人教A版高一数学必修二第二学期623向量的数乘运算

人教A版高一数学必修二第二学期6.2.3

向量的数乘运算第六章平面向量及其应用6.2.3

向量的数乘运算核心素养目标1.数学抽象：引导学生从物理、几何等实际背景中，抽象出平面向量的概念，以及向量加法、减法、数乘运算和数量积运算的定义，理解向量运算与实数运算的区别与联系，形成用向量语言和方法表述和解决现实问题的能力。2.直观想象：借助图形直观，帮助学生理解平面向量运算的几何意义，通过向量的几何表示和运算的可视化，使学生能够直观地感知向量运算的过程和结果，培养学生的空间观念和几何直观能力，进而利用向量运算解决几何问题。3.逻辑推理：

通过对平面向量运算规则和性质的探究与推导，培养学生的逻辑思维能力，使学生能够依据已有的定义、定理和运算法则，进行合理的推理和论证，得出新的结论，并能有条理地表达自己的推理过程。4.数学运算：让学生熟练掌握平面向量的各种运算方法和技巧，能够准确、快速地进行向量的加、减、数乘、数量积等运算，并能运用向量运算解决与向量模长、夹角、垂直、平行等相关的数学问题，提高学生的运算能力和数学应用能力。教学目标教学重点：：1.掌握向量加、减、数乘、数量积运算的概念、法则及

运算律。

2.熟练进行向量的坐标运算。

3.运用向量运算解决几何、物理等实际问题。教学难点：1.理解并应用向量运算的几何意义。

2.掌握向量数量积的概念与运算性质。

3.实现向量运算与其他知识的综合运用。情境导入复习回顾1.向量加法三角形法则:2.向量加法平行四边形法则:特点:首尾相接，连首尾特点:同一起点,

对角线3.向量减法三角形法则:特点：共起点，连终点，方向指向被减向量知识讲解我们已经学习了向量的加法，请同学们作出

和并请同学们指出相加后和的长度与方向有什么变化？这些变化与那些因素有关？知识讲解一般地，我们规定实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作

。注意：1.向量数乘的结果仍然是向量；2．实数和向量可以相乘，但不能相加减，

无意义；向量数乘的几何意义是什么？知识讲解探究：向量数乘运算的几何意义是什么?如右图，在向量数乘中，

可视为将向量a的长度伸长（

≥1）或缩短(

≤1）的倍数。

的符号表示能够改变向量的方向，当

>0时，

的方向与

的方向相同；当

<0时，

的方向与

的方向相反；当

＝0时，

=

（若

=

,

=

也成立）思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识？相反向量：(-1)

=零向量：

=

或

=0

=知识讲解思考1：数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？9知识讲解思考1：数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？知识讲解向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线性运算的结果仍是向量。1.知识讲解实数与向量积的运算律：结合律分配率分配率特别地，有12知识讲解向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算的结果仍为向量。对于任意向量，以及任意实数，恒有13知识讲解

以为例，解释如下：结合律★结合率的几何意义：将表示向量

的有向线段先伸长或缩短至原来的

倍，再伸长或缩短

倍，与将表示向量

的有向线段伸长或缩短至原来的

倍所得的结果相同.第一分配律★第一分配率的几何意义：将表示向量

的有向线段伸长或缩短至原来的倍，与将表示向量

的有向线段先伸长或缩短至原来的

倍后，在与表示向量

的有向线段伸长或缩短至原来的

倍后相加所得的结果相同.第二分配律★第二分配率的几何意义：将表示向量

，的有向线段先相加，再伸长或缩短

倍，与将表示向量

，的有向线段先伸长或缩短至原来的

倍后再相加，所得的结果相同.知识讲解把下列小题中的向量

表示为向量

的数乘形式。下列说法中正确的是（

)A.

与

的方向不是相同就是相反（

为实数）B．若

共线，则

=

(

为实数）c．若

=

，则

=

D．若

=

，则＝

D知识讲解例1.计算：解:注意：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算.知识讲解ABDCM知识讲解探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？18知识讲解知识讲解20知识讲解向量共线定理向量与共线的充要条件是：存在有唯一一个实数，使2、可以是零向量吗?可以知识讲解引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？易得，实数与向量的积与原向量共线事实上，对于向量

,

，如果有一个实数

，使

,那么由向量数乘的定义可知

与

共线．反过来，已知向量

与

共线，且向量

的长度是向量

的长度的μ倍，即

，那么当

与

同方向时，有

；当

反方向时，有向量共线定理：向量

与

共线的充要条件是：存在唯一一个实数

，知识讲解向量共线定理：向量

与

共线的充要条件是：存在唯一一个实数

，意义：根据这一定理，设非零向量

位于直线

上，那么对于直线

上的任意一个向量

,都存在唯一的一个实数

，使

．也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示．向量共线定理中为什么规定

?知识讲解解：且有公共点ＡOABC知识讲解已知

是两个不共线的向量，向量