山东省济南市莱芜区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

2023—2024学年度第一学期期末考试九年级数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确．2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟．3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔．4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡．选择题部分共40分一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列几何体中，俯视图是三角形的是（）A. B.C. D.2.下列函数中，随的增大而减小的是（）A. B.C. D.3.不透明的盒子中装有红色棋子和蓝色棋子若干个；其中红色棋子15个．每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到蓝色棋子的概率是，则蓝色棋子个数是（）A.5 B.10 C.15 D.204.下列说法正确是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.平分弦的直径垂直于弦C.圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角D.圆的切线垂直于半径5.如图，在中，，则（）A. B. C. D.6.如图，是的切线，是切点，是弦，过圆心，若，则（）A. B. C. D.7.如果，点，都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（）A. B. C. D.8.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（）A. B. C. D.9.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（）A. B.C. D.10已知：二次函数．下列结论：①抛物线的开口向上，当时，随增大而增大；②当时，抛物线与轴有两个交点；③若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，则的取值范围是；④抛物线与直线可以存在唯一公共点．⑤若是抛物线上的两点，则．其中正确的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5非选择题部分共110分二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．）11.线段的正投影，其形状可能是______．（写出一个即可）12.圆中一条弦所对的圆心角是，则这条弦所对的圆周角的度数是______．13.抛物线图象向左平移3个单位，再向上平移7个单位，所得图象的解析式为，则______．14.如图，正方形的边在正六边形的边上，则______度．15.如图1，一个扇形纸片的圆心角为，半径为10．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为______．（结果保留）16.如图，在中，，延长斜边到点，使，连接，若，则______．三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.计算：18.已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．（1）求一次函数的解析式和的值；（2）求的面积．19.莱芜红石公园西北角有一红色八角空心七层宝塔“赢圣塔”．某校数学兴趣小组的同学对其高度进行了测量．如图，他们在处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至处，测得仰角为，问该塔的高度为多少？（学生的身高忽略不计，，结果精确到）20.如图，是的弦，是的半径，垂足为是的切线，为切点，连结并延长交切线于．（1）求证：；（2）若，求的长（结果保留）．21.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有汉字“大”、“美”、“云”、“南”的小球，这些小球除标的汉字不同之外，没有任何区别．标有汉字“大”、“美”、“云”、“南”的小球分别用学母“A”，“B”，“C”，“D”表示．（1）若从袋中任取一个球，则球上的汉字刚好是“美”的概率为___________；（2）若同时从袋中任取两个球，请用列表法或画树状图法求取出的两个球上的汉字恰能组成“大美”或“云南”的概率22.随着数字转型世界大会召开，引领时尚，无人机走进人们生活．周末数学小达人小华利用无人机来测量汶河上，两点之间的距离（，位于同一水平地面上），如图所示，小华站在处遥控空中处的无人机，此时他的仰角为，无人机的飞行高度为，并且无人机测得河岸边处的俯角为，若小华的身高，（点，，，在同一平面内）．（1）求小华的仰角的正切值；（2）求、两点之间的距离．23.随着科技的日新月异，冬天人们也可以吃到香甜可口的草莓，草莓被誉为“水果皇后”．近日“牛奶草莓”上市，深受广大消费者的青睐，市场销售情况喜人．某水果店以每公斤30元的价格购进一批“牛奶草莓”，若按每公斤46元的价格销售，平均每天可售出65公斤，结合销售记录发现，若售价每降低2元，平均每天的销售量增加10公斤，水果店恰遇店庆，为答谢新老顾客，该水果店决定降价销售．（1）若一次降价4元，则每天的销售利润为多少元；（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售“牛奶草莓”获得利润最大？最大利润是多少元？24.如图，是的直径，是的弦，，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若，且的半径，求的长．25.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移个单位，与轴交于点，与双曲线交于点．（1）求反比例函数和直线的表达式；（2）求点的坐标；（3）在轴上是否存在一点，使是以为腰等腰三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．26.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标．

2023—2024学年度第一学期期末考试九年级数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确．2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟．3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔．4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡．选择题部分共40分一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列几何体中，俯视图是三角形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．【详解】解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；D、俯视图是圆，故本选项不合题意．故选：B．2.下列函数中，随的增大而减小的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】此题考查了反比例函数，一次函数和二次函数的图象及性质，根据图象及性质逐项判断即可，熟练掌握反比例函数，一次函数和二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】、由可知，则在每一象限内，随的增大而减小，此选项符合题意；、由可知，则随的增大而增大，此选项不符合题意；、由可知抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，此选项不符合题意；、由可知，则随的增大而增大，此选项不符合题意；故选：．3.不透明的盒子中装有红色棋子和蓝色棋子若干个；其中红色棋子15个．每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到蓝色棋子的概率是，则蓝色棋子个数是（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了已知概率求数量问题，设蓝色棋子有个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可．熟知概率计算公式是解题的关键．【详解】解：设蓝色棋子有个，由题意得，，解得：，经检验：是方程的解，∴蓝色棋子有5个，故选：A．4.下列说法正确的是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.平分弦的直径垂直于弦C.圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角D.圆的切线垂直于半径【答案】C【解析】【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，圆内接四边形，切线的性质，掌握相关知识点，逐一进行判断，是解题的关键．【详解】解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，选项错误；B、平分弦（不是直径）直径垂直于弦，选项错误；C、圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角，选项正确；D、圆的切线垂直于过切点的半径，选项错误；故选C．5.如图，在中，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正切．熟练掌握是解题关键．由题意知，，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，∴，故选：D．6.如图，是的切线，是切点，是弦，过圆心，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了切线的性质，圆周角定理以及直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，由圆周角定理及直角三角形的性质可得，即可求解．解题的关键是熟练掌握相关基础性质．【详解】解：连接，∵是的切线，∴，∵，∴，∴，故选：B.7.如果，点，都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性进行判断即可．掌握反比例函数的性质，是解题的关键．【详解】解：∵，，∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，∵，点，都在反比例函数的图象上，∴，故选：D．8.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了圆锥的有关计算，设此圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的周长等于底面圆的周长，列方程求解即可．解题的关键是掌握弧长公式，理解扇形的周长等于底面圆的周长．【详解】解：设此圆锥底面圆的半径为，根据扇形的周长等于底面圆的周长可得，，解得，圆锥底面圆的半径为，故选：C．9.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数图象的知识，关键是掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质．先根据二次函数的图象确定系数，，，然后判断出一次函数和反比例函数图象所在的象限逐一判断即可．【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，∴，，∵对称轴，∴，∴直线过二、三、四象限，反比例函数的图象位于一、三象限，故选A．10.已知：二次函数．下列结论：①抛物线的开口向上，当时，随增大而增大；②当时，抛物线与轴有两个交点；③若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，则的取值范围是；④抛物线与直线可以存在唯一公共点．⑤若是抛物线上的两点，则．其中正确的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据的符号，对称轴判断①；根的判别式判断②；根据时，，时，，列出不等式组，求出的值，判断③；根的判别式，判断④，增减性判断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键．【详解】解：∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴当时，随增大而增大；故①正确；当时，，∴抛物线与与轴没有交点，故②错误；若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，则：时，，时，，∴，∴；故③正确；联立，得：，，∴抛物线与直线有2个交点，故④错误；∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，∵，∴；故⑤正确；故选B．非选择题部分共110分二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．）11.线段的正投影，其形状可能是______．（写出一个即可）【答案】线段或点【解析】【分析】本题考查正投影．根据题意，线段的正投影可能是线段，也可能是一个点，进行作答即可．掌握正投影的定义，是解题的关键．【详解】解：线段的正投影，其形状可能是线段，也可能是一个点，故答案为：线段或点．12.圆中一条弦所对的圆心角是，则这条弦所对的圆周角的度数是______．【答案】或【解析】【分析】本题考查圆周角定理，分弦所对的弧为优弧和劣弧两种情况进行讨论即可．解题时，要注意分类讨论．【详解】解：当弦所对的弧为劣弧时，∵该弦所对的圆心角是，∴这条弦所对的圆周角的度数是；当弦所对的弧为优弧时，则：这条弦所对的圆周角的度数是；故答案为：或．13.抛物线图象向左平移3个单位，再向上平移7个单位，所得图象的解析式为，则______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，首先把化成顶点式，然后再根据平移方法可得，即可求解．关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．【详解】解：，将该函数图象向左平移3个单位，再向上平移7个单位，得：，∴，故答案为：．14.如图，正方形的边在正六边形的边上，则______度．【答案】【解析】【分析】本题考查多边形内角和，以及正方形性质，根据边形内角和为，求出正六边形的内角和，算出，再结合正方形性质根据，即可解题．【详解】解：正六边形的内角和为，，四边形正方形，，，故答案为：．15.如图1，一个扇形纸片的圆心角为，半径为10．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为______．（结果保留）【答案】【解析】【分析】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，即可得到答案．【详解】解：由题意可得，在中，，∴，∴，；∴；∴阴影部分的面积；故答案为：．16.如图，在中，，延长斜边到点，使，连接，若，则______．【答案】##0.15【解析】【分析】本题考查了正切，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正切，相似三角形的判定与性质是解题的关键．如图，作交于，则，证明，则，即，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，作交于，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.计算：【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数及负指数幂的运算，特殊角三角函数值，绝对值的化简，二次根式的化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．先分别计算零指数及负指数幂的运算，特殊角三角函数值，绝对值化简及二次根式的化简，最后相加减即可．【详解】原式．18.已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．（1）求一次函数的解析式和的值；（2）求的面积．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合．（1）把点代入求得的值，再求得，利用待定系数法即可求解；（2）利用三角形的面积公式即可求解．【小问1详解】解：由题意可得：点在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数的解析式为，将代入，得：，即，∵一次函数图象经过，∴，解得：，∴一次函数的解析式为；【小问2详解】解：设一次函数的图象与轴交于点，当时，，∴点，∴，∴．19.莱芜红石公园西北角有一红色八角空心七层宝塔“赢圣塔”．某校数学兴趣小组的同学对其高度进行了测量．如图，他们在处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至处，测得仰角为，问该塔的高度为多少？（学生的身高忽略不计，，结果精确到）【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．设“赢圣塔”的高度，根据题意可知，则，在中，由，得，求解即可，利用特殊角的三角函数值求解是解答本题关键．【详解】解：设“赢圣塔”的高度，由题意可知，∵，则，∴，∵，∴，在中，∵，∴，即，∴，答：塔的高度约为．20.如图，是的弦，是的半径，垂足为是的切线，为切点，连结并延长交切线于．（1）求证：；（2）若，求的长（结果保留）．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，求弧长．掌握切线垂直于过切点的半径，弧长公式，是解题的关键．（1）垂直，得到，切线，得到，进而得到即可得出结论；（2）垂径定理，得到，易得是等腰直角三角形，勾股定理求出的长，再用弧长公式进行计算即可．【小问1详解】解：∵，∵是的切线，∴，∴；【小问2详解】∵，又∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴的长．21.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有汉字“大”、“美”、“云”、“南”的小球，这些小球除标的汉字不同之外，没有任何区别．标有汉字“大”、“美”、“云”、“南”的小球分别用学母“A”，“B”，“C”，“D”表示．（1）若从袋中任取一个球，则球上的汉字刚好是“美”的概率为___________；（2）若同时从袋中任取两个球，请用列表法或画树状图法求取出的两个球上的汉字恰能组成“大美”或“云南”的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因为袋里共有四个球，所以任取一球，其上面汉字为“美”概率；（2）列表求恰能组成“大美”或“云南”的次数和所有可能出现的结果数，求概率即可．【小问1详解】解：∵袋里装有四个分别标有汉字“大”“美”“云”、“南”的小球，∴任取一个球，则球上的汉字刚好是“美”的概率【小问2详解】解：列表格，如图大美云南大（大，美）（大，云）（大，南）美（美，大）（美，云）（美，南）云（云，大）（云，美）（云，南）南（南，大）（南，美）（南，云）由表格可知恰能组成“大美”或“云南”的次数为4，所有可能出现的结果数为12，∴事件A的概率．【点睛】本题考查概率，解题的关键是掌握概率公式和列表法求概率．22.随着数字转型世界大会的召开，引领时尚，无人机走进人们生活．周末数学小达人小华利用无人机来测量汶河上，两点之间的距离（，位于同一水平地面上），如图所示，小华站在处遥控空中处的无人机，此时他的仰角为，无人机的飞行高度为，并且无人机测得河岸边处的俯角为，若小华的身高，（点，，，在同一平面内）．（1）求小华的仰角的正切值；（2）求、两点之间的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理，解直角三角形，以及矩形的性质，（1）作于，于，得到四边形是矩形，推出，在中，利用勾股定理，得到，最后根据，即可解题．（2）利用矩形的性质得到，再利用，求得，最后根据，即可解题．【小问1详解】解：作于，于，无人机的飞行高度为，，由题意可得，四边形是矩形，，，，，在中，，，；【小问2详解】解：四边形是矩形，，无人机测得河岸边处的俯角为，，，即，解得，，，两点之间距离．23.随着科技的日新月异，冬天人们也可以吃到香甜可口的草莓，草莓被誉为“水果皇后”．近日“牛奶草莓”上市，深受广大消费者的青睐，市场销售情况喜人．某水果店以每公斤30元的价格购进一批“牛奶草莓”，若按每公斤46元的价格销售，平均每天可售出65公斤，结合销售记录发现，若售价每降低2元，平均每天的销售量增加10公斤，水果店恰遇店庆，为答谢新老顾客，该水果店决定降价销售．（1）若一次降价4元，则每天的销售利润为多少元；（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售“牛奶草莓”获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）1020元（2）销售单价定为每公斤44.5元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1051.25元【解析】【分析】本题考查二次函数的应用：（1）根据题意和题目中的数据，可以求出一次降价4元时，每天的销售利润；（2）根据题意，可以写出w与销售单价之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质，即可得到w的最大值．【小问1详解】解：根据题意，降价4元则销售量为：，销售利润为：，答：若降价4元，则每天的销售利润是1020元；【小问2详解】解：设每公斤销售单价降了元，根据题意得：，∵当时，有最大值，最大值为1051.25，此时，答：销售单价定为每公斤44.5元时，每天销售“牛奶草莓”获得的利润最大，最大利润是1051.25元．24.如图，是的直径，是的弦，，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若，且的半径，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形．掌握直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数的定义，是解题的关键．（1）连接，圆周角定理，得到，，结合等边对等角，推出，即可得出结论；（2）根据，得到，求出的长，再根据，进行求解即可．【小问1详解】证明：连接，∵，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，即，∴是的切线；【小问2详解】∵，且的半径，∴，∴，∵，∴，∴．25.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移个单位，与轴交于点，与双曲线交于点．（1）求反比例函数和直线的表达式；（2）求点的坐标；（3）在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点坐标；若