2024-2025学年江西省新余市高三年级上册11月数学高考模拟试题（含解析）

2024-2025学年江西省新余市高三上学期11月数学高考全真

模拟试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.下列函数属于同一函数的是：（）.

A.

J.1

f(x)=x2,g(x)=x4

B.

(x2-l^lnx

/(x)=(x-l)lwc,g(x)='—

C.

D.以上均不正确

2.在统计学中，我们通常用q来刻画某组数据的离散程度；而为了研究成对样本数

据是否存在线性相关关系，我们通常先计算这组数据的显.序号①、②处可依次填入

的项为：（）.

A.均值经验回归方程B.均值样本相关系数

C.方差经验回归方程D.标准差样本相关系数

3.已知平面向量方满足：卜+‘卜2卜一®,H"W，则嬴向量夹角的余弦值为：（

377V72

A.4B.3C.4D.5

4.已知函数/（x）=sin4x-cos4x（OWxW27i）,则关于x的方程：

/（/（X））+（/（X）T）2=0的实根个数为：（）

A.2B.4C.6D.8

5.将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高

（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在

组最高的的分组方式共有（）种.

A.4B.5C.6D.8

6.在心理学中，“社交距离”是判定一个人边界感与安全感的有效度量.在某次心理学

课堂实验中，袁老师随机选取了现场的四位陌生人甲、乙、丙、丁，让他们两两实验：

在保持足够远时相向而行，当一方感到其距离使他不自在时，可以举手示意.此时，

他们两人之间的距离（单位：m）就近似为举手方对陌生人的社交距离（一方举手后，

距离继续减小直到另一方举手可测出另一方的社交距离，假设同一个人对不同陌生人的

社交距离相同）.在这次实验中，小郅同学记录了某三组实验中第一次有人举手的数据

（对应两人的距离）如下表，但粗心的他忘记了每次实验举手方是哪一位了，通过这个

图表，我们一定能够推出这四人对陌生人的社交距离：（）.

实验组甲乙甲丙丙丁

距离/m10715

A.甲〈丁B.甲〈丙C.丙〈甲D.乙〈丙

22

仁+2=1（。>6>0）FF

7.已知椭圆«b2"的左、右焦点分别为4、%,尸为C所在平面内一点,

线段0却尸月分别与C交于48两点，若A为助中点，B为尸鸟靠近巴端的四等分点，

则0的离心率的取值范围是（）.

8.在△/8C中，为/A4c的角平分线（。在线段8c上），CD=1,/O=2,当

N3+/C取最小值时，BD=（）

A.2B.^3c.GTJ

二、多选题（本大题共3小题）

9.下列正方体中，4B、CMN为其顶点、棱中点或面中心，则在其中满足

MN//平面4BC的有：（）.

下列说法正确的是：（）.

A.若/与/'均与。C相切，贝峰=1

B.若/与。°相离，b>2,则/'必与。C相离

,11V14

b=——--

C.若4,/与坐标轴围成的图形面积为2,则/'截。c的弦长为4

D.若不论后取何值，/'均不与。°相切，则方的取值范围是：L2'2_

11.关于函数/（x）=l°gi+logx“a>0，""l）的说法正确的是：（）

A./G）的定义域为（°'+°°）

B./（“）有唯一极小值2

C.）（、）的极大值小于其极小值

D.不存在直线与/（、）的图像在》=1两侧各有一个切点

三、填空题（本大题共3小题）

/（x）=sinxd-----eI0,—

12.小祥同学见到这样一道题：“求函数sinxI2」的最小值”，他的

f（x）=sinx+222Jsinx•=2后

过程如下：“sinxVsinx”.但老师却给他判了错误，他错误

的原因是：；此题的正确答案是：.

八A=^a,b^\z=a+bi,zQ4-z1+z2GR,|Z|2<10,6GN.1,

13.已知集合7111+J。为虚数单位），则

A的非空真子集的个数为：.

14.在三棱锥尸一48。中，BC-PA=26,BA+PC=46,BP=4,ACLBP,BA=BC,二

2兀

面角N-BP-C的大小为三，则C到平面取8的距离为:

四、解答题(本大题共5小题)

15.如图：在斜三棱柱/8C-/4G中，V/BC是边长为2g的等边三角形，四边形

71

/CG4是矩形，CC1=2,直线与平面48C的夹角为3,。为4G中点.

(1)求证：AC1BD.

(2)求直线助与平面Z3C夹角的余弦值.

16.己知抛物线CV2=2px(°>°)的焦点为尸，过尸且斜率为1的直线/与C交于

M、N两点，及亚中点的横坐标为3.

(1)求C的方程；

(2)设“(T」)，5为C上一点，。为直线x=-2上一点，若△/m是以A或8为直角顶

点的等腰直角三角形，求B的坐标.

17.小睿与小金同学进行羽毛球比赛，经过大数据分析，每局比赛小睿获胜的概率均约

3

为

(1)若比赛为三局两胜制：

(i)设比赛结束时比赛场次为X,求X的分布列与数学期望；

(ii)求小金最终获胜的概率；

(2)若比赛为五局三胜制，己知小睿最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率.

z./\12a

18.已知函数/口片+5工，g(x)=(a+x)sinx+cosx{a>0)

(1)证明：随着。的变化，p=g(x)的图像总是经过无穷多个定点，并求出这些定点坐标；

(2)若y=g(x)是轴对称图形，证明：/(X)与g(x)有相同的对称轴；

(3)设'(X)=/(》)+g(x),使N=g(x)是轴对称图形的一系列。值从小到大排列构成数列

包},4(x)是指。=4时〃(X)对应的函数.

471

h(一一-)

(i)判定力〉】时，3与°的大小关系；

2兀2兀

,zx[-2a——-1

(ii)求证：在3'3上有且仅有2个零点.

19.已知有限数集A中有2"(〃eN)个元素，若存在某种分解方式可以将其划分为

〃个两两不交的集合，每个集合中恰有两个元素，记这些集合为4,4,4，一、4,其中

4=｛%，%｝,设|沏-。』=4,的某种排列为等差数列(记为双｝),我们

就称这种划分方式为A的一个“几一分解”，｛4｝的公差称为该划分的“特征值”(对

于同一种划分，特征值取非负数).

⑴尝试写出一种对数集｛123,45,6｝作出的彳一分解，且该划分的特征值为2;

(2)对数集｛1234f8〃-2｝(〃eN)作"分解，且该划分的特征值为1,证明：M｝的

首项不为奇数；

(3)探究并证明：对数集｛L2,3，…，4"+2｝(〃eN)作之一分解至少有3种从属于不同特征值

的不同划分方式.

答案

1.【正确答案】C

【详解】A选项，/（°）无意义，g（°）=°,故两函数定义域不同，错误；

B选项，/（X）的定义域为口+°°）,的定义域为R,错误；

C选项，由解析式可知两函数定义域都是（。，+8）相同，g6）约分后与/（X）相同，C

正确.

故选：C

2.【正确答案】D

【详解】在统计学中，我们使用方差与标准差来刻画某组数据的离散程度，为了研究成

对样本数据是否存在线性相关关系，我们通常先计算这组数据的样本相关系数，后用经

验回归方程来描述或预测这组数据.

故选:D.

3.【正确答案】A

【详解】由条件：B+,丁叩-可〔得到：3同+3麻-1。同比（4，%。,

代入同=2%：侬（咽

故选：A.

4.【正确答案】D

f(x)=sin4x一cos4x=gin?x+cos2x^sin2x-cos2x)

【详解】因为

=sin2x-cos2x=-cos2X（0<X<2K）

令/（X）=f,则=0换元整理为/（/）=一g-1）,

作出图像‘（'）和>=一（'一1）-在上的大致图象，

由图可知两函数在定义域内有两交点，

即方程"'）=一（'一1）2在定义域内有2个实根分别为"'2=x°e（0,1）,

再作出y=/（x）的图像，用＞=°和y=x。与之相交，共有8个实根.

故选：D.

5.【正确答案】B

【详解】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6

法一：用间接法求解：此事件的反面是“甲是本组的最矮的或乙是本组最高的至少成

立其一”，①甲、乙不在同一组：只有124、356一种排法；

②甲、乙在同一组：以上命题不可能同时成立，

注意到剩下四人任取一人与甲乙同组均符合题意，所以由C=4种选法，共有

1+4=5种选法.

C3.C3

而平均分组共有2种方式，所以共有10-5=5种选法.

法二：用直接法求解：

①甲、乙在同一组：容易发现这是不可能的；

②甲、乙不在同一组：那么1、2中至少有一位与乙一组，5、6中至少有一位与甲一

组，

取该事件的反面，即：1、2均不与乙一组且5、6均不与甲一组，4人均分两组共有

C2C2

J种分法，符合事件反面的只有356、124一种，所以共有6-1=5种分法.

故选：B.

6.【正确答案】A

【详解】由甲乙这一组的数据：10m可能是甲或乙（对陌生人）的社交距离，若10m

是甲的，那么甲、丙的距离不可能小于10m,所以10m是乙的；

另一方面，甲、丙距离是7m,说明丙的社交距离小于等于7m,所以丁的社交距离是

15m,

而甲的社交距离小于10m,自然甲小于15m,甲〈丁，A正确；

而甲、丙的关系未知，BC错误，乙是10m,而丙小于7m,故乙〉丙，D错误.

故选：A

7.【正确答案】C

［详解］设.片（-C,。）、瓦（C，。）尸（X/）”（x。,％）,

Ix=2x0+c,

则£/=（%+c,%）,片尸=（2%+2c,2%）,所以1V=2%,

旦+2L1"）:上=1

又A在C上，则//,故4/4b②,

同理：设8（x'»）,由砧=（x'+c，V）,药=（4x'+4c,4了）

---------1---------—1----------------------1---------------

因为8在c上，则a2b2，故/b24①，

322

—a+c

丫一4

联立①式与c的方程得：2c,

3a4c。°J

由于3在C上，贝ljx<a,解得：ca，即.aI

故选：C.

8.【正确答案】C

【详解】设员0"/""^"，/DAC=e,则ae(O,“),

则在△4DC中由余弦定理可得/C?=ND?+Ch_2/。•CD•cosa,

gpAC2=4+l-4cosa,所以ZC=j5-4cosa,

ABBD

由角平分线定理可得~AC~CD,所以/8=xj5-4c°sa

又^AABD+S、ADC=S^ABC,

—•AB-AD•sin0+—•AD-AC-smO=—■AB•NC-sin2。

故222,

化简得x+1=xj5-4cosa•cos。①,

22+(yj5-4cosa)一仔

cos0=------——,=——

而在中由余弦定理2-2-V5-4cos^z

1xe(-,+oo

代人①得X'-cosa.又因为［4。，兀)，所以cosae(-l,l),所以

AB=dx(x+4\AC=,+oo

故

f(x}^AB+AC^Jx(x+4)+,p^

所以7x,

7,()x+2/Jx+22+2x—2

Jx(x+4)卜+4Jx(x+4)xJx(x+4)%Jx(x+4)

所以7%

f'(x)=0=>x=A/3—1>—rr

令2或x=-G—1<0(舍去)，

所以当Xeg'"1)时，/(x)<0,则/(x)单调递减，

当xeg-1,+")时，，㈤>。，则”X)单调递增，

所以x=V^-1时，/(X)取得最小值，即/8+/C取得最小值.

所以4B+/C取得最小值时，BD=C-I

故选：C.

9.【正确答案】ACD

【详解】

对于选项A,分别连接破，CN,易证四边形8cM0为平行四边形，即证九W〃BC,故

A正确；

CN\\BM,CN=-BM

对于选项B,因为2，平移使得N平移至C点，此时M为原

BM中点，不在平面/BC内，故B错误；

z，

B

N

对于选项C,如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,可得:

方=（-2,1,1）,X=（-1,2,-1）,而=（0,2,-2）,

AB-2AC=(O,-3,3)=-^MN

即证平面"8C//MN,故C,正确;

对于选项D,如图所示，作出过3c的与正方体下底面平行的截面的另一条对角线

DN交BC于■€）,

连接力以，易证四边形NMN。为平行四边形，可知九W//平面N8C,D正确.

故选：ACD.

10.【正确答案】BD

【详解】由直线”辰+及可得直线/过定点（T°）,

由\+y2=2x可得圆心C（l,0）,半径为“1,

对于A,7关于直线x=b的对称直线为则直线/'的方程为>

也…=1人+"

由/与圆相切可得病行，解得一一3,

k=y=~^-x+m

当3时，直线/'的方程为3,

由直线厂与圆相切可得

V3V3V3

m=------y=------X----

当3时,1的方程为-33,

两直线交于点（T°）,故6=T,故A错误;

对于B,由题意可得m，解得3或3,

直线尸乙+左与X=b的交点为也kb+k）,

所以直线/'的方程为丁=・"a-3+奶+上,

\-k+2kb+k\_\2kb\\2b\1,.

d=,-------=丁〒>2监1

7P+1k2+\

圆心到直线/'的距离为

所以直线/'与圆相离，故B正确;

—xlxIA:1=i

对于C,令x=°,解得>=左，所以三角形的面积为22,解得左=±i,

1

x=­

不妨设左>°,直线/的方程为y=x+i,与4的交点口,

3

y=-x-\—

所以直线/'的方程为‘2

3

|-1-0+2lV2

d；；

。到/'的距离为V24

L=2M-炉=—

所以弦长2,故C错误;

1」"（26+1训］

对于D,设八蚱一小一26-1）,则VT7F

n(4"T*2_i=o,若不相切,

故①：4〃-1=0=-1*0正确;,成立,

be

5’5」，故D正确.

所以

故选：BD.

11.【正确答案】BCD

【详解】对于A,由/（X）的解析式可得定义域为x>°且xwl,A错误;

1

CL-----

对于B,注意到"二〃。与〃。时函数图像关于％轴对称,

lnx2lna2

/(x);()~()

不妨设易知xlna(lnx)

令f'（x）＞。，解得或（d+"）,故/（X）在10'/和（氏+8）单调递增,

令f’（x）＜0,解得"'匕』或■"）,所以/（X）在和（1〃）单调递减，

所以有唯一极小值/（°）=2,B正确；

心/]=-1-1=-2＜2

对于C,由B可知J1犯有唯一极大值1口，C正确;

(inx0)-(in«)/、

“、”I八十(Xf)+log“X。+10g%a

对于D,/(X)在x=x0处的切线方程为xolna(ln^o)

当x0考虑%>1,

Vki=(I?On20一%)+log,x°+log&a>O>/(x)(O<x<l)

x0Ina(Inx0)

当a<%时,

yL=o=

2

(Intz)(1+Inx0+Inx0-1)Ina

---------------?-------2----0>/(x)(0<x<1)

Ina(inx0)InxQ

所以不存在这样的直线/,D正确.

故选：BCD

12.【正确答案】未验证不等号的取等条件3

【详解】在使用基本不等式时应验证取等条件,

本题若使用基本不等式等号成立的条件为sin2x=2,这是不可能的.

2

一方人sinx=/e（O,l]/W=g（0=?+7Ze（0,11

应该令L」，t,L」

在定义域内g（’）单调递减，故最小值为g°）=3,

所以/（龙）的最小值是3.

故答案为:未验证不等号的取等条件；3.

13.【正确答案】6

［详解］z。+z】+z?=(a?—/+a+1)+Q+2ab>£R故b(l+2a)=0

721+2。=0=>。=—

由于6eN+,所以.2

______=_i_A<V39

又0Ky/a2+b2<V10，令Q2=<—2,贝|J6=1,2,3

,3

V6

14.【正确答案】2

【详解】取/C中点m，连接8”，尸河，由8/=8C,可得

又AC工BP,BPCBM=B,BP,BMu平面BPM,所以/CJ■平面9犯，

又尸Mu平面APW,所以/C1PM,所以/P=PC,

因为BC-PA=26,BA=BC,所以B4-P4=

又BA-PC=46,所以胡一尸/=4g,

取2尸中点为0,在平面中，

以。为原点，丽为x轴，如图建系：

。；+6；=4,所以：3号力=1,4石+豆=1,

由垂直关系：如右图：平面44'C,联立G、G可得：'0，友）,

贝i]8O'=5,A0'=e,/B=j2+25=36,二面角力—BP-C

ZAO'C=—r-

对应的平面角为3,而在RtZUO,「中：APZ3,

PB=4,=3括nS,APB=2及

Tr、丁Tr1rr/T".27rz_2,3

^B-APC=^B-AO'C~^B-PO'C=JXA/2X<2XSIH—(5-I)=

设点°到平面P/5的距离为〃，’

因为/用。=3/，所以33：解得2

15.【正确答案】(I)证明见解析

2s

⑵7

【详解】(I)取£为"C中点，连EB、DE,

由于AB=CB,贝|JBEJ_AC,DE_LAC,

且DEcBE=E,DE,BEu平面BDE,

所以NC，平面DE8,而BOu平面故AC,BD.

(2)

过。作。尸，BE,由（l）可得/CL平面DE8,且/Cu平面/8C,

所以平面8即，平面NBC,又平面BEDc平面/2C=3£,

过。作。尸，5E,。尸u平面出）£,所以。尸上平面4BC,

又DE"CC\,所以直线°。与平面/3C所成角即为直线与平面/8C所成角,

71

所以/。即为CC与平面43C的夹角，大小为W,

DE=CC[=2,则环=1,DF=V3,

又V/8C是边长为2G的等边三角形，则BE=3,

以£为坐标原点，EC£8分别为x,y轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，

所以现0,3,0）,“（0,1,8）,不妨取平面版的一个法向量为万=（°，°』），

则8。=@,-2,6）,设直线与平面/3C所成角为8,

BD-n\V3

sin6=cos(BZ),五

cosS=

故

16.【正确答案】⑴GV=4x

⑵8（0,0）或（1,一2）

【详解】⑴设般“一"5,设"国弘）川（9,力）,

yx+y2=2p

联立〔丁=28二/一2期”=0,所以/%=-2P

■/1-（必+%）2-2yly2_夕2+。_:

九加中点的横坐标为214J282

2

故P=2nC：y=4x;

（2）①以5为直角顶点：

过B作P。/。轴，分别过4。作尸。的垂线，垂足分别为P、Q,由几何关系:

△APB^BQD

联立解得：%=一2,故/I，-2）.

②以A为直角顶点：同理：1-%=1=%=°,故8（0，”

综上：2（。，。）或。，-2）

E（X=——

17.【正确答案】（1）（i）分布列见解析，8；（ii）32

9

⑵51

【详解】（1）解：（i）X可取：2,3

P（X=3）=1-P（X=2）=1-1=3

8

所以X的分布列为:

E(X)=24+3X|T

（ii）小金最终获胜的概率

（2）解：设事件/="小睿最终获胜”，事件8=“共进行了5场比赛”.

18.【正确答案】⑴证明见解析，(心c°s")伏eZ)

(2)证明见解析

一挈<°

⑶(i)<3);(ii)证明见解析

［详解］(1)解：因为g(x)=(a+x)sinx+cosx(a>0),

所以g(x)=>=〃sinx+xsinx+cosx

|sinx=0(x=k7i,(kGZ)

所以当［歹=%sinx+cosx,即［y=cos左"

所以g(x)过定点｛kn,cos,kii)(A：eZ)

(2)解：因为g(x)经过的定点/兀，c°s砧)可知，gG)的对称轴只能为x=E,

所以g(2左兀-x)=g(x),可得［。+(2H-x)］sin(2for—x)=伍+x)sinx,

所以a=-kTif即-a=knf

a

x=-2---a

又因为1(x)的对称轴为2x4,

所以"x)与g(x)有相同的对称轴x=E，(左eZ且％<0).

(3)解：(i)%=师(〃=1，2,3,…)，

47114兀2,nit4兀4兀4兀、,4兀、

1"〃(一~­)=—(一--)+—(----)+(〃兀----)sin(-----)+cos(-------)

所以〃>1时，3432‘3'"3''3)37

是关于〃递减函数,

A„（-—）＜/z（--）

所以当“=2时，37237

似一竺）=一近+叵」＜0

又因为37932

/!„(--)<0

所以3

。=生时，"无）与且卜）均关于尤=-。对称,

(ii)因为

7/、12〃兀z\.

h(%)=—x+—x+(Z7K+%)sinx+cosx

所以42也关于1=一。对称,

2兀2兀

[-2a---—]

而区间3'3也关于x=-。对称,

下面证明""（X）在[-。—3]上有且仅有1个零点:

x+

h'n(x)=(mt+x)(cos~)

当x>-a时，(师+x)=(a+x)>0,

（2兀

工十兀，一§cosxH—2<0,所以43<°；

①当”=1时，则时,

2兀2兀

XG5COSX+—>0

当TT时，2所以

2K2兀2兀

故九（X）在r,FT*T

单调递减，在单调递增,

4（-兀）=-丁1＜0,4（0）=1＞0,

所以4（x）在"’3上有且仅有1个零点成立

h'(x)=(mt+x)(cosx+—)

②当”>1时，由2可知,

h2冗x=--47-r2析,依=-1,0,1,…）

町在区间3上的极大值点为3

47c

-y-2H,(^=-1,0,!,•-•)

令

/]/+〃兀+百〃兀1

则”⑺一72t+~2——2,所以当"f兀时,4（‘）关于’单调递增,

4兀

所以/＜。时，（一Ri而“Me。,

47r

所以4。）在（3'°）有1个零点;

八2兀1

xe0,—h'（x）=（M7T+x）（cosJC+-）>0力

又因为当L