2024-2025学年人教版高二数学上学期期末常考基础题型专练（原卷版）

2024-2025学年高二数学上学期

期末常考题型专练

总览卜

一.直线与圆命题的真假判断一*h七.空间中点到直线的距离及两平行直

二.等差数列的性质线间的距离

三.等差数列的概念与判定一*h八.直线的两点式方程

四.等差数列的前n项和（共4小题）一*■h九.圆的标准方程

五.等比数列的性质二十.直线与圆的位置关系（共7小题）

六.等比数列的前n项和二十一.圆与圆的位置关系及其判定

七.错位相减法二十二.由点差法求椭圆的标准方程

八.数列求和的其他方法二十三.椭圆的几何特征

九.数列递推式二十四.椭圆的中点弦

一十.异面直线及其所成的角二十五.抛物线的焦点与准线

一十一.空间向量的数量积运算二十六.直线与抛物线的综合

一"b二.空间向量基本定理、正交分解及坐二十七.抛物线焦点弦与准线

标表示二十八.求双曲线的渐近线方程

一十三.平面的法向量二十九.双曲线的几何特征（共5小题）

一"h四.直线与平面所成的角三十.直线与圆锥曲线的面积问题

一十五.二面角的平面角及求法（共6小题）三•十一.轨迹方程

—h六.由垂直关系求参数三十二.直线与圆锥曲线的定点定值问题

题型汇编知识梳理与常考题型

一.直线与圆命题的真假判断

1.（2023秋•盐田区校级期末）下列说法正确的是（）

A.直线xcos，+岛+2=0的倾斜角的范围是［0,万）

B.直线（3+m）x+4）-3+3冽=0（mG7?）恒过定点（-3,-3）

C.曲线。1：X2+/+2、=0与曲线4%—8>+加=0恰有三条公切线，则冽=4

D.方程J（x+4）2+r一"十一4）2+j/=6表示的曲线是双曲线的右支

二.等差数列的性质

2.（2023秋•金华期末）已知等差数列{%}的公差为-3,若%>0，6<0,则首项外的值可能是

（）

A.18B.19C.20D.21

三.等差数列的概念与判定

3.（2023秋•宝安区期末）若{%}是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（）

A-{|«„|}B.{%+「%,}

C.{pan+q}（p,q为常数）D.{2an+n}

四.等差数列的前n项和（共4小题）

4.（2023秋•南山区期末）记公差不为零的等差数列{%}的前力项和为若&=32+3%+%），

则上=（）

A.13B.12C.11D.10

5.（2023秋•龙岗区校级期末）己知等差数列0}的前“项和为S.，邑=1，风=4，则

%7+%8+%9+。20=()

A.7B.8C.9D.10

6.（2023秋•深圳期末）设等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若％+%+%+/o+/i=2。，则％=（

）

A.150B.120C.75D.68

7.（2023秋•龙岗区校级期末）已知等差数列｛%｝的前"项和为S.，公差dwO,S,U（"eN*）,则

（）

A.。1<0B.d>0C.agoD.S9<0

五.等比数列的性质

8.（2023秋•下城区校级期末）已知等比数列｛凡｝的前“项和为S”，品=1,$30=13，$40=（）

A.-51B.-20C.27D.40

六.等比数列的前n项和

9.（2023秋•温州期末）已知正项等比数列｛%｝的前"项和为S",$3=24+3/，且％=16,则

—•

10.（2023秋•龙岗区校级期末）一个乒乓球从加高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原

来高度的2,在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为m.

3

七.错位相减法

11.（2023秋•嘉兴期末）已知数列也,｝的各项均为正数，其前”项和为S”，且2S“=%（%-1）.

（1）求也,｝的通项公式；

（2）记勿为也,｝在区间（5,„,邑皿）中的项的个数，求数列｛。上｝的前〃项和7；.

12.（2023秋•罗湖区期末）已知数列｛%｝的前"项和为S"，满足a“+i=2S.+4（〃eN"）,且q=4.

（1）求｛%｝的通项公式;

（2）若“=（2”］）”,求数列的｝的前〃项和7；.

八.数列求和的其他方法

13.（2023秋•下城区校级期末）已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足8s“=d+4°,+4.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

2"7"为奇数

（2）若也｝=1%倬将，也J的前〃项和为北，求耳•

一%〃为偶数

、2

九.数列递推式

14.（2023秋•金华期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该

数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4->2->1.这就是数学史

上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数加=6,根据上述运算法则得出

633—103531638—4—2—1,共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.数列出,｝

满足冰雹猜想，其递推关系为：q=皿相为正整数），。m=，52，当巴为偶数时.若%=i,则加

3%+1,当%为奇数时

所有可能的取值为—.

15.（2023秋•罗湖区期末）知数｛%｝满足%=2,%+1=5%+12,则数列｛%｝的通项公式%=.

一十.异面直线及其所成的角

16.（2023秋•罗湖区期末）正方体/BCD-481GA中，〃是月口中点，则异面直线CM与/与所

成角的余弦值是（）

A.交B.WC.交D."

3366

一十一.空间向量的数量积运算

17.（2023秋•深圳期末）如图所示，平行六面体42a）-4月。/）|中，以顶点/

为端点的三条棱长都为2,且NA4。==N2N4=60。，则下列结论正确的是（）

B.西.麻=一|

A.|BDX|=2V2

C.CO"/平面4AoD.AC,±BD

一"I■二.空间向量基本定理、正交分解及坐标表示

18.（2023秋•下城区校级期末）以下四个命题中，正确的是（）

A.^OP=-OA+-OB,则P,A,8三点共线

23

B.若｛%女可为空间的一个基底，则m+石石+/忑+码构成空间的另一个基底

C.（5-i）-?=3-（6•?）

D.若五•B二五•3,且则6=/

--1■三.平面的法向量

19.（2023秋•金华期末）已知日为直线/的方向向量，nt,后分别为平面a,6的法向量（a,p

不重合），那么下列说法中，正确的有（）

A.nxI/n2<=>aII/3B.nxLn2<=>aV/3C.vI!nx<=>l//aD.E_L/=/_La

一十四.直线与平面所成的角

20.（2023秋•温州期末）如图，四棱锥尸-4BCD的底面是边长为1的菱形，NABC=人乃，PDA.

3

平面/3C。，PD=\,〃为P3的中点.

（1）求证：平面M4c，平面PDB；

（2）求CP与平面M4c所成角的正弦值.

一十五.二面角的平面角及求法（共6小题）

21.（2023秋•嘉兴期末）如图，四棱锥尸-/3CD的底面是边长为2的菱形,NBAD=60°,

PAPC,PB=PD,E为尸。的中点.

（1）证明：PC_L平面5EZ）；

（2）若尸£>_L4B,求平面P4B与平面BED夹角的余弦值.

p

22.(2023秋•下城区校级期末)如图，在平行四边形N8CD中，48=1,BC=2,ZABC=60°,

四边形/CE尸为正方形，且平面48co_L平面NCE产.

(1)证明：ABLCF■,

(2)求平面厂与平面4D尸夹角的余弦值.

F

23.（2023秋•宁波期末）如图所示，在三棱锥尸-28C中，侧棱尸/_L底面N2C,BCLAB,

PA=AB=BC=2,〃为棱PC的中点，N为棱3c上的动点.

(1)求证：AM1PB.

⑵若二面角C”-N的余弦值为等，求罪的值.

24.（2023秋•杭州期末）如图，在多面体48cA跖中，四边形4BCD是边长为2的正方形,

EF//AD,AE=2EF=2,ZEAD=nO0,平面/。尸£_L平面/8CO.

(I)求证：BDLCF

（II）求平面ABE与平面BDF所成锐角的余弦值.

25.（2023秋•南山区期末）如图，在四棱锥尸-A8CD中，己知/3//C。，ADLCD,BC=BP,

CD=2AB=4,A4D尸是等边三角形，且£为。尸的中点.

（1）证明：4E7/平面P8C；

(2)当尸/=6时，试判断在棱8c上是否存在点M,使得二面角的大小为60。.若存在,

请求出g竺的值；否则，请说明理由.

BC

26.(2023秋•龙岗区期末)如图，在四棱锥S-中，SALCD,AD//BC,AD1AB,

SB=SD,AB=AD.

(1)求证：SA1ABCD；

(2)若&1=48=40=1,BC=2,SN=XSC(0<X<1),若平面AON与平面SAC夹角的余弦值为

g,求实数2的值.

一十六.由垂直关系求参数

27.(2023秋•南山区期末)己知平面a的一个法向量为为=(1,-1,2),若点/(-I,0,1),

8(2,3,c)均在a内，则|刀|=.

一十七.空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离

28.（2023秋•龙岗区期末）已知4（1,1,1）,2（1,0,1）,瑟=（1,-1,1）,则点N到直线的距离为（）

AV3n26rV6n2V6

3333

一十八.直线的两点式方程

29.（2023秋•宝安区期末）下面说法中错误的是（）

A.经过定点尸（%,%）的直线都可以用方程y-%=左。-%）表示

B.经过定点尸（%,%）的直线都可以用方程x-x（）=-%）表示

C.经过定点4（0,6）的直线都可以用方程y=fcv+b表示

D.经过任意两个不同的点片（西，乂），P2（x2,当）的直线都可以用方程

（＞-%）（%-Xi）=（x-X］）（%-乂）表示

-I■九.圆的标准方程

30.（2023秋•温州期末）已知圆满足：

①截y轴所得的弦长为2；

②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；

③圆心到直线l-.x-2y=0的距离为日.

求该圆的方程.

二十.直线与圆的位置关系（共7小题）

31.（2023秋•盐田区校级期末）已知圆直线/：＞=2x+b相交，那么实数6的取值范

围是（）

A.(-3,1)B.(-00,-V5)C.(石，+oo)D.(-V5,

32.(2023秋•南山区期末)已知圆M:/+J?+6x+8y=0,则下列结论正确的为()

A.M的半径为10

B.A/关于直线x-y-1=0对称

C.直线x-y+3=0被加所截得的弦长为2如

D.若点尸(a,b)在/上，则-3)2+(6-4＞的最大值为25

33.(2023秋•罗湖区期末)已知直线/:加x-y+2-4加=0(mwR)与圆。：X?+/-2x-24=0交于

A,3两点，则()

A.圆。的面积为257rB./过定点(4,2)

C.AAB。面积的最大值为2回D.4欣|力8《10

34.(2023秋•温州期末)已知点P为圆C:(x-4)2+(y-4)2=8上一动点，4(2,0),2(0,2),则点尸

到直线的距离的取值范围是—.

35.(2023秋•金华期末)已知以点/(-1,2)为圆心的圆与直线4:x+2y-13=0相切，过点3(2,3)斜

率为人的直线4与圆/相交于M,N两点，

(I)求圆/的方程；

(II)当|MN|=2M时，求直线的方程.

36.(2023秋•南山区期末)已知圆C:(x-l)2+(j+l)2=4

(1)过点尸(3,2)作C的切线/,求/的方程；

(2)若点。为直线？:3x-4y+13=0上的动点，过0作圆C的切线，记切点为〃，当10Ml取最

小值时，求NCQN的大小.

37.(2023秋•龙岗区校级期末)已知圆0:/+/=1,过点(2,0)的直线/与圆。交于N、B两点

(A、B不重合).

(1)求直线/斜率的取值范围；

(2)当43=行时，求直线/的方程.

二十一.圆与圆的位置关系及其判定

38.（2023秋•金华期末）圆。:/+必-2苫+4了=〃-5。＞0）与圆。:/+/=6的位置关系不可能

A.内含B.内切C.相交D.外切

39.（2023秋•罗湖区期末）圆x2+/=36与圆。-3）2+（了-4）2=81的公共弦的长为.

二十二.由点差法求椭圆的标准方程

22

40.（2023秋•盐田区校级期末）已知椭圆方程为二+斗=1（。＞0力＞0）,其右焦点为尸（4,0）,过点

下的直线交椭圆与/,B两点.若的中点坐标为（1,-1）,则椭圆的方程为（）

二十三.椭圆的几何特征

41.（2023秋•盐田区校级期末）已知月、鸟是椭圆的两个焦点，满足孙J_及里的点M总在椭圆

内部，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.(0,-)

22

42.（2023秋•龙岗区期末）已知尸为椭圆一+匕=1的右焦点，P是椭圆上一动点，点M为圆

43

（x-3）2+（y-3）2=l上一动点，则|PM|+|P尸|的最大值是.

二十四.椭圆的中点弦

22

43.（2023秋•南山区期末）过点M（2,l）作斜率为-1的直线与椭圆C:三+a=1相交于N,3两点,

若〃为线段的中点，则C的离心率为（

41

ADR.----c

-I3I

二十五.抛物线的焦点与准线

44.（2023秋•深圳期末）已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，准线为/,与x轴平行的直线与/和C

分别交于N,8两点，若直线台尸的斜率为6,贝力/切=（）

L4r-

A.4B.20或4C.4或1D.2V3

3

45.（2023秋•宝安区期末）在平面直角坐标系xQy中，设抛物线f=4了的焦点为下，准线为/,P

为抛物线上一点，过点尸作尸交准线/于点/,若直线4F的倾斜角为30。，则点尸的纵坐标

为—,

二十六.直线与抛物线的综合

46.（2023秋•嘉兴期末）已知抛物线C:x2=2py（p>0）的焦点为尸，直线x+4y-40=0与C交于

,%）两点.

（1）求必为的值；

（2）若C上存在点〃，使的重心恰为尸，求/的值及点M的坐标.

47.（2023秋•宝安区期末）已知CD是过抛物线「=8x焦点尸且互相垂直的两弦.

（1）若直线N2的倾斜角为45度，求8弦长;

(2)求----------+----------的值.

\AF\-\BF\\CF\-\DF\

二十七.抛物线焦点弦与准线

48.（2023秋•龙岗区期末）已知抛物线C:廿=2px（p>0）的焦点为尸，斜率为左的直线/经过点尸，

并且与抛物线C交于/、8两点，与y轴交于点与抛物线的准线交于点N,若赤=2丽，

贝心=（）

A.V3B.V2C.±V2D.±73

二十八.求双曲线的渐近线方程

49.（2023秋•南山区期末）已知双曲线口-0=1（。>0,6>0）的焦距为2c,若a,b,3c依次成

ab6

等比数列，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±V2xB.y=±-^-xC.y=±y/ixD.y=±-^-x

二十九.双曲线的几何特征（共5小题）

22_

50.（2023秋•宁波期末）已知双曲线三-==1（°>0,6>0）的离心率为石，其中一条渐近线（斜

ab

率大于0）与圆（x-3）2+（y-2）2=/交于加，N两点，且I肱V|=¥，则r=（）

A.1B.V2C.2D.4

22,A

51.（2023秋•罗湖区期末）已知双曲线A=l（Q〉0,b>0）的离心率为王，则其渐近线方程为

ab3

A.y=~~^~xB.y=±^3xC.y=~~^xD.y=±41x

Y2*4V2

52.（2023秋•盐田区校级期末）已知方程'+工=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的

4-t-\

是（）

A.当1<"4时，曲线C是椭圆

B.当£〉4或,<1时，曲线。是双曲线

C.若曲线C是焦点在X轴上的椭圆，贝h</<2

2

D.若曲线。是焦点在歹轴上的椭圆，贝卜>4

22

53.（2023秋•龙岗区期末）若焦点在x轴上的双曲线C:^+二二=1的焦距为4,则下列结论正

4-22-2

确的是（）

A.2=1B.4=5

C.离心率是型D.两条渐近线的夹角为60。

3

2

54.（2023秋•广州期末）设4,5为双曲线——匕=1上的两点，下列四个点中，可为线段43中

4

点的是（）

A.（2,0）B.（-2,4）C.（1,4）D.（-1,1）

三十.直线与圆锥曲线的面积问题

2

55.（2023秋•盐田区校级期末）已知圆G：（X+3）2+/=9,C2:（x-3）+/=1,动圆加与圆

。2均外切，记圆心加的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）斜率为4的直线/过点G,