2024-2025学年江西省宜春市丰城市高二年级上册期末考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年江西省宜春市丰城市高二上学期期末考试数学

检测试题

一、单选题：（共8个小题，每小题5分，共40分.）

3+oi

z--

1.己知i为虚数单位，若复数2+i对应的点在复平面的虚轴上，则实数（）

_33

A.2B.2C.6D.-6

【正确答案】D

【分析】利用复数的除法运算整理一般式，可得答案.

3+ai（3+ai）（2—i）6—3i+2ai—ai2（6+a）+（2a—3）i

【详解】由z=K=G+iX2_i）=-Q—=5,

*=0

结合题意，贝I]5,解得a=-6

故选：D.

22

2.“2<|加|<6’,是“方程能2—46-m2表示的曲线为椭圆”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】首先求方程表示椭圆的阳的取值范围，再根据集合的包含关系，即可判断选项.

x2y21

---------1---------=1

【详解】若方程/一46-m2表示椭圆，则

m2-4>0

<6—m2>0

加J4#6-川,解得：2<同<凡且帆

J।V_]

所以"2<|团<后”是“方程机2_46-m2表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.

故选：B

3.记邑为等比数列｛%｝的前“项和，若§3=3,$6=9,则几=()

A.48B.81C.93D.243

【正确答案】C

【分析】根据等比数列的前〃项和先确定公比4/1,再计算$3得力从而计算得$3的值,

即可得55的值.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为1,因为$3=3,$6=9,

若Q=1,则&=3%=3,得q=1,则=6%=6W9,故qw1,

a\(1-q(')

则X~q,所以/=2,

a\(1-q")

§15=j=]_25-3]

S3%(1-)1一/1-2

所以1-q，所以臬=3电=31x3=93.

故选：C.

4.已知抛物线-=4y的焦点为凡准线为/,过点/且倾斜角为30°的直线交抛物线于点

在第一象限)，MN工1,垂足为N,直线N尸交x轴于点D,贝/万卜()

A.2B.百C,4D.20

【正确答案】A

【分析】由已知条件证得△肱历是等边三角形，在Rt^OED中，利用三角函数求1万]

【详解】由已知可得，'(°/)，1°周=1.

如图所示，过点尸作垂足为4

由题得4EN=30°,所以/7W尸=60°.

根据抛物线的定义可知WI=\MN\,

所以AMNF是等边三角形.

因为MNHOF,所以/OFD=/MNF=60°

=2

cosZOFD1

在RtAOFD中,2

故选：A.

5.过直线X—N—m=°上一点尸作o〃：（x-2）2+俨3）2=1的两条切线，切点分别为

A,B,若使得尸幺=尸8=近的点p有两个，则实数加的取值范围为（）

A.-3<m<5B.-5<m<3

C.加〈一5或加>3D.加<一3或加〉5

【正确答案】B

【分析】易得夜，根据题意可得圆心/到直线x-歹一加=（）的距离"<|°尸|,进

而可得出答案.

【详解】O"：6一2）2+（歹-3）2=1的圆心"（2,3）,半径厂=1,

由PA=PB=5,得尸|=J7工1=2正，

由题意可得圆心M到直线x—V—加=0的距离d<2A/2,

匕匕四＜2夜

即6+1,解得一5（加＜3.

故选：B.

6.在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学

生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小

球的概率为（）

112

A.6B.3C.2D.3

【正确答案】B

【分析】利用计数方法结合古典概型求解.

【详解】4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个的方法总数为

4x3x2x1=24种，

恰有1位学生摸到写有自己名字的小球，可以先从4人中选出1人摸到写有自己名字的小

球，另外三人摸到的都不是写有自己名字的小球共=8种，

所以恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为243.

故选：B

7,已知函数/0尸~-，+/-3/+3%,若实数满足D/©,一】）=2,

则xji+y?的最大值为（）

3V23A/25V25V3

A.2B,4C,4D,4

【正确答案】C

【分析】首先对/㈤进行变形，构造函数g（”）=e--:"x）=（x-l）,推得

/（X）其对称中心为（/）,且R上在单调递增，再结合对称性和单调性将

/（x）+/&T）=2转化为苫2+2产=3,再利用基本不等式求解x加产的最大值.

…3J(X)=e"i-e』+x3-3x2+3x=e"-1-e1"+l+(x-lY

【详解】由/\\,

记g(x)=e"T—ej(x-1)3

则g00+g。_x)=e'-1-e1-x+el-e"-1=0,

A(x)+A(2-x)=(x-1)3+(l-x)3=0

1

x-iy-------

且y=e单调递增，"ex-单调递增，

则g(x)与"(x)都关于&°)中心对称且为R上的增函数，

所以/(x)+"2-x)=g(x)+〃(x)+l+g(2-力〃(2-力1=2,

故/(x)关于(1」)中心对称且为R上增函数，

则由/(")+'("T)=2,得，+2/-1=2,可得步+2户3,

记"=%J+「,

/*(1+#=9(2+2力弓2d

则>6,

5后产=2+2/11

-~~r~X2+?v2=3J=

可得4,当且仅当〔工十今一L即〔2取等号，

____52/2

故xJi+下的最大值为4.

故选：C.

关键点睛：本题解决的关键是求得/G）的对称中心，从而得到x,了的关系，进而利用基

本不等式求解最值.

8.如图，在直三棱柱NBC-4用G中，M，N分别为线段4片,cq的中点,

"4=2BC=2,幺8=2J5,平面ABNA平面BBGC,则四面体ABMN的外接球的体

积为（）

411Cl

B

5碗兀

A.3B.I。兀Q5>/107lD.30兀

【正确答案】A

【分析】取5N的中点。，连接C。，由等腰三角形的性质与面面垂直的性质定理证

C。工平面48N,由线面垂直的性质及判定定理证平面进而推出

ABLBN,利用勾股定理及勾股定理的逆定理等证”四工从而确定四面体

ABMN的外接球的球心与半径，利用球的体积公式求解即可.

【详解】如图，取5N的中点。，连接8,

因为CN=BC=1,所以CZ)_L8N.

又平面48NA平面881GC,平面4SNCl平面BBCC=5N,CZ)u平面,

所以平面48N,

又平面48N,所以CD,48.

依题意oG，平面平面48C,

所以CG又CG口C。=C,CCX,CDu平面BgCQ,

所以平面网G。.

又BN,BCu平面BB。。,

所以ABJ_BN,ABJ_BC所以ZC=VAB~+BC2=3

所以ZN=4CN2+AC2=VTo.

连接GM,则。阳=西C；+8阳2=百,

所以MN=15+32=2.

AM=小油+4"=76

所以=AN\

所以4W.

因为Rt^AMN与Rt^ABN共斜边AN,

所以四面体/aiW的外接球的球心为/N的中点,

且外接球半径22

571071

3

故选：A

确定简单几何体外接球的球心有如下结论：（1）正方体或长方体的外接球的球心为其体对

角线的中点；（2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点；（3）直三棱柱的

外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点；（4）正棱锥的外接球的球心在其高线

上；（5）若三棱锥的其中两个面是共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的

球心.

二、多选题：（共3个小题，每小题6分，共18分.）

，/、ax+1

9.函数%+。的大致图象可能是（）

【正确答案】BCD

【分析】对。的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致

图象.

f（x\=-^―Z、

【详解】当。=0时，/是偶函数，当％〉0时，/（'）为减函数，此时对应图象可

能是C；

当a>0时，xeR,令/（x）=°得"/（X）为非奇非偶函数，且

r,z、—ctx^—2x+/

/（）=/2

令》=—ax2—2x+/其对应方程的A=4+4/>0,设其对应方程的两根分别为多，/,

<0<x2）

所以xe（—co,x）/'（x）<0,%€（石,马）,工武法+刃），/'（x）<0,

即函数/（x）在（一*和（/，+°°）上单调递减，在（X1，%）上单调递增,由单调性判断此时

对应图象可能是B；

当"。时，/（X）为非奇非偶函数，/（》）在》=±口处无定义，

取"一2，"+导，吗）=。，…夜时/（加0且小）单增,

X>y[2时/（%）<。且/GO单增，一也<X<41时/（"）单增，

此时对应图象可能是D；

对于A,由于图象无间断点，故。>°,但此时/G）在x<°上不可能恒正，

故选：BCD.

10.已知函数/（'。"。。叱。；），则下列四个命题正确的是（）

A.函数V=/（x）在（一2,4）上是增函数

B,函数了=/（乃的图象关于（1，°）中心对称

2

C.不存在斜率小于§且与数了=〃尤）的图象相切的直线

D.函数y=/a）的导函数不存在极小值

【正确答案】ABC

【分析】先确定函数的定义域，再求导函数，有导函数的符号判断函数的单调性，判断A的

真假；判断了（I—"）=—/0+X）是否成立，从而判断B的真假；对函数的导函数进行分析,

求导函数的值域，可判断CD的真假.

2+x>0

【详解】因为—n-2<x<4,所以函数的定义域为（-24）.

因为：2+「4—x,—2<x<4,所以2,4）时，/'（》）〉0恒成立，所以

】'=/（、）在（—2,4）为增函数，故A正确；

因为：/（I）=ln（3-x）-ln（3+x）,/（l+x）=ln（3+x）-ln（3-x）,故

"1—x）=—/（l+x）,即/（X）得图象关于点（L°）对称，故B正确；

]\_____

因为：/（）2+x4-x-（）,（，），

当》=1时，“1）一3一§为了'（X）的最小值，

22

所以N=/（x）的切线的斜率一定大于或等于不存在斜率小于§的切线，故c正确；

2

V=''（x）有最小值3,故D错误.

故选：ABC

关键点睛：

⑴证明函数的图象关于点3°）对称，需要证明"""）=一""+"）或

/（2a-x）=-/（x）恒成立即可；

（2）证明函数的图象关于直线x=。对称，需要证明—"）=/（"+"）或

/（2"x）=/（x）恒成立即可.

11.著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在R上的函数

八/、［0,x是无理数

°）=11x是有理数

〔'正日票奴.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可

导.根据该函数，以下是真命题的有（）

£＞（X+J）＜£）（X）+Z）（J）

/X.

B.0（X）的图象关于y轴对称

C.’2（x）='9（x））的图象关于y轴对称

D.存在一个正三角形，其顶点均在°G）的图象上

【正确答案】BCD

【分析】特殊值代入验证A,D；利用偶函数定义判断B,C.

【详解】对于A,当片区了=-/时，'（x+yA'R）。

D（72）+D（^V2）=0+0=0^D（x+y）＞D（x）+D（y）故人错误；

对于B,因为,（“）的定义域为R,关于原点对称，

若-x是无理数，则x是无理数，所以。（一力°,°（x）=°；

若-X是有理数，则X是有理数，所以O（T）=1,°（x）=l；

所以。（T）=O（X）,

故,（x）是偶函数，图象关于歹轴对称，B正确;

对于C,由B可知，Mr"。。所以3（r）=09（r））=D9（x））=2（x）,

故Q2（x）=O（Q（x））是偶函数，图象关于歹轴对称，c正确；

/百力

D----,U

3Jc(o，i)

对于D,设7\，，

^AB\=\AC\=\BC\,所以△Z8C是等边三角形,

D0D

，£＞（°）=1,所以AZBC的顶点均在0（x）的图象上,

又因为

D正确.

故选：BCD

三、填空题：（共3个小题，每小题5分，共15分.）

12.等差数列S"｝中的4%023是函数/（》）=/-6*+4》-1的极值点，则

1叫q012=

4

【正确答案】2##-0.5

【分析】先由题意求出4+%。23=4,再利用等差中项求出4012,最后利用对数的运算法则

即可求解.

【详解】函数/一6一+41的定义域为R.

/f(x)=3x2-12x+4

因为%,%）23是函数/⑺=Xj厂+41的极值点,

所以％，。2023是方程/'（x）=3x2-12x+4=0的两根,

所以a\+。2023=4

因为｛""｝是等差数列,

_%+-2023

^1012―

所以

logy1012=1吗2=log2_22=--

所以Wa2

_j_

故答案为.2

13.若耳，鸟是双曲线C：416的两个焦点，尸，。为°上关于坐标原点对称的两

点，且户。门月用，设四边形尸片"的面积为岳，四边形尸片纸的外接圆的面积为邑，

3=

则‘2.

8

【正确答案】5兀

【分析】根据给定条件，探求四边形尸公纸的形状，结合双曲线的定义及勾股定理求出斗，

再求出S2作答.

【详解】依题意，点尸与1［与月都关于原点。对称，且忸a=⑶闾，因此四边形

尸“鸟是矩形，如图，

22

上一匕=1

PQ\=\FF\=2\OF|=274+16=475

由双曲线C：416得：l22

||P^|-|P^||=4

2

岳=附卜|「囚,」\PF,|+

于ZE22

"一二32

2

显然四边形尸相鸟的外接圆半径为°F],因此配=用。尸2「=兀X（2病2=20K

E_32_8

所以S220兀5兀

8

故5兀

14.已知正项数列｛"〃｝的前〃项和S”满足（〃+1）S；+$“—"=°（"为正整数），则

<―<（》）这（*x-H）_rd

'一；记I,若函数N一■72024。）+依的值域为R,则实数

k的取值范围是.

〃，2024、一，2024、

7（一0°,---------）U（------,+°°）

【正确答案】①.〃+1②.20252025

_£__]

【分析】因式分解即可求出再利用%=S"—S"T求出数列的通项公式""nn+1,

ya,=g（x）=人024a）+依=2（4•kM）+日

由裂项相消求和法计算可得t2025.设函数,=1

2024

k土，生〉0

将函数g（x）写出分段函数，根据函数的值域为R和极限的思想可得当后〉°时I

2024

左±Z%<0

当左<0时I,解不等式即可求解.

【详解】因为（"+1应+S〃-〃=。，所以[-〃g+l）=。，

又因为｛""｝是正项数列，所以("+1)S"-"=0,即S"n+1,

Q_1zv_C_C—H_"―1—1

01=^,=---=-1一/1、

当〃=1得1+12,当〃22得〃+1〃〃(〃+1)

111

Q-------=-------

经检验〃=1符合上式，所以“〃(〃+1)〃〃+1.

甥=1」+」+…+11_2024

占'

所以22320242025~2025

2024

g(X)=力024(%)+b=Z(q-W-4)+kx

设函数』

当X£(_oo,1]时g(x)=Q]-1]十%|x-2|+%—3]+…+Q202411—2024|+kx

20242024

=+2a2+34+…+2024〃2024)—(。1++…+“2024_k)x=(左_ZQ,)X+Z(以)

i=l1=1

同理可得，当xe(1,2］时，g(x)=4x+l,

当xw(2,3]时，g(x)=&x+2,

当x£(2023,2024]时g(x)=k2Q23x+2023

20242024

、g(x)=("+Z《)x-Z(i4)

当xe(2024,+8)时，占M

(i=l\z=l

k-X+E的),Xe(-叫1]

V202472024

kxx+\,xG(1,2]

kx+2,xG(2,3]

g(x)=<.2

左2023X+2023,xe(2023,2024]

1=1、Z=1

k+%-Z(以),x£(2024,+«9)

2024J2024其中勺ER0=1,2,…,2023)

即

由函数g(x)的值域为R知,当Q0时，妈/)=一叫螃gax+s,

"忘>。"要>0Q迎i

所以I,即2025,解得2025;

当后<0时，JElg(x)=+8，,吧g(x)=r0,

7.VA7I2024八，2024

k±>ai<0k±--------<0k<----------

所以I,即2025,解得2025,

,2024、।“2024、

(-00,---------)U(---,+8)

综上，实数上的取值范围为20252025.

〃,2024、1“2024、

7(—8,----)U(---,+°0)

故"+1；20252025

2024

Z

g(x)=力024(X)+日=A(a"x-1)+h

关键点点睛：本题的关键点是将函数I转化为分段函

数，利用函数的值域确定关于左的不等式即可求解，其中涉及到极限思想以及数列的求通项

公式和求和知识点，平时练习都要熟练应用.

四、解答题：（5题，共计77分.）

15.公差不为0的等差数列｛恁｝中，前"项和记为S-若对=1，且Si，2s2,4S4成等比数歹U,

（1）求｛。“｝的通项公式；

（2）求数列的前项〃项和

+2〃

【正确答案】（1）%=2〃—1；⑵（〃+1）2.

【分析】

（1）由条件可知4s22=^x454,代入等差数列的前及项和公式，整理为关于“的方程求解

%2〃+1

通项公式；（2）由（1）可知‘Sa〃2'（〃+1）,利用裂项相消法求和.

【详解】解：（1）由已知可得：4S22=S]X4S4,

即.（2+d>=lx（4+6d）,

解得d=0（舍）或d=2

所以％=2〃-1,

（2）由（1）可得S"=〃’，

%_2〃+1=11

所以S£+l—〃2x（〃+1）2—〃2（〃+1）2；

所以5+♦曾4—»“，+（消广少+/小）

1n2+2n

=1--------=-------

（〃+1）2（〃+1）2

本题考查等差数列和等比数列的点到综合，以及裂项相消法求和，属于基础题型，本题的难

点是第二问，注意能使用裂项相消法的类型.

16.如图，在三棱柱'80-4与01中，CA=CB=2,CALCBt。，石分别是以，口的

中点，CQ=C[E=2

（1）若平面/CG41平面BCCA,求点q到平面ABC的距离;

⑵若81=行，求平面”"14与平面8CG片夹角的余弦值.

【正确答案】（1）G

（2）7.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点点距离公式可得点&进而根据面面垂

直得法向量垂直，即可根据向量的坐标运算求解G（0,°'。），根据线面垂直即可求解距离，

（2）根据法向量的夹角即可求解.

【小问1详解】

以C为坐标原点，CA,C3所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

刖2（2,0,0）5（0,2,0）£>（0,1,0）£（1,0,0）

22222222

C］（a,仇c）QD=a+（Z）-l）+cCXE=（a-l）+/7+cQD=C.E

所以a=6,则G（a，a，c）,CN=（2,0,0）,C5=（0,2,0）CQ=（a,a,c）

元CB=0,j2%=0,

设平面5"内的一个法向量〃=（再'必*1）,则［〃CG=°，，即［%+就+叼=0,

令苞=°,贝"］=0,Z\=~a,所以〃=（g°i）,

m-CA=0,

<

设平面"G4的一个法向量=（"2，，2，Z2）,则［m-cq=0,；即

2X=0,

<2

"2+〃％+cz2=0,令%=c,则x=0,z?=-a,所以玩=(O,c,_Q)

因为平面/CG4，平面BCG'1，所以万工沅,

所以万•比=0,即(一。)=°,所以4=0

所以G(o,o,c),所以点G在z轴上，即平面Me,

因为C/u平面/2C,所以CG,C4,

又C3=2,CE=1,所以CG=JC£2_CE2=G

故G到平面ABC的距离为6.

【小问2详解】

由⑴知GS，a，c),由"1=后，则=a,

J(a—1)2+/+/=2

因为GE=2,所以

J1，逅］

1屈

a=——c-------

所以22,所以

/、

ii二

知平面Be。鸟的一个法向量2',平面"CG4的一个法向量

由⑴

/、

沦=0,—

227

设平面ACCiAi与平面8℃1片的夹角为0,

cosS=|

则

即平面'0G4与平面8℃1片的夹角的余弦值为5.

z.

17.如图所示，一只蚂蚁从正方体"co—4用GA的顶点4出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个

顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱

爬行的概率为6,沿正方体的侧棱爬行的概率为3.

(1)若蚂蚁爬行〃次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；

(2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C出现的次数为X,求X的分布列与数学期望.

p1t=-+-f--"l

【正确答案】(1)261

(2)分布列见解析，27

【分析】(1)记蚂蚁爬行〃次在底面/BCD的概率为匕，则它前一步只有两种情况：在下

底面或在上底面，找到关系构造等比数列可得答案.

(2)结合题意易知X=0，l，2,求出对应得概率,列出分布列，计算期望即可.

【小问1详解】

记蚂蚁爬行"次在底面4s的概率为尺，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上底

面,

4=：，4用=；勺+,(1_勺)

结合题意易得，333,

P」=』尸—1_1

用231027〔"2】是等比数列，首项为5,公比为3,

々-。中T]M=。+层]

【小问2详解】

结合题意易得：刀=0,1,2,

当X=2时，蚂蚁第3次、第5次都在0处，

11-212-112-1W221111)1

尸(X=2)=—x—x2x—I—x—x2x—I—x—x2x-X-X-+-X-+-X-

663636636八336666)18

当X=1时，蚂蚁第3次在0处或第5次在0处,

设蚂蚁第3次在c处的概率为右,

11c212cli2°1)(151521、1

6=-x-x2x—I—x-x2x—I—x-x2x—x-x—I—x—I—x—

663636636八666633)18

设蚂蚁第5次在C处的概率为5，

设蚂蚁不过点C且第3次在2的概率为月，设蚂蚁不过点C且第3次在用的概率为“

设蚂蚁不过点C且第3次在A的概率为月，由对称性知，P3=P4,

「111，212cl3n121,22211

366636354,又一3633327,

12117

P-2P,x—x—x2+Bx—x—x2=—

得2?36356654,

.•.尸(x=i)=4+61

41

尸(x=o)=l—P(X=1)—尸(X=2)=M

X的分布列为：

X012

4151

P---------

542718

Q

£（X）=0xQ（X=0）+lxP（X=l）+2xP（X=2）=——

x的数学期望27.

18.如图，一张圆形纸片的圆心为点£,尸是圆内的一个定点，尸是圆£上任意一点，把纸片

折叠使得点尸与P重合，折痕与直线尸£相交于点。，当点尸在圆上运动时，得到点。的轨

迹，记为曲线C建立适当坐标系，点尸（1，°）,纸片圆方程为（x+l>+/=〃，点7（°』）在

。上.

（1）求C的方程;

（2）若点尸,坐标为（T，°）,过尸且不与x轴重合的直线交C于/,8两点，设直线/厂

8厂'与C的另一个交点分别为M,N,记直线“民上亚的倾斜角分别为a,B,当

0一,取得最大值时，求直线的方程.

x2_,

—y2~1

【正确答案】（1）2,

【分析】（1）根据椭圆的定义可判断轨迹形状，继而确定凡仇°的值，即得答案；

（2）讨论。是否为直角，不为直角时，设直线48的方程为了=上（”—1）,设直线/厂'的

方程为>=/（”+1）,联立椭圆方程，结合根与系数的关系式，求出M，N坐标的表达式，

从而化简得到tana,tan/的关系，利用两角差的正切公式，求出tan（。一"）的表达式，分

类讨论，结合基本不等式，求出符合题意的左的值，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意知，以五户中点为原点O,以总尸所在直线为X轴，以E尸的中垂线为y轴建立平面

直角坐标系，

尸是圆内的一个定点，故圆的半径.乂石7",

则|0尸|=|0"|,|。回+。尸卜「,二|0回+|0尸|=|0E|+|0H=耳昉|

x2V2

FF二+TT=1（。＞6＞0）

故点。的轨迹为以乙夕为焦点的椭圆，设椭圆方程为。b,

则其焦距为2c=1EF\=2,.,.c=l）

又点T®D在。上，则b—=/+°2=2,

X22,

—I-y=1

故C的方程为2；

【小问2详解】

7T7T

a--/3=一,a-0=D

当2时，由椭圆对称性得2；

兀

当",时，设直线48的方程为＞=后（"一1）,（无"°）水=1211，

设A（X],必）,8（X2,%），M（13，%），N（%4，歹4）

¥+M=I**=I，£+W=I，4+W=I

则2222

当再~1时，设直线/尸'的方程为"勺（"+1）,贝J西+1

y=kl（x+l）

X2_

5+y2=1,则（1+2奸k+%x+242-2=0

联立

XX=2——2_2——26+1）2

由于直线,尸'过椭圆焦点，则必有A>°,故I+2勺&+1）+2/

2

2-X；-2（X]+1）—3%[-4xl

—

3x,-4一%

%3=，%=

则2X]+3国+112再+3）2x1+3

同理当％时，设直线的方程为＞=（）则2

BP%2X+1,x2+1

X=-3X2-4V二一%

4

贝"2X2+3'42X2+3

%

tanB-%—%=2%+32々+3_k（万一1）（2%+3）—女（马一1）（2石+3）

x4-x33石+43—+4（3西+4）（2/+3）-（3》2+4）（2占+3）

X

故2xx+322+3

5k（x-x）,

——--------9-=5k=5tana

当再=一1时,2,根据椭圆的对称性，不妨设

On

------u-克,tana=.正61口点、

k=^—

-1-14444510

则J

（,462]（41行15后

M-1,一一—,N--,tan/3=k=-

2Zb?JOMN

774满足tan£=5tana

同理当超=-1时，也满足t叫夕=5tana

z八、tana-tan3-4k-4

tariff-p）=------------=-----y=-----

1+tanatan/?1+5左5《,

故k

0,^jtan（6z-^）＜0,6Z-y^＜0

a./3G,

当左＞0时,

a,

当左<o时，

tan（a—夕）=

且

,V5

—5k=k,=-------

当且仅当,即5时取得等号，此时1一〃取得最大值,

7V5V5V5

《-......y_____X_|____

综上1一,取得最大值时，5,直线48的方程为‘55

难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的最值问题，综合性强,

难度大，解答时要设直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系式，求出相关点的坐标,

结合两角差的正切公式化简求解，解答的难点在于计算过程比较复杂，计算量大，并且都是

关于字母参数的运算，因此需要十分细心.

、21-lnx

/（x）=x+-------ax（x<x^

19.已知函数x有两个零点七'21玉（々）

（1）求实数。的取值范围；

（1、

一

（2）求证：人

（3）求证.乙一石<Ja—4<x2—%]

【正确答案】（1）。>2

（2）证明见解析（3）证明见解析

【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性和最值，求实数。的取值范围，再结

合函数的单调性和零点存在性定理，说明零点的情况；

尸(x)=/(x)-/[3

(2)构造新函数1x(并利用导数判断函数的单调性，并结合

"再)=/(/),即可证明；

G](x)=f(x)-fx+-=x2-

(3)设'a，A并求导，可证明

f(x^>x-\---a=h(x),即可证明々.当<J。-，设

Xx

/(工)_卜+=--fl-lnx—]G2(x)=1-lnx--

%】工人设工,并求导，证明

x；-x：>yja2-4

【小问1详解】