,故可%+ln/=/_1,

nt<e+

欲证2<elnX|+lnx2<e+l,即证/+e<\+e；

m(t)=InZ-2---n(t)=(e+1)-~--InZ,?e(1,e)

令函数f+e,函数，+e,

只需证明〃9)>。，〃(，)>0即可,

0+e)2-2r(e+l)_(r-l)2+e2-l

m(t)=>0

2

又t(t+e)t(t+e)2

故加⑺是增函数，故加⑺＞31）=0,

又由仁尸

e2+1----t

2

ee2

A(?)=e2+1-----1h'(t)=~-l>0

令函数(,贝ijt,

故W)单调递增，故/)>人⑴=0,

,1

n⑺=--------72(0>0

因此«+e),故〃⑺单调递增，

故〃⑺>“(1)=0,故2<el叫+lnx2<e+l得证

/、1c，—1

=In%—2---

关键点点睛：第二问解题的关键点是令函数f+e,函数

n（t）=（e+1）----In?,/G（l,e）

f+e，只需证明加«）＞°，〃«）＞°即可.

19.【正确答案】（1）证明见解析

n-1.

----,〃=2s/*\

3333222-n(5GN)

,,，，-=2s+l

⑵①""一333-;②1

mm

£闻-n=0

【分析】（1）假设为2°或《4°,根据新定义可得

j=li=\即可证明;

（2）①根据新定义直接写出结果即可;

②设…，4-°，4+i，°左+2，…，%＜。，其中］«左＜〃,z=ii=k+\

n-1n-\n-1,,…n-1一

y=----,x>--------=y<(n-k)A.------<x<kA

根据新定义可得22；由2、2和不等式的性质

可得人\\分类讨论〃为奇、偶数即可.

【详解】（1）因为｛