排列组合高三复习

计数原理一．分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识点梳理】1．分类加法计数原理完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的办法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法.3．两个计数原理的综合应用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．考点一分类加法计数原理【典型例题】完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种 B．4种 C．9种 D．45种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择，故选：C.【解题思路】【解题思路】分类计数原理解题思路1.根据题目特点恰当选择一个分类标准．2.分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．3.分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏【过关检测】将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（）A．16种 B．12种 C．9种 D．6种【答案】B【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；^当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；因此，不同的放球方法有12种，故选B.考点二分步乘法计数原理【典型例题】【例2】1.学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【难度】0.94【知识点】分步乘法计数原理及简单应用【分析】由分步计数乘法原理即可求解【详解】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有种故选：D2.某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演，原节目单上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有（）种A．165 B．286 C．990 D．1716【答案】D【解析】第一步：10个节目空出11个位置，加入1个新来的节目，所以加入一个新节目有11种方法，第二步：从排好的11个节目空出的12个位置中，加入第2个新节目，有12种方法，第三步：从排好的12个节目空出的13个位置中，加入第3个新节目，有13种方法，所以由分步乘法计数原理得，加入3个新节目后的节目单的排法有（种）.故选：D【方法总结】【方法总结】(1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．【过关检测】1．如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（）A．280 B．180 C．96 D．60【答案】B【解析】按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；第2步，B区域有4种颜色可选；第3步，C区域有3种颜色可选；第4步，D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.选选：B.2．7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，每名旅客可选择方案有3种，因此7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是.故选：B.3．从集合中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（）A．10个 B．12个 C．16个 D．20个【答案】C【解析】∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4}中选一个有4种，a从剩余的4个选一个有4种，∴根据分步计数原理知虚数有4×4＝16（个）．故选：C．考点三两个计数原理综合运用【典型例题】某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有_______种不同的选法．【答案】【解析】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级，2个班为高一和高二各一个班有，2个班为高二和高三各一个班有，2个班为高三和高一各一个班有，所以不同的选法共有.故答案为：.【方法总结】【方法总结】两种计数原理选择思路①分清要完成的事情是什么；②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制；④检验是否有重复或遗漏．【过关检测】1．如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）【答案】260【解析】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种，当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种，所以不同的种植方案共有种，故答案为：2602．假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如下图所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天（4月24日～4月29日）内选择一天出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人出游的不同方法数为________.【答案】85【解析】若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数；若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数.故这三人出游的不同方法数.故答案为：85巩固练习1.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（

）A．81种 B．64种 C．36种 D．48种【答案】A【知识点】分步乘法计数原理及简单应用【分析】根据题意，由分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果.【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种.故选：A2.春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（

）A．120种 B．240种 C．420种 D．720种【答案】C【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题【分析】先对图中不同的区域命名，再运用分步计数和分类计数的方法从中央开始计数即可.【详解】如图，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择，不同的布置方案有种；故选：C.3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（

）A．6 B．12 C．15 D．30【答案】D【难度】0.65【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题【分析】由已知，根据题意可使用插空法，将2个新节目有顺序插入5个节目形成的6个空中，直接列式求解即可.【详解】因为增加了两个新节目．将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，所以原来5个节目形成6个空，新增的2个节目插入到6个空中，共有种插法.故选：D.4．（多选）设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（

）A．从东面上山有20种走法 B．从西面上山有27种走法C．从南面上山有30种走法 D．从北面上山有32种走法【答案】ABD【知识点】分步乘法计数原理及简单应用【分析】利用分步乘法原理求解即可.【详解】若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法；若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法；故选：ABD二．排列及排列数【知识点梳理】一、定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．二、排列数的公式：．特例：当时，；规定．三、排列数的性质①；②；③．四、解排列应用题的基本思路：通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．1.解决相邻问题，捆绑策略：相邻问题的模型为将个不同元素排成一排，其中个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数．方法是：先将这个元素“捆绑在一起”，视为一个整体，当作一个元素同其它元素一起进行排列，共有种排法；然后再将“捆绑“在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种．2．解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻()，求不同排法种数的方法是：先将()个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种．3．定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．4．数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．（2）常用方法：直接法，间接法．（3）注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．5.对于某些元素顺序确定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．（1）个人的排列中有个人的顺序一定，则所求排列数就是总的无限制条件的排列数除以．对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法．解题方法是：先将个元素进行全排列有种，（）个元素的全排列有种，由于要求个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若个元素排成一列，其中个元素次序一定，则有种排列方法．（2）对于给定元素顺序确定，再插入其它元素进行排列：顺序确定的元素为个，新插入的元素为个，则排列数为：．考点一排列的概念【例1】（1）下列问题是排列问题的是()A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？（2）从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为()A．2B．3C．4D．5【答案】（1）B（2）B【解析】（1）排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B.（2）排列与顺序有关，故②④⑤是排列．【过关检测】判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？【答案】见解析【解析】(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，不管a>b还是a<b，方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关．考点二排列数【例2】（1）若，则（）A．5 B．6 C．7 D．8（2）若，则m的值为()A．5 B．3 C．6 D．7【答案】（1）A（2）A（2）C【解析】（1）,化解得解得：m=（舍）或m=5故选：A（2）根据题意，若，则有m（m﹣1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣4）=2×m（m﹣1）（m﹣2），即（m﹣3）（m﹣4）=2，解可得：m=5故答案为A【方法总结】【方法总结】要注意中隐含了3个条件：①，；②；③的运算结果为正整数2.形，（即），的应用．【过关检测】1．对于满足的正整数n，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为，选取个数为，.故选：C．2．已知，则（）A．5 B．7 C．10 D．14【答案】B【解析】，可得，即，解得.故选：.3．给出下列四个关系式：①②③④其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①因为，故正确.②，故正确.③，正确.④因为，所以，故不正确.故选：C考点三排队问题【例3】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600；（6）3720.【解析】（1）从7人中选5人排列，共有（种．（2）分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，按照分步乘法计数原理计算可得一共有（种.（3）捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，有种，再与3名男生进行全排列有种，共有（种．（4）插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有（种．（5）先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有(种).（6）7名学生全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有(种).【方法总结】排列常用方法1.简单问题直接法：直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.2.特殊元素(特殊位置)优先法：优先考虑一些特殊的元素和位置.【方法总结】排列常用方法1.简单问题直接法：直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.2.特殊元素(特殊位置)优先法：优先考虑一些特殊的元素和位置.3.相邻问题捆绑法：先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.4.不相邻问题插空法：先把没有位置要求的元素排列好，再排不相邻的元素.5.定序问题缩倍法（等概率问题缩倍法）先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数.6.至少问题间接法：一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法.1．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则不同站法的种数有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．60种【答案】C【解析】根据题意，若老师站在正中间，则站法只有1种，将甲、乙、丙、丁全排列，安排在两边4个位置，有种情况，由分步乘法计数原理知共有种，故选：C.2．参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（）A．360 B．720 C．2160 D．4320【答案】B【解析】分两步完成：第一步：从6人中选3人排前排：种不同排法；第二步：剩下的3人排后排：种不同排法，再按照分步乘法计数原理：种不同排法，故选：B.3．某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．240 B．360 C．480 D．720【答案】C【解析】解法一：给8个车位编号：1，2，3，4，5，6，7，8，当1，2，3号车位停放3辆车时，有种停放方法；当2，3，4号车位停放3辆车时，有种停放方法；当3，4，5号车位停放3辆车时，有种停放方法；当4，5，6号车位停放3辆车时，有种停放方法；当5，6，7号车位停放3辆车时，有种停放方法；当6，7，8号车位停放3辆车时，有种停放方法；所以不同的停放方法的种数为种.解法二：先定四个车位，其中三个车位连在一起捆绑，三个车位和另一个被四个空车位间隔开，四个空车位就1种排法，造成5个空格，排入三个捆绑车位和一个车位有种方法，再把4辆车停入四个车位有种方法，根据乘法原理共有种停车方法.故选：C.4．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【难度】0.85【知识点】计算古典概型问题的概率、不相邻排列问题【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为，故选：C.5.将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（

）A．480种 B．240种 C．15种 D．10种【答案】D【难度】0.85【知识点】不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题【分析】将2个8插空放入不相邻的5个空位，即可得解.【详解】解：将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有方法，故2个8不相邻的情况有种.故选：D6．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B【难度】0.85【知识点】分类加法计数原理、排列数的计算【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.故选：B.考点四数字问题【例4】现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？【答案】（1）648；（2）2296；【解析】（1）由题意，无重复的三位数共有个；（2）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有个数；当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有个数，所以无重复的四位偶数共有个数；【过关检测】1．由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（）A．144 B．216 C．288 D．432【答案】B【解析】先从3个奇数中选出2个捆绑内部全排共有种排法，再把捆绑的2个奇数看成一个整体，因为这个整体与剩下的一个奇数不相邻，将2个非0偶数全排有种选法，奇数插空全排有种选法，最后把0插空，0不能在两端，有3种排法，可组成这样不同的6位的个数为种排法，故选：B2．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个 B．120个 C．96个 D．72个【答案】B【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B3．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.（1）可组成多少个不同的四位数？（2）可组成多少个不同的四位偶数？【答案】（1）300；（2）156.【解析】（1）根据题意分步完成任务：第一步：排千位数字，从1，2，3，4，5这5个数字中选1个来排，有种不同排法；第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列，有种不同排法；所以组成不同的四位数有种，（2）根据题意分类完成任务：第一类：个位数字为0，则从1，2，3，4，5这5个数字中选3个来排在千位、百位、十位，有种不同排法；第二类：个位数字为2或4，则0不能排在千位，有种不同排法；所以组成不同的四位偶数有种.巩固练习1．“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（

）种不同的出场顺序.A．72 B．78 C．96 D．120【答案】B【分析】讨论甲在第三出场、不在第一、三出场，结合排列和计数原理求解即可.【详解】当甲在第三出场时，乙､丙､丁､戊全排列，共有种；当甲不在第一、三出场时，共有种；故共有种不同的出场顺序.故选：B2．有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（

）A．36种 B．48种 C．72种 D．108种【答案】B【分析】根据捆绑法进行求解即可.【详解】不同排法种数为种，故选：B.3．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，且均不与“雪容融”丙相邻的不同的排列方法总数为（

）A．480 B．960 C．1080 D．1440【答案】B【分析】先用捆绑法再用插空法计算.【详解】现将4个不同造型的“冰墩墩”排好，有种排法，排好后包括左右两边有5个空，再将“雪容融”甲和“雪容融”乙捆绑，有种方法，将捆绑后的“雪容融”与“雪容融”丙分别插入前面的5个空中，有种方法；所以总的排列方法数为：；故选：B.4．某学校安排了4场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法共有（

）种A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，即可得到答案.【详解】设四场讲座为，首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，综上共有种.故选：C5．红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【分析】分任务A排在第1位，第2位，第3位三种情况进行讨论，每种情况中要将E和F用捆绑法当作一个整体，再与剩余任务进行全排列，当A排第2位时，要注意E和F的整体不可放置在第1位上，最后将所有情况用分类加法进行求和即可.【详解】解：根据题意，由于任务A必须排在前三位，分种情况讨论：排在第一位，任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案；排在第二位，任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案；排在第三位，任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案；则符合题意要求的安排方案有种；故选：D．6．某班级周三上午共有5节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理.数学必须安排，且连续上两节，但不能同时安排在第二三节，除数学外的其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共有（

）A．48种 B．60种 C．72种 D．96种【答案】B【分析】先安排数学，当数学排在第一二节时，第三四五节可任意安排；当数学排在第三四节或第四五节时，先给第一节排课，再给余下的节次排课即可解决.【详解】分三类讨论：（1）当数学排在第一二节，则语文、英语、体育和物理任选三科排在第三四五节即可，共有种方法；（2）当数学排在第三四节，则在语文、英语和物理中任选一科排在第一节，再在包含体育余下的三科中任选二科排在第二五节即可.共有种方法；（3）当数学排在第四五节，则在语文、英语和物理中任选一科排在第一节，再在包含体育余下的三科中任选二科排在第二三节即可.共有种方法；则符合要求的方法总数为故选：B7．现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用排除法，即7人的全排列减去3个女生都不相邻的情形（用插空法求三女生全不相邻的排法）.【详解】7个人全排列诚去3个女生全部相邻的情形，即，故选：B.8．（多选题）A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（

）A．若A、B不相邻共有72种方法B．若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法．C．若A在B左边有60种排法D．若A、B两人站在一起有24种方法【答案】ABC【分析】利用插空法，可判断A的正误；利用间接法，可判断B的正误；根据定序问题的求法，可判断C的正误；利用捆绑法，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：若A、B不相邻共有种方法，故A正确；对于B：若A不站在最左边，B不站最右边，利用间接法有种方法，故B正确；对于C：若A在B左边有种方法，故C正确；对于D：若A、B两人站在一起有，故D不正确.故选：ABC三、填空题9．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是．【答案】84【分析】先考虑所有情况，再减去不满足的情况即可.【详解】先考虑五个音阶任意排列，有种情况，再减去宫、角、羽三音阶都相邻的情况，把宫、角、羽三音阶看做一个一个整体，则一共变成3个元素，有种情况，而宫、角、羽三音阶又可以任意排列，有种情况，所以一共的音序有种，故答案为：8410．五名同学站成一排合影，若站在两端，和相邻，则不同的站队方式共有种.（用数字作答）【答案】24【分析】相邻问题捆绑法，特殊元素优先排，用分步计数完成.【详解】C，相邻，将排在一起并看成一个整体，有2种方法，站两端，有2种方法，与，进行3个元素的全排列，有种方法，故不同的站队方式共有种.故答案为：24

三．组合及组合数【知识点梳理】（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．（2）组合数公式及其推导求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；根据分步计数原理，得到；因此．这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例．注释：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．（3）组合数的主要性质：①；②．（4）组合应用题的常见题型：=1\*GB3①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．=2\*GB3②“至少”或“最多”含有几个元素的题型解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．考法一组合的概念【例1】给出下列问题：①有10个车站，共需要准备多少种车票？②有10个车站，共有多少中不同的票价？③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？④有10个同学，假期约定每两人通一次，共需通话多少次？⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？以上问题中，属于组合问题的是_________(填写问题序号).【答案】②④【解析】①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；②有10个车站，共有多少中不同的票价？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；④有10个同学，假期约定每两人通一次，共需通话多少次？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；以上问题中，属于排列问题的是②④.【过关检测】以下四个问题中，属于组合问题的是（）A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地【答案】C【解析】只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.故选：C.考法二组合数【例2】（1）（）A． B． C． D．（2）满足条件的自然数有（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【答案】（1）D（2）C【解析】（2）．故选：D.（2）由得，即，又，且，所以.故选：C.组合数的两个性质：（1）组合数的两个性质：（1）；（2）．【过关检测】1．已知，那么（）A．20 B．30 C．42 D．72【答案】B【解析】答案选B2．（多选）下列等式正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A.，故正确；B.，故正确；C.，故错误；D.，故正确.故选：ABD考法三组合的应用【例3】男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．【答案】（1）120（2）246（3）196（4）191【解析】(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有Ceq\o\al(3,6)种选法；第二步，选2名女运动员，有Ceq\o\al(2,4)种选法．由分步计数原理可得，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(种)选法．(2)方法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类计数原理可得总选法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(种)．方法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从10人中任选5人有Ceq\o\al(5,10)种选法，其中全是男运动员的选法有Ceq\o\al(5,6)种．所以“至少有1名女运动员”的选法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(种)．(3)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为Ceq\o\al(4,8)；“只有女队长”的选法种数为Ceq\o\al(4,8)；“男、女队长都入选”的选法种数为Ceq\o\al(3,8)，所以共有2Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝196(种)选法．方法二(间接法)从10人中任选5人有Ceq\o\al(5,10)种选法，其中不选队长的方法有Ceq\o\al(5,8)种．所以“至少有1名队长”的选法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,8)＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人任意选，共有Ceq\o\al(4,9)种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有Ceq\o\al(4,8)种选法，其中不含女运动员的选法有Ceq\o\al(4,5)种，所以不选女队长时的选法共有(Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5))种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)＝191(种)．【方法总结】【方法总结】组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．【过关检测】1．一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？【答案】(1)；(2).【解析】(1)从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法：红球个，红球个和白球个.当取红球个时，取法有种；当取红球个和白球个时，.取法有种.根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有种.(2)使总分不少于分情况有两种：红球个和白球个，红球个和白球个.第一种，红球个和白球个，取法有种;第二种，红球个和白球个，取法有种,根据分类计数原理，使总分不少于分的取法有种.2．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．【答案】（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，所以甲、乙两组的比例是，又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．3．（2023高三·全国·专题练习）现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（

）A．84 B．172 C．160 D．230【答案】C【难度】0.85【知识点】实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理【分析】用间接法分析．先求出“从12张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案．【详解】根据题意，不考虑限制，从12张卡片中任取3张，共有种取法，如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，如果取出的3张有2张红色卡片，则有种情况，故所求的取法共有种．故选：C．4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．种 B．种C．种 D．种【答案】D【难度】0.85【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D.5．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.85【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D.巩固练习1．将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（

）A．480种 B．240种 C．15种 D．10种【答案】D【难度】0.85【知识点】不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题【分析】将2个8插空放入不相邻的5个空位，即可得解.【详解】解：将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有方法，故2个8不相邻的情况有种.故选：D2．（2024·全国·模拟预测）今年暑期，《八角笼中》、《长安三万里》、《封神榜》、《孤注一掷》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这四部电影，若小明要看《长安三万里》，则恰有两人看同一部影片的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】分组分配问题、计算古典概型问题的概率【分析】对观看《长安三万里》的人数进行分类讨论，利用排列和组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】分以下两种情况讨论：（1）小明和其中一人同时看《长安三万里》，另外两人看剩余三部电影中的两部，此时，所求概率为；（2）观看《长安三万里》只有小明一人，只需将剩余三人分为两组，再将这两组人分配给两部电影，此时，所求概率为.综上所述，恰有两人看同一部影片的概率为.故选：B.3.如图，在某城市中，M､N两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M､N处的甲､乙两人分别要到N､M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N､M处为止，则下列说法错误的是（

）A．甲从M必须经过到达N处的方法有9种B．甲､乙两人相遇的概率为C．甲乙两人在处相遇的概率为D．甲从M到达N处的方法有20种【答案】B【难度】0.4【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率【分析】分别计算两人经过的走法种数，由排列组合与古典概型对选项逐一判断【详解】对于甲，经过到达有1种，经过到达有种，经过到达有种，经过到达有1种，甲从M到达N处的方法共有20种，同理对于乙，经过到达分别有种．对于A，甲从M必须经过到达N处的方法有9种，A正确，对于B，甲乙两人相遇的概率，B错误，对于C，甲乙两人在处相遇的概率，C正确，对于D，甲从M到达N处的方法共有20种，D正确故选：B4．（多选·重庆沙坪坝·期中）小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道E处，小兵在如图的街道F处，科技博物馆位于如图的G处，则下列说法正确的是（

）

A．小明到科技博物馆选择的最短路径条数为126条B．小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为4条C．小明到科技博物馆在选择的最短路径中，与到F处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为D．小明与小兵到科技博物馆在选择的最短路径中，两人约定在科技博物馆门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：从F到科技博物馆两人的路径没有重叠部分（路口除外），则【答案】ACD【难度】0.65【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算【分析】根据组合公式和最短路径的几何特点即可求解.【详解】由图知，要使小兵、小明到科技博物馆的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，

A：小明到科技博物馆需要向上4格，向右5格，即小明共走9步其中4步向上，最短路径条数为条，正确；B：小兵到科技博物馆需要向上1格，向右2格，即小兵共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条，错误；C：小明到的最短路径走法有条，再从F处和小兵一起到科技博物馆的路径最短有3条，而小明到科技博物馆共有条，所以到F处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为，正确；D：由C选项知：，事件的概率，所以，正确.故选：ACD.

四．排列组合的综合运用常见题型及解法如下：1.特殊位置特殊元素：优先策略.对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或位置，这种解法叫做特殊优先法．特殊元素（位置）优先排列法主要适用于排列中元素“在”与“不在”的定位问题．（1）直接法①元素优先法：以元素为主，优先考虑有限制条件的特殊元素，再考虑其他元素；②位置优先法：以位置为主，优先安排有限制条件的特殊位置，再安排其他位置．注意：若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件；无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．（2）间接法若题目太复杂，解题时分类太多，用“直接法”麻烦，往往采用“间接法”，即先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．2.相邻元素：捆绑法.相邻问题的模型为将个不同元素排成一排，其中个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数．3.不相邻元素：插空法.即将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻()，求不同排法种数的方法是：先将()个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种．4.定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．5.分组分配问题：（1）整体均匀分组在解决整体均分型题目时，要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(为均分的组数)，避免重复计数．（2）部分均匀分组解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有组元素个数相等，则分组时应除以，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以这样的全排列数．（3）不均匀分组解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．同元问题：隔板法.把个相同的小球放到个不同盒子中，不同放法的种数的求解方法是：（1）若每个盒子至少放一球，则只需在个小球的个间隙中放置块隔板把它隔成份即可，共有种不同放法；此类型问题等效于“将个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题”：可把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．（2）若允许某些盒子不放球，则相当于在个位置中选放块隔板，把个小球分隔成份，共有种不同放法．注意：1．解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，若取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；若取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．2．解有限制条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法．3．要正确理解题中的关键词（如“都”与“不都”，“至少”与“至多”，“含”与“不含”等）的确切含义，正确分类，合理分步．考法一全排列【例1】将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【答案】C【解析】由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上，即将5本不同数学书全排列，故有种，故选：C．【过关检测】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）A．3种 B．6种 C．12种 D．5种【答案】B【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列：.故选：B考法二相邻问题（捆绑法）【例2】某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（）A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为.故选：C【过关检测】1．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）A．8种 B．12种 C．20种 D．24种【答案】C【解析】当甲排在第一位时，共有种发言顺序，当甲排在第二位时，共有种发言顺序，所以一共有种不同的发言顺序.故选：C.2．6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（）种排法.A．24 B．120 C．240 D．140【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有排法，故选：C.3.把座位号为、、、、、的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，则在座位号、、、、、的五个空位插3个板子，有种，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有种，所以不同的分法种数为,故选：B考法三不相邻问题（插空法）【例3】1.省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（）种安排方式.A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为.故选：B.2．（2024·全国甲卷·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.85【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率.解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；基本事件总数显然是，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.故选：B【过关检测】1．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有种情况；则有种排法；故选：D.2．若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（）A．12种 B．14种 C．5种 D．4种【答案】A【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有种排法.故答案选A3．五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为．故选：B．4．现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（）种.A．24 B．36 C．72 D．144【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有种情况，②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种；故选：C考法四分组分配（先分组再分配）【例4】1.某社区安排5名志愿者到3个不同的小区宣传，每名志愿者只去一个小区，每个小区至少安排一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．60种 B．90种 C．150种 D．240种【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有;分为1，1，3时安排有所以一共有故选：C2.6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（

）A．360种 B．180种 C．720种 D．450种【答案】D【难度】0.4【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题【分析】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案，共有（种）不同的安排方案.【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案.所以共有（种）不同的安排方案.故选：D.3.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【难度】0.4【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.【详解】将5名大学生分为122三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；按照分步乘法原理，共有种方法；故选：C.【过关检测】1．有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G77从武汉出发（G77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（）A．24种 B．36种 C．81种 D．256种【答案】B【解析】依据题意每个停的站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有种分法，再分配到三个站点，有种分法，所以一共有种不同的下车方案.故选：B.2．特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（）A．24 B．14 C．12 D．8【答案】C【解析】先把4名数学教师平分为2组，有种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有种方法.故选：C.3．江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（）A．60 B．90 C．150 D．240【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①将五名工作人员分成3组，若分为3、1、1的三组，有种分法，若分为2、2、1的三组，种分法，则有种分组分法；②将分好的三组全排列，对应三个景点，有种情况，则有种分配方法；故选：．4．公元2020年年初，肆虐着中国武汉，为了抗击，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（）A．30 B．60 C．90 D．180【答案】A【解析】根据题意，分2步进行：①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有种分组方法；②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有种情况，则有种不同的安排方法.故选：A.5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有种分法；其中伯爵恰有两人的分法有种分法，伯爵恰有两人的概率.故选：.6.某校为加强校园安全管理，欲安排12名教师志愿者（含甲、乙、丙三名教师志愿者）在南门、北门、西门三个校门加强值班，每个校门随机安排4名，则甲、乙、丙安排在同一个校门值班的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.85【知识点】计算古典概型问题的概率、分组分配问题【分析】根据分组分配计数原理计算.【详解】将12个人平均分为3组，有种方法，将甲乙丙分在同一组有种方法，所以甲乙丙在同一校门的概率；故选：D.7．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【难度】0.85【知识点】不相邻排列问题、计算古典概型问题的概率【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为，故选：C.考向五同元问题【例5】1.现有6个评优名额要分配给3个班级，要求每班至少一个名额，则分配方案有（

）A．8种 B．10种 C．18种 D．27种【答案】B【难度】0.85【知识点】分组分配问题【分析】相同元素分组问题，利用隔板法求解即可【详解】现有6个评优名额要分配给3个班级，要求每班至少一个名额，利用隔板法，把6个元素排成一列形成5个空，再在5个位置放置2个隔板，则共有种方案，故选：B2.方程的正整数解的个数__________.【答案】【解析】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．共有种．故答案为：【过关检测】1．三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有_____.【答案】【解析】由,则设，则且，则三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数等价于,的解的个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔板隔开即可，则共有种分法，即三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有个，故答案为：.2．（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.【难度】0.65【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用【分析】（1）按照分步乘法计数原理进行计算；（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，放入3个盒子中；（3）按照插板法进行计算即可；（4）先选2个空盒，再按照插板法进行计算.【详解】（1）每个小球有4种方法，共有种放法；（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法；（3）9个空中插入3个板即可，种放法；（4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法.巩固练习1．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（

）A．72 B．84 C．100 D．120【答案】C【难度】0.65【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题、实际问题中的组合计数问题【分析】若甲去点则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点，按照分组分配的方法计算可得，同理求出甲去点的安排方法，再由分类加法计数原理计算可得.【详解】若甲去点，则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点.当剩余4人只去、两个点时，人员分配为或，此时的分配方法有；当剩余4人分为3组去，，3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有，综上可得，甲去点，不同的安排方法数是.同理，甲去点，不同的安排方法数也是，所以，不同的安排方法数是.故选：C.2．哈三中招聘了8名教师，平均分配给南岗群力两个校区，其中2名语文教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（

）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】C【难度】0.85【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合【分析】先将2名语文老师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他3人分成2组，结合每个校区各4人即可得出结果.【详解】由题意知，先将2名语文老师分到两个校区，有2种方法，第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法，然后再分到两个校区，共有种方法，第三步只需将其他3人分成2组，一组1人另一组2人，由于每个校区各4人，故分组后两人所去的校区就已确定，共有种方法，根据分布乘法计数原理共有种.故选：C3．甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科竞赛，每门学科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（

）种不同的参加方法A．72 B．144 C．216 D．240【答案】C【难度】0.85【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题【分析】先不考虑甲乙两名同学，利用分组分配法求出安排总数，再减去甲乙参加同一学科的情况，即可得解.【详解】依题意将名同学分成、、、四组，再分配到四门学科中有种，其中甲乙两人恰好参加同一学科竞赛的有种，所以不同的参加方法有种.故选：C4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（

）种不同的分配方案．A．18 B．20 C．28 D．34【答案】D【难度】0.65【知识点】分组分配问题、实际问题中的计数问题【分析】首先分类，即本校监考分为1人和2人，在分类的基础上分配或分组.【详解】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.5．（多选）某校计划安排五位老师（包含甲、乙）担任周一至周四的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是（

）A．若周一必须安排两位老师，则不同的安排方法共有60种B．若甲、乙均值班且必须排在同一天值班，则不同的安排方法共有48种C．若五位老师都值班一天，则不同的安排方法共有240种D．若每天恰有一位老师值班，且如果甲乙均值班，则甲必须在乙之