2024-2025学年人教A版高二数学 第一章《空间向量与立体几何》单元综合测试卷

第一章空间向量与立体几何单元综合测试卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

UUUIII

1.在长方体瓦G2中，若A8=3i，AD=2j,明=5左，则向量4；在标准正交基｛，"#｝下的

坐标是（）

A.（3,2,5）B.（2,3,5）C.（2,5,3）D.（3,5,2）

【答案】A

【解析】如图，

长方体中，若AB=3i'，AD=2j,A4,=5k,

ULUJLULUULUlULMHULLULIULILllli1i

贝1AC,=AB+BC+CQ=AB+AD+AAl=3i+2/+5左，

所以向量AG在标准正交基｛i，〃｝下的坐标是（3,2,5）.

故选：A.

2

2.空间四边形。43c中，OA=°,OB=b，OC=c，点M在0A上，。加=§。4，点N为的中点,

贝IMN=（）

o

2171

B.——a+—b+—c

322

221

c.D.—a+—b——c

22332

【答案】B

211

如图，连结QV,因0M=§04,点N为5c的中点，贝IJON=5（O3+OC）=]S+C）,

19-211

于是，MN=ON-OM-—（b+c）——a=——a+—b+—c.

23322

故选：B.

]一2

3.已知A,B,C三点不共线，。是平面ABC外任意一点，若由OP=MOA+§O8+2OC（XeR）确定的

一点尸与A,B,C三点共面，则4的值为()

213

A.—B.-C.一

1535

【答案】A

【解析】因为A,B,C三点不共线，点尸与A,B,C三点共面,

19

X0P=-0A+j0B+20C（/leR）,

所以如i＞74=1,解得2=：2.

故选：A.

4.已知向量。=(-1,3,-2)*=(2,-l,3),c=(4,3,相)，若｛4,方,(*｝不能构成空间的一个基底,则实数机的值为

n37

A.-10B.0C.5D.—

7

【答案】C

【解析】因为｛。,6,c｝不能构成空间的一个基底,

所以a=(-1,3,-2),/?=(2,-l,3),c=(4,3,m)共面,

故存在九〃使得c=la+fib,

即2(-1,3,-2)+即2,-1,3)=(4,3,m),

—4+2〃=44=2

故《32-4=3,解得<〃=3

-22+3/z=mm=5

故选：C

5.在正方体中，E,F,G分别是A|A,GR,42的中点，则（）

A.AB//平面EFGB.AC〃平面EPG

C.4cl.平面EFGD.瓦。，平面EFG

【答案】D

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,

设正方体棱长为2,取CG，BC,AB的中点为则平面EFG即为平面EGFMNQ,

故A3与平面EGFMN。相交，故A错误,

£(2,0,1),G(l,0,2),F(0,1,2),Z?)(2,2,2),0(0,0,0),A(2,0,2),C(0,2,0),

则EG=(-1,0,l),EF=(-2,1,1),DBi=(2,2,2),

由于EG•=(2,2,2).(-1,0,1)=O,EF-DBX=(2,2,2)-(-2,1,1)=0,

故=(2,2,2)是平面跖G的一个法向量，故用。，平面EFG,故D正确,

由正方体的性质可得2。与BQ不平行，因此与C不垂直于平面跳6,C错误，

由于AC=(-2,2,-2),AC.O耳=(2,2,2).(-2,2,-2)=Tw0,

故4。=(-2,2,-2)与法向量不垂直，故AC与平面EFG不平行，故B错误，

故选：D

6.已知平行六面体4与。2中，棱AVAB,AD两两的夹角均为60。，M=2AB,AB=AD,E为

8G中点，则异面直线BA与AE所成角的余弦值为()

【答案】D

【解析】根据题意以48,">,/见为基底表示出网，RE可得：

一-一一1

BAi=BA-hAA1=—AB+AAi,D^E—D[C]+CXE—AB——AD,

又棱M，A氏AD两两的夹角均为60。，不妨取AB=AD=1,则朋=2；

2222

所以网=,AB+A41y=^AB+AA,-2AB-AAl=Vl+2-2xlx2cos60=若；

0目=AB一g回=^AB2+^AD2-AB-AD=^l2+1-lxlxcos60=与；

2

yiBAl-DlE=^-AB+AA}y^AB-^AD^=-AB+^AB-AD+AAl-AB-^AAl-AD

111

=-l2+—xlxlxcos60+2xlxcos60——x2xlxcos60=——；

224

1

BA^,D]E4

所以cos

6

因此异面直线BA与D,E所成角的余弦值为!.

0

故选：D

7.已知正四面体ABC。的棱长为2,E是BC的中点，尸在AC上，且AF=3FC，则AE-。尸=（）

【答案】C

【解析】如图:

取AB，AC，为基底，则,目=卜4=，4=2,AB,AC=AB,AD=AC,AD=60°,

所以ABSC=AB-A£>=AC-AD=2x2xcos60o=2.

•1.13

又AE=—A5+—AC,DF=AF-AD=-AC-AD.

224

所以AE.Z)F=[gA2+jAc}]：AC-Aoj=^AB-AC-^AB-AD+^AC—ACAD

故选：C

8.已知一对不共线的向量明。的夹角为e,定义&为一个向量，其模长为|dxb卜同小卜由凡其方向

同时与向量。，b垂直（如图1所示）.在平行六面体（MCB-OACF中（如图2所示），下列结论错误的

是（）

B'C'

图1图2

A.SOAB=—IOAXOBI

B.当时，=OAOBtanZAOB

C.若网=烟=2,OAOB=2,贝”OAXM=6

D.平行六面体OACB-OAC'B'的体积V=|OO,-（0Ax0B）|

【答案】C

【解析】对于A,SAABO=11OA||OB|sinZAOB,而|OAxOB|=|OA||。即sin/AOB,故

S^ABO=^\OAXOB\,正确；

对于B,OAOB=\OA\\OB\cosZAOB,当NA08e时，tan/AOB有意义，贝U

\OAOBtanZAOB|=|OA||OB|sinZAOB=\OAxOB|,正确；

对于C,因为|名|=|茄|=2,0408=2，所以cosNAOB=；,sinZAOB=—,所以|OAx02|=2后，

22

错误；

对于D,QAxOB的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可

知，

|。。、（。4*。8）|就是00，在垂直于底面。4。5的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底

面的面积，即为平行六面体的体积，正确.

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.直线/的方向向量为“，两个平面％力的法向量分别为公松,则下列命题为真命题的是（）

A.若则直线/_!■平面a

B.若则平面crJ■平面夕

C.若cos（%,〃2）=g,则平面a,£所成锐二面角的大小为方

D.若COS（M,%）=¥，则直线/与平面a所成角的大小为三

【答案】BCD

【解析】由"，％,则直线”/平面a或/ua,故A错误；

由则平面。_1_平面夕，故B正确；

若cos4,%=，设平面a和平面夕所成角为e,且0,-,

贝I]cos0=|cos&,〃21=g，

所以平面名方所成锐二面角的大小为g,故C正确；

设直线/与平面。所成角为7,

则sin/=gs〃闯=,且/£0,—,

所以直线/与平面a所成角的大小为三，故D正确.

故选：BCD.

10.在空间直角坐标系。孙z中，已知A（T,0,0）,B（l,2,-2）,C（0,0,—2）,D（2,2,—4）,则以下正确的是

（）

A.ACAB=6B.AC,AB夹角的余弦值为反

6

C.A,B,C,。共面D.点。到直线的距离是逅

3

【答案】ACD

【解析】因为4?=(2,2,—2),AC=(l,0,—2),所以A0A2=6,A正确;

/“ACAB6V15

47,48夹角的余弦值为85（4^^）==2力><6=飞-，所以B错误;

因为AD=（3,2,-4）,所以AD=A2+AC，所以A,B,C,。共面，所以C正确;

OAAB

因为。4=（-1,0,0）,所以

正确.

故选:ACD.

11.如图，在长方体ABC。-ABCQI中，AB=AO=2,A4=1,点M为线段BQ上动点(包括端点)，则

下列结论正确的是()

A.当点〃为8Q中点时，G/，平面8BQD

B.当点又为百"中点时，直线与直线3C所角的余弦值为受

3

C.当点〃在线段片2上运动时，三棱锥C-BOM的体积是定值

D.点”到直线BG距离的最小值为"

3

【答案】ACD

【解析】在长方体ABCD-ABIGR中，以点。为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则£>(0,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),G(0,2,1),(0,0,1),Bx(2,2,1),设04Y2,

对于A,t=l,"(I』』)，MCX=(-1,1,0),DR=(0,0,1),DB=(2,2,0),

MC1-DDX^0,MCtDB=0,即MG，_L08,

而DR。5=。,。。1，。3匚平面5耳。1。，因此G"，平面A正确；

DM•BC2A/3

对于B,0M=(1,1,1),BC=(—2,0,0),cos〈MC],5C〉=----------=〒—=—,B错误；

\DM\\BC\y/3x23

对于C,由选项A知，点。到平面网的距离为行，而一瓦加的面积;2DQQ=后,

因此三棱锥G-BDM的体积:是定值，C正确；

2

对于D,Bq=(-2,0,1),QM=,则点M到直线BCX的距离d=©M|/。”的夕

VIBGI

=^2+(t-2)2-y-=^t2-4t+4=J|a-|)2+|>2^,当且仅当f=g时取等号，D正确.

故选：ACD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.如图，在空间四边形04BC中，G是VABC的重心，^OG=xOA+yOB+zOC,贝U

尤+y+z=.

【答案】1

【解析】。为AB中点，连接。。，CD,^OD^OA+\OB,

22

G是VA5c的重心，则G在CO上，且CG=2GD,

即CG=2GD，则有OG_OC=2（OD_OG）,

所以OG=2O£>+LOC=2COA+LO8]+JOC=,OA+LO8+』OC,

333U2J3333

可得无=y=z=；,则有x+y+z=l.

故答案为：1

，币：1、

13.如图，在空间直角坐标系中，BC=4,原点。是BC的中点，点A-y,-,0，点。在平面yOz内,

且/3DC=90。，ZDCB^30°,则AD的长为.

【答案】A/6

【解析】过点。作DELBC,垂足于点E,如图所示:

所以3r>=BCsin30=2.

BE=BDsin30=1,DE=BDcos30=6

因为OE=O3—BE=1,O（0,-1,G）,

所以AD

则AD的长为后.

故答案为：瓜.

14.已知梯形CE田如图1所示，其中尸£>=8,CE=6,A为线段尸。的中点，四边形A3CO为正方形，现

沿A8进行折叠，使得平面平面ABCD,得到如图2所示的几何体.已知当点/满足

AF=2AB(O<2<1)时，平面DEF，平面PCE,则7的值为.

图1图2

3

【答案】-/0.6

【解析】如图，以A为坐标原点,

AB,ARAP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

C(4,4,0),D(0,4,0),E(4,0,2),P(0,0,4),F(42,0,0),

则PE=(4,0,-2),PC=(4,4,-4),EF=(4(2-1),0,-2),DE=(4.-4,2),

若〃?=(x,y,z)是平面DEF的一个法向量,

j4(2-l)x-2z=0,

4y+2z=0,

,2),

可得"2=

若n=(a,b,c)是平面PCE的一个法向量,

4a—2c=0,/、

则4,+4-。可得"=(U'2).

由平面£>EF_L平面尸CE,得机.〃=0,

14

即」一+/一+4=0,

2-12-1

3

解得X=

故答案为：!3

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

ITIT

如图所示，平行六面体ABCO-ABIGA中，AB=AD=l,AAx=2,ZBAD=-,ZBAAl=ZDAAl=-.

⑴用向量AB,AD,例表示向量即，并求卜

⑵求直线BDX与直线AC所成角的余弦值.

【解析】(1)BD}=ADl-AB=AD+AAl-AB,

贝I]g|2=(AD+A41-AB)2=AD2+AA；+AB2+2AD-AA,-2AD-AB-2AB-AA,

=l+4+l+2xlx2x0—2x2x1x—=6,

22

所以,叫=五

(2)由空间向量的运算法则，可得AC=A2+AZ),

TTTT

因为AB=AD=l,AAl=2^ZBAD=^,ZBAAl=ZDAA.=；,

所以|AC|=3,

22

BDCAC=^AD+A^~AB^AB+AD^=AD-AB+AD+AA,-AB+A^-AD-AB-AD-AB

7C27C27C

=lxlxcos—+1+2xlxcos—+2xlxcos——1-Ixlxcos—=2,

2332

nc"一BD「AC_2_V3

则BD,与AC所成的角的余弦值为B

3

16.(15分)

已知空间三点A(T1,2),8(-3,0,5),C(0,-2,4).

(1)求VABC的面积；

(2)若向量CD//AB，且|c"=回，求向量C。的坐标.

【解析】（1）设向量AB,AC的夹角为e,

由空间三点A(-l,l,2),B(-3,0,5),C(0,-2,4),可得AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

\AB\=^/(-2)2+(-l)2+32=屈，|AC|=^l2+(-3)2+22=岳,

ABAC(-2)xl+(-l)x(-3)+3x2£

可得cos0=

HRV14xVi42

jr

因为0«。《兀，所以

所以三角形的面积为SABC=||AB|.|AC|-sin6»=1x7i4xV14x^=173.

（2）因为C£>〃A8，所以C£）=；IAB，其中/LeR,

因为口4=仞，可得|斗,q=何，即冈=乎,

所以。=±乎.48=±半（-2,-1,3）,

17.(15分)

如图，在四棱锥尸—ABCD中，尸。=2,4。=1,尸。，。4尸£），£）。，底面ABC。为正方形，分别

⑴求证：R4〃平面MNC；

（2）求直线尸3与平面MNC所成角的正弦值；

（3）求点B到平面MNC的距离.

【解析】（1）证明：因为N分别为A。，尸。的中点,

所以上4//MN,

又R4N平面MNC,ACVu平面MNC,

故R4//平面MNC；

(2)由于P。_1。4,尸。_1。。,71£)门。。=。,4£),。。(=平面438,

所以平面ABC。，

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则8(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),M(；,0,0),MO,0,D，

所以尸B=(1,1,-2),NC=(O,l,-1),MV=(-1,0,1),

设平面MNC的法向量为n=(x,y,z),

n-MN=--x+z=0

则<2，令y=1,则z=1,x=2,

n-NC=y—z=0

故力=(2,1,1),

设直线形与平面肱VC所成角为夕，

I/\!\PB^n\11

贝!Jsin0=cos(PB,〃)=।—r--=/~~/=—,

।'八PB|n|71+1+4x74+1+16

故直线PB与平面MNC所成角的正弦值为:；

6

(3)因为BC=(0,1,0)-(1,1,0)=(-1,0,0),

又平面MNC的法向量为"=(2,1,1),

所以点B到平面MNC的距离为"=里乌=J.=£.

如图，尸£>_L平面ABC2AD_LCnAB〃a),PQ〃CE>,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,煎E,F,M分

别为”,CD,8。的中点.

⑴求证：及7/平面CPM；

（2）求平面QPM与平面CPM夹角的正弦值;

7T

（3）若N为线段CQ上的点，且直线ON与平面所成的角为:，求N到平面的距离.

6

【解析】（1）连接因为AB//CD，PQ//CD,所以AB〃P0,又因为=所以尸ABQ为

平行四边形.

由点E和“分别为AP和8Q的中点，可得四//48且皿/=的,

因为AB〃CD,CD=2AB,歹为CD的中点，所以CF/MB且CF=AB,

可得EMUCF且EM=CF,即四边形EFCM为平行四边形,

所以EF//MC,又EF.平面MPC,CMu平面MPC,所以EF〃平面MPC.

（2）因为平面ABCD,AD±CD,可以建立以。为原点，分别以DADGDP的方向为x轴，y

轴，z轴的正方向的空间直角坐标系.

依题意可得。（0,0,0）,A（2,0,0）Q（2,1,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,g（0,l,2）,M（l,l,l）.

尸M=(1,1,-1),PQ=(0,1,0),C"=(1,T1),PC=(0,2,-2),

设4=（x,y,z）为平面PMQ的法向量,

几i•PM=0\x+y—z=0/、

则即jy=0,不妨设z=l,可得々=(1,0,1),

ncPQ=0

设%=（%,乂，4）为平面加?。的法向量,

nPC=02M-2Z]=

则2不妨设Z1=l,可得巧=（0,1,1）,.

n2,CM=0X|-+Z]=0

一一n.-n1.、

—丽9=5于是sin/同=1A.

所以，二面角PM-C的正弦值为且.

2

(3)设QN=2QC(OW241),即。N=4QC=(O,/l,-2X),贝1|N(0"+l,2-24).

从而£>N=((U+l,2-2；l).

由由)知平面PM。的法向量为4=(1,0,1),

邛•闻1|2-22|

由题意，sin^=\cos[^DN,^

I叫匐，即'一

整理得3几2_10几+3=0,解得或4=3,

112-2

因为0W4W1所以2=屋所以QV=]QCnNC=§QC=](O,L-2).

\NC-nA21V2

则N到平面CPM的距离为d=—_y___—__

引-3V2-3

离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设尸为多面体〃的一个顶点，定义多面体M在点尸处的离散

曲率为“=l_1(N2PQ2+NQ/03++NQ"/2+N&PQ)，其中24=1,2,，左，左23)为多面体”的

2兀

所有与点尸相邻的顶点，且平面。尸。2,平面2尸。3,…，平面2T尸以和平面2尸。1为多面体M的所有以

P为公共点的面.如图，在三棱锥P-ABC中.

(1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和;

3

(2)若PA，平面A3C,AC±BC,AC=3C=2,三棱锥尸-ABC在顶点C处的禺散曲率为『

O

①求点A到平面PBC的距离;

②点。在棱PB上，直线C。与平面ABC所成角的余弦值为我，求BQ的长度.

6

【解析】(1)根据离散曲率的定义得①,=1一］