2024-2025学年广东省东莞市高一年级上册期末考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省东莞市高一上学期期末考试数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员

进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的

情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法

中，最合理的是（）

A.抽签法B.按性别分层随机抽样

C.按年龄段分层随机抽样D.随机数法

2.下列与;的终边相同的角的表达式中，正确的是（）

4

A.2E+315。（左wZ）B.^-3600-45°（A:eZ）

C.h360°+彳（keZ）D,2E+g（后eZ）

3.角c的终边与单位圆O相交于点尸，且点尸的横坐标为g,则Jl-sin2a的值为

（）

A.33_4

B.--C.-D.

555

口C1

4.已知角0£（0,兀），且cos2a=一,则sina的值为（）

3

A..V6

B.—rD.

636

5.健康成年人的收缩压和舒张压一般为90〜139mmhg和60〜89mmhg,心脏跳动

时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上

的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值.设某人的血压满足函数

式尸⑺=115+25sin（1607if）,其中尸⑺为血压（mmhg）,，为时间（min）.给出以下结

论：

①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg②此人的血压在健康范围内

③此人的血压已超过标准值④此人的心跳为80次/分

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

6.孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子

日均时长统计图.根据该图，下列说法错误的是（）

2023年中国父母周末陪伴孩子日均时长

父亲母亲

匚ZH〜2小时匚ZJ2〜4小时I~~14〜6小时

口6〜8小时・8小时以上

A.2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于;

B.2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比大于g

C.2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%

D.2023父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为20.2%

7.将函数/（x）=2sinx图象上所有点的横坐标缩小为原来的：，再向右平移J个单位

26

长度，得到函数g（x）的图象，若g（尤）-4=0在0胃上有两个不同的零点七，则

tan（x1+x2）=（）

A.—B.--C.6D.-V3

33

8.如果对于任意整数％siWn7竿T,coWsITr,taWnIT：都是有理数，我们称正整数发是“好整

KKK

数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题（本大题共4小题）

9.下列说法中正确的是（）

A.度与弧度是度量角的两种不同的度量单位

11

B.1度的角是周角的一，1弧度的角是周角的丁

3602兀

C.根据弧度的定义，180。一定等于兀弧度

D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关

10.下列各式中，值是。的是（）

cosxcos[x+A+smxsm(x+!

A.I3jI3；B.tan10°+tan350+tan100tan35°

ctan22.5。D2-cos?20。

,1-tan222.5°,3-sin50°

11.2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校组织了“一带一路”知识竞赛，

将学生的成绩(单位：分，满分：120分)整理成如图的频率分布直方图(同一组中

B.。的值为0.005

C.该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分

D.这组数据的第30百分位数为81

12.在平面直角坐标系中，已知角c的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴

I兀兀、

重合，终边经过点[一sin^cos]I,/(x)=cosasin2x—sinacos2x贝I下歹ij结论正确的是

()

A.l1-cos2r(z=—1

2

B.x号是y=/(x)的图象的一条对称轴

C.将函数v=/(x)图象上的所有点向左平移9个单位长度，所得到的函数解析

O

式为〉=sin2%

D.y=/(x)在10,手)内恰有3个零点

三、填空题(本大题共4小题)

13.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成

绩为90分，那么20名女生的平均成绩为分.

1勺/QTTTT

14.已知cosa=-,sin(a+£)=---,0<a<—,0</7<—,贝iJcos/?二.

7111422

15.已知函数/3=5皿如+夕)1>0,04。4鼻是区上的奇函数，其图象关于点

卜称，且在区间0,?上是单调函数，则。的值为.

16.y=cos(tz+")+cosa-cos夕-1的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题)

17.已知/(a)=

(1)化简)(a)；

(2)若二是第三象限角，且sin(a-7r)=g,求的值.

18.据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试

行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准无(单位：吨)，月用

水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水

量分布情况，通过抽样，获得了〃户居民某年的月均用水量(单位：吨)，其中月均

用水量在(9,12］内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方

图.

(2)若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x吨，试估计x的值;

(3)在(2)的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x吨时，按3元/吨计算，

超出尤吨的部分，按5元/吨计算.现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不

超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？

19.已知函数=2\/3sin(7i-x)cosx+2cos2x.

⑴若xe，求函数的值域；

63

冗

⑵若函数g(x)=/(x)-1在区间-了机上有且仅有两个零点，求机的取值范围.

20.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为左)，这些凤眼莲在

湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24nl2,三月底测得凤眼

莲的覆盖面积为36m"凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的

关系有两个函数模型y=w(左与广0/+左(0>0,左>0)可供选择.

(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；

(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.

(参考数据：lg220.3010,lg320.4711).

21.已知函数/(x)=sin(0x+9)(o>O,O<e<7r)的最小正周期为兀，且直线》=号是其

图象的一条对称轴.

⑴求函数的解析式；

(2)将函数>=f(x)的图象向右平移:个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不

变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y=g(x),已知常数

/LeR,«eN,,且函数尸(x)=/(x)+4g(x)在(0,〃兀)内恰有2023个零点，求常数2与〃

的值.

22.已知二次函数“X)满足：〃x+l)=x2+3x+2,g(x)=log2(2+E；

⑴求/(x)的解析式；

(2)求g(x)的单调性与值域(不必证明)；

(3)设A(x)=2cosx+加cos2x[xe,若/[人⑺]2g[/z(x)],求实数加的值.

答案

1.【正确答案】C

【分析】根据抽样方法确定正确答案.

【详解】依题意，“居民人数多”，“男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”,

“老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”，

所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.

故选：C

2.【正确答案】B

【分析】AC项角度与弧度混用，排除AC；D项终边在第三象限，排除D.

【详解】因为:兀rad=315°,终边落在第四象限，且与-45。角终边相同，

4

兀

故与q7的终边相同的角的集合

4

S=,卜=315°+h360°}={a|a=-45°+k-360°}

即选项B正确；

选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限.

故选：B.

3.【正确答案】A

【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.

3

【详解】根据三角函数定义可知cosa=（,

又sin?1+cos2a=1,贝ijJl-sin2a=Jcos2a=cos«=|.

故选：A

4.【正确答案】B

【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.

【详解】因为cos2a=1-2sin2a=~^

所以sina=±色，

3

因为a£（0,兀），

所以sina=.

3

故选.B

5.【正确答案】C

【分析】根据所给函数解析式及正弦函数的性质求出尸⑺的取值范围，即可得到此人

的血压在血压计上的读数，从而判断①②③，再计算出最小正周期，即可判断④.

【详解】因为某人的血压满足函数式尸⑺=115+25sin(160M,

又因为一lVsin(160jtf)Vl,所以115-254尸0)4115+25,即90Vp")4140,

即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg,故①正确；

因为收缩压为140mmhg,舒张压为90mmhg,均超过健康范围，

即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；

2兀1

对于函数P(/)=115+25sin(160M,其最小正周期7=心匚(min),

160兀80

则此人的心跳为)=80次/分，故④正确；

故选：C

6.【正确答案】C

【分析】根据题意结合统计相关知识逐项分析判断.

【详解】由题图可知：2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为

38.7%>1,A说法正确；

2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为31.5%+24.2%=55.7%>LB

2

说法正确；

2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为38.7%-2.5%=36.2%,C

说法错误；

2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为

21.4%+19.0%.„_、乂、-十T/z.

-------------------=20.2%n/,D说法正确.

2

故选：C.

7.【正确答案】B

【分析】根据函数图象的变换可得g(x)=2sin(2x-1:即可结合正弦函数的对称性

5兀

得4+%2=兀，进而再+X2=二，即可求解.

6

【详解】将函数/(x)=2sin无图象上所有点的横坐标缩小为原来的;，得到y=2sin2x

的图象,

再向右平移弓个单位长度，得至Ijg(x)=2sin21x-；j=2sin[2x卷.勺图象.

、“「八兀1C_Lc兀「兀2兀1人c兀,兀2兀

当XW0,5时，2X--E,令2%一丁=，，tG,

7T27r

则关于f的方程2sinya在-5,7上有两个不等的实数根4,t2,所以。+%=兀，

即2为-y+2X2--=7r,则玉+x2=—,所以tan(X]+x2)=tan^-=•

故选：B

8.【正确答案】A

【分析】利用三角函数定义域代入选项逐个验证即可得出结论.

【详解】考虑三角函数的定义域，

对于选项A,当a=1时，sin〃7i,cos"7i,tarw兀对于任意整数〃，都是整数，满足题意；

njrYITT

对于B,当左=2时，1211午=1211竺对于整数1,没有意义，不满足题意；

k2

wjrnjrwjrynr

同理可得对于C和D,当tan把=tan变或tan"=tan型时，代入验证可知不满足题

k3kA

忌;

所以可知最大“好整数”为1

故选：A

9.【正确答案】ABC

【分析】根据角度制与弧度制的定义，以及角度制和弧度制的换算公式，以及角的

定义，逐项判定，即可求解.

【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单

位，所以A正确；

由圆周角的定义知，1度的角是周角的工，1弧度的角是周角的],所以B正确;

36027t

根据弧度的定义知，180。一定等于兀弧度，所以C正确；

无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长

与半径的比值有关，故D不正确.

故选：ABC.

10.【正确答案】ACD

【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断.

【详解】cosxcosx+—+sinxsinx+—

兀711—小

=cosx-x——=COS-=-,A正确；

tan100+tan350+tan10°tan35°

=tan（10。+35。）。-tan10。tan35。）+tan10。tan35。

=tan45°=1,B不对;

tan22.5°12tan22.5°11十详

-----；-----=------------=—tan450=一,C正确；

1-tan222.5°21-tan2522.5°22

311

2-cos：20°=5-。cos40。^-(3-sin50°)=」，口正确.

3-sin50°3-sin50°3-sin5002

故选：ACD

11.【正确答案】BC

【分析】利用频率分布直方图，用样本估计总体，样本的极差、平均值、百分位数

相关知识计算即可.

【详解】因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值，

所以这组数据的极差可能为70,也可能为小于70的值，所以A错误；

因为｛a+0.008+2a+0.012+0.015+4a+0.030)x10=70。+0.65=1,解得°=0.005,

所以B正确；

该校竞赛成绩的平均分的估计值

x=55x0.005x10+65x0.008x10+75x0.012x10+85x0.015x10+95x0.030x10

+105x4x0.005x10+115x2x0.005x10=90.7^,所以C正确.

设这组数据的第30百分位数为加，

贝!|(0.005+0.008+0.012)x10+(加一80)x0.015x10=0.3,解得加=亍,

所以D错误.

故选：BC.

12.【正确答案】AB

【分析】利用三角函数的定义求得夕，从而得到“X)的解析式，进而利用三角函数

的性质与平移的结论，逐一分析各选项即可得解.

【详解】因为所以由三角函数的定义得sina=；,

V3

cosa=------，

2

所以a=-----F2kn,keZ,

6

贝U/（x）-cosasin2x—sinacos2x=sin（2x—a）

=sin2x--------2kn=sin2x----，左eZ,

I6JI6J

A:l-cos2a=2sin2cr=2x||,故A正确；

UJ2

B：因为/营卜ing-g卜呜=1,所以x=g是y=/(x)的图象的一条对称轴，

故B正确；

C：将函数了=/卜)图象上的所有点向左平移9Sir个单位长度，

0

所得至的函数解析式为了=5吊［2］》+§］—予］=5由12工膏)，故C错误；

D：令〃力=0,得sin12xT)=0,

解得2%——=kji,keZ=%=—+—,keZ,

6122

仅上=0,1,即》==,当符合题意，

1212

即y=/(x)在］0,与］内恰有两个零点，故D错误.

故选：AB

13.【正确答案】95

【分析】利用平均数的求法计算即可.

【详解】设所求平均成绩为了，由题意得50x92=30x90+20xMAx=95.

故95

14.【正确答案】-/0.5

2

【分析】根据题意，分别求得sina,cos(a+/),再由余弦的差角公式，代入计算，即

可得到结果.

【详解】因为0<a<工且cosa='<cos'=’,则巴二，

273232

又0<0<三,所以g<a+£<7i,且sin(a+£)=5：<[

—,

所以■!兀<a+4<71,贝!Jcos(a+,)=-^1-sin2(a+/)=一11

14,

，二473

s.ma=vhl-cosa=-----，

7

所以cosp=cos[(a+4)一々]=cos(a+万)cosa+sin(a+夕)sina

11156461

---x--1----x----=-

1471472

故y

4

15.【正确答案】j

由函数为奇函数，得。=0,再根据函数图像关于点/（3,0卜寸称，可知

【分析】

4k

3=——根据函数的单调性可得0<。<4,进而得解.

3

71

【详解】因为函数/(x)=sin(s:+0)(o>0,0<(p<—是R上的奇函数,

贝！Jf(-x)=~f(x),即sin夕cosox=-cosoxsin夕,

TT

又因为@>0,所以sin。=0,因为所以9=0；

故/（x）=sins；

又因为图象关于点/学,o]对称，则学=祈，keZ,所以。=芈，kwZ,

I4）43

因为函数在区间0,TT-上是单调函数，则1三"7三TT27二T，得0<。44；

L4J204

4

所以

故答案为《4

16.【正确答案】[-4,；]

【分析】由和角的余弦公式变形给定函数，再利用辅助角公式变形，结合正弦函数

的性质用含cos"的关系式表示了，再借助二次函数最值求解即得.

【详解】y=cosacos，一sinasinp+cosa-cos0-1=（cos4+1）cosa-（sin夕）sina-（cos，+1）

=J（cos夕+1）2+sin2/3sin（a+（p）~（cos，+1）=j2+2cos夕sin（a+（p）~（cos/?+1）

由sin（a+。）£[-1,1],得-J2+2cos0-（cos夕+1）«y<J2+2cos0-（cos/?+1）,

令t=Jl+cos/39则t£[0,V2],贝U—y[2t—t2<y<V2/—t2f

所以*-•-〃=-«+多+%4,当且仅当"及，即cos/?=l时取等号，

且=当且仅当y1,即cos/?=时取等号，

22222

所以y的取值范围为[-4,

故

17.【正确答案】（l）/（a）=-cosa

⑵与

【分析】（1）利用诱导公式化简即可；

（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.

sin（兀一a）cos（2兀一a）cos（型一a

［详解］（1）因为/（。）=-------赤—v------------上一

cosl--erIsin（-71-cu）

sincr-cos6Z(-sincr)

=--------；------------------=-cosa,

sina-sina

所以/(a)=-cosa.

(2)由诱导公式可知sin（a-7i）=即sina=——,

5

巫

又a是第三象限角，所以cosa

~~T

276

所以/（。）=-cosa=------

18.【正确答案】(1)“=击，«=200

(2)16.6吨

(3)20.64吨

【分析】（1）频率分布直方图总面积为1,由此即可求解.

（2）先判断所求值所在的区间，再按比例即可求解.

（3）按题意列不等式即可求解.

【详解】（1）

---（0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+0.005+a）x3=1,

1

a=-----.

300

39

丁用水量在（9,12］的频率为0.065x3=0.195,:.n=-^^=2W（户）

（2）v（0.015+0.025+0.050+0.065+0.085）x3=0.72<0.8,

(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050)x3=0.87>0.8,

0.80-0.72

15+3x=16.6(吨)

0.87-0.72

(3)设该市居民月用水量最多为加吨，因为16.6x3=49.8<70,所以m>16.6,

贝!Jw=16.6x3+(m-16.6)x5<70,解得机420.64,

答：该市居民月用水量最多为20.64吨.

19.【正确答案】⑴[0,3]

5兀11兀)

⑵

【分析】(1)利用诱导公式以及二倍角公式化简可得“X)的表达式，结合

确定2X+B的范围，即可求得答案；

o36

(2)由xe-,m,确定2》+}€[-5,2%+口，根据g(x)在区间-jm上有且仅有

o666o

两个零点，结合正弦函数的零点，列出相应不等式，即求得答案.

【详解】(1)由题意得/(%)=2A/3sin(TT-x)cosx+2cos2x

=V3sin2x+cos2x+1=2sin2x+—+1,

71l।c71r兀5兀[

当XE--则2x+-e[--,—],

6666

则-1<sin^2x+^J<l,贝I」0W2sin12x+t)+lW3,

即函数〃X)的值域为[o,3]；

,jrJTjr7T7T

(2)由题可得加〉—，当一：时，2xH—e[—,2mH-],

66」666

g(x)=/(%)-1=2sinf2x+^\且g(x)在区间-2,机上有且仅有两个零点,

7T

而y=sinx在[-：,2兀)有且仅有2个零点，分别为0,兀,

6

,,C兀c3兀11715兀11兀、

故兀«2mH——<2兀,——<m<---即加£

61212n'12)

20.【正确答案】⑴选择模型'=版'(左符合要求,

32

y=一,1<X<12,XGN*

3

（2）六月份

【分析】（1）根据指数函数与幕函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定

系数法即可求出该模型的解析式；

（2）由（1）结合已知可得%（口＞10x—,再结合已知数据即可得出答案.

33

【详解】（1）函数了=左优（左＞0,。＞1）与了=01+左（0＞0,左＞0）在（0,+8）上都是增函

数，

随着x的增加，函数＞=履'化的值增加的越来越快，

1

而函数y=px5+Mp＞0,左＞0）的值增加的越来越慢，

由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型了=无优优＞0,。＞1）符合要求,

根据题意可知x=2时，y=24;%=3时，＞=36,

3

CL=­

凉=24山.2

所以以=36'解得

732

k=——

3

故该函数模型的解析式为了=『1|J』WxW12,xeN*；

（2）当x=0时，昨:，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是半n?,

ccX＞log,10=_gl]=-------------X----------!----------x5.9

所以1,3Ig3-lg20.4711-0.3010，

82

又xeN*,

所以x26,即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月

份.

21.【正确答案】（l）〃x）=cos2x

（2）2=1,"=1349

【分析】（1）由周期求得再由对称性求得夕得解析式;

(2)由图象变换求得g(x),然后可得尸(x)的表达式，令f=sinxc[T,l],尸(x)=0化

为一1=0,4=22+8＞0,则关于f的二次方程2〃-"-1=0必有两不等实根治小

则能=-;，则东弓异号，然后分类讨论尸。)=0在(0,师)上解的个数后得出结论.

0JT

【详解】(1)由三角函数的周期公式可得0=」=2,，〃x)=sin(2x+p),

71

令2%+夕=]+左兀（左£Z）,得X=[—]+曰（左EZ）,

由于直线X=g为函数y=/(x)的一条对称轴，所以，-1=K+g(aeZ),

得9=:+E（左£Z）,由于0<°<兀,.,.左=一1,贝=

71

因此，/(%)=si•n2Gx+.—=cos2x；

I2

(2)将函数V=/(x)的图象向右平移;个单位，

得到函数了=8$=cos12x-^J=sin2x,

再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，

横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为g(x)=sinx,

•「尸(%)=f(x)+Ag(x)=cos2x+2sinx=-2sin2x+2sinx+1,

令尸(x)=0,可得2sin2%-&inx-1=0,

令Z=sinx£[—Ll],得2»_加—1=0,八二丸2+8〉0,

则关于，的二次方程2»_加_1=0必有两不等实根东%则但=-;，则东才2异号，

(i)当0＜同＜1且0＜闻＜1时,

则方程sinx=4和sinx=/2在区间(0,〃劝(〃eN*)均有偶数个根，

从而方程2sin2xTsiru-l=0在(0,时("N*)也有偶数个根，不合乎题意；

(ii)当。=一1时，则L=g，当xe(0,27t)时，sinx=。只有一根，sinx=芍有两根，

所以，关于x的方程2sin2xTsinx-l=0在(。,2兀)上有三个根，

由于2023=3x674+1,则方程2sin2x-Asinx-1=0在(0,1348K)上有3x674=2022个根,

由于方程sinx=%在区间(1348兀,134