2024-2025学年山东省临沂市部分县区高二年级上册学科素养水平监测数学试卷（含解析）

2024-2025学年山东省临沂市部分县区高二上学期学科素养水平

监测数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.直线x+回T=°的倾斜角为（）

A.30。B.60。C.120°D.150。

椭圆的离心率为（

2.16,+25^=400)

_L334

A.2B.5C.4D.5

1为平面a的法向量，若/,a

3.已知/=（一4，1，3）是直线/的方向向量,

则歹=（）

_2525

A.4B.4C.4D.4

4.若圆°1"2+/_1=0与圆C2：x2+「一6歹+机=0有

3条公切线，则加=（）

A.5B.4C.3D.2

/(一

5.空间三点1,0,3),8(1,1,0),C(-2,3,1),则以肛NC为邻边的平行四边形的面

积为（）

77G

D.76

A.2B.FC.7

6.若圆C：/+/=l,点尸在直线/:2x+y-5=0上，过点尸作圆C的切线，切点为A,

则切线长帜®的最小值为（）

A.1B.2C.V5D.4

7.若4-2，-1）,HU）两点到直线/："一丁+1=°的距离相等，则Q=()

2_22_2

A.3B.3C.2或§D.2或§

22

「xy

-=1

8.设0为坐标原点，K,八为椭圆.2516的两个焦点，点尸在0上,

3

34%=二，则3=（）

V3015V35

A.亚B.2C.TD.F

二、多选题（本大题共3小题）

9.若直线过点/（T，2）,且在两坐标轴上截距相等，则直线/方程可能为（）

Ax-y+3=0Bx+y-l=O

C+y=0D2x—y+4=0

10.在平面直角坐标系x°»中，已知/（一2,0）,8（2,0）,点尸满足I尸切（左＞0且左"）,

设点尸的轨迹为C,则（）

A.当人=及时，。的方程是f+产T2X+4=0

4&

B.当左=Q时，以为直径的圆与C的公共弦长为亍

C.当°＜左＜1时，圆°的圆心在线段"的延长线上

D.以为直径的圆始终与°相交

11.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是

椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别

与圆锥的侧面、截切，截面分别与球3,球&切于点E,F（E,尸是截口椭圆C的

焦点）.设图中球°、球。2的半径分别为3和1,球心距"02|=4收，则（）

A.椭圆o的中心在直线0°2上

B」M|=4

71

c.直线002与椭圆c所在平面所成的角为i

2V7

D.椭圆0的离心率为7

三、填空题（本大题共3小题）

12.若点8是点4-3,2,-1）在坐标平面xOz内的射影，则1。团=

13.若圆一+/=4上恰有4个点到直线x-y+〃，=°的距离等于1,则加的取值范围是

14.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入

口形状的几何体.如图，羡除跖中，四边形/BCD,/BE尸均为等腰梯形，AB,

CD,昉互相平行，平面工平面尸，梯形NBCD,4?斯的高分别为2,4,

且/B=3,CD=5,EF=1,则与平面4瓦卡所成角的正切值为,异面直

线4D与BE所成角的余弦值为

四、解答题(本大题共5小题)

15.如图，在空间四边形0/3C中，D,E分别为8C,04的中点，点G为V/3C的

重心，设。/="，0B=b,0C=c

(1)试用向量。，加，c,表示向量。G；

(2)若。"=。。=2,OB=1?Z.AOC=Z.BOC=Z.AOB=60°f求BE.力。的值

16.己知圆°的圆心在直线X-〉-2=°上，并且经过圆/+V-8x=°与圆/+产=4的

交点.

(1)求C的方程；

⑵直线/：(%+1)工+(1一加»一3-2加=0与C交于A,B两点，当弦N3最短时，求加的值,

并求出此时0关于/对称的圆0的方程.

17.如图，在直三棱柱NBC—48G中，4B=AC=44=2,ZBAC=90°,M,N分别

为棱4B,的中点，P是8a与8c的交点.

G4

（1）求点p到平面4cM的距离；

4。

（2）在线段4N上是否存在一点0,使PQ〃平面4c若存在，求出4N的值，若不

存在，请说明理由.

18.在圆。：/+/=1上任取一点尸，过尸作V轴的垂线段尸。，垂足为。，点。在线

［DQ\=2

段。尸的延长线上，且1。尸1,当P在圆。上运动时，点°形成的轨迹为E.（当

P经过圆。与V轴的交点时，规定点P与点。重合.）

（1）求E的方程；

（2）设E的上顶点为A,过点〃（2，1）作斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点B,

C,直线/台，NC分别与x轴交于点"，N,证明：线段九W的中点为定点.

19.已知曲线7：尸（'/）=°,对坐标平面上任意一点尸（X/）,定义尸［曰=尸（x，N）,若两

点p,Q,满足尺尸］称点P,0在曲线7的同侧；尸［尸＞尸［。］＜0,称点P,

°在曲线T的两侧.

⑴若曲线八/5，了）=/+必-X、-4=0,判断41,1）,仅_1,1）两点在曲线？的同侧还是

两侧；

⑵已知曲线7：尸（x/）=/+/_2|x|-1=0,0为坐标原点，求点集s=

｛尸1尸［尸］・尸［。］＞0｝所构成图形的面积;

（3）记到点（L°）与到'轴的距离之和为4的点的轨迹为曲线c,曲线

22

T-.F（x,y）=x+y-x_a=0＞若曲线C上总存在两点M,N在曲线T两侧，求曲线

C的方程和实数。的取值范围.

答案

1.【正确答案】D

k=_叵

【详解】由题意得，直线的斜率-3,故直线的倾斜角为150。.

故选：D.

2.【正确答案】B

22—+^=1

【详解】由16天2+25廿=400得椭圆标准方程为2516,

.・.〃=5,6=4,c=y/25—16=3,

e——c——3

离心率a5.

故选：B.

3.【正确答案】A

【详解】因为‘‘a,所以力与方平行.

3

对于两个平行向量♦二（一4，1，3）和4,根据向量平行的性质，

-4_1_3

1y_3

它们对应坐标成比例，即4.

-411

—=—y=—

由1了，交叉相乘可得TP=1,解得4.

故选：A.

4.【正确答案】A

【详解】圆02：/+/-6了+机=0,其圆心坐标为G（°，3）,半径-2二乒百.

圆弓：八/=1,其圆心坐标为G（°，°）,半径4=1.

因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，此时圆心距"=4+2

根据两点间距离公式，圆心G（0,0）与。2（0,3）的距离■=J（0-0）2+（3-0）2=3.

又因为d=/+2,即3=l+j9-m.

移项可得J9-加=3-1=2

两边平方可得9-心=4,解得机=9-4=5.

故选：A.

5.【正确答案】D

【详解】因为'8(1,1,0),C(-2,3,l),

所以在=(2/，-3),就=(-1,3,-2),

所以ZS-^C=2x(-l)+lx3+(-3)x(-2)=7

|AS|=V4+i+9=V14|l4c|=Vl+9+4=V14

cosABAC=得爸=」L=-

所以ld-kl吊足2

ABAC=-

因为0<N8/C<TT,所以3,

所以，以/C为邻边的平行四边形的面积为

|ls|-|l4c|-sinZ5y4C=Vi4xVi4x^-=7V3

故选：D

6.【正确答案】B

【详解】对于圆C：—+V=l,其圆心坐标为（。，0）,半径r=l.

d_\AxQ+By0+C\

根据点（尤。/。）到直线"x+8y+c=°的距离公式YT+B,,

,12x0+0-515r

d=——l='=75

则A/22+12V5

根据切线长、圆半径和圆心到点尸距离构成直角三角形，设切线长为1尸小，圆心到点

尸的距离为d,圆半径r=l.

由勾股定理□*=4f―/,当d取最小值后时，止“最小，

此时|尸/|=而守彳=后斤=4=2.

故选：B.

7.【正确答案】C

|-2tz+l+l|_|«-1+1|

【详解】由题意知，E疝/,

2

得|2-24=同，解得。=2或3,

2

即实数。的值为2或

故选：C

8.【正确答案】A

.^iZi

【详解】对于椭圆C,25+16=，可得a=5,6=4.

可求出。=四二区=3,所以焦点片（T0）,工（3,0）

222

设|尸£|=机，|相|="，在记Pg中，根据余弦定理||=m+«-2m«cosZFtPF2

33

已知叱|=2c=6,c°s4PK=y,贝J=/+〃2_2加”

又因为点尸在椭圆上，根据椭圆的定义冽+〃=2〃=10,

将(加+〃)2=100展开得加2+〃2+2冽〃=100

62=m2+n2-2mnx—

用冽9+〃9+2加〃=100减去5可得:

m2+n2+2mn-(m2+n2-2mnx—)=100-36,2mn+2mnx—=64,

5即5贝U=20.

333

m2+n2-2加〃x—=36m2+n2=36+2mnx—=36+2x20x—=60

代入5中，可得55

OP=—(PR+PFJ|OP|2=-(IPF.\l+\PF,I2+2PF,■PF,}

因为2、2,所以I4U1

―•——3

PRPF2=mncosZF}PF2=20x—=12

口JOP|2=；(加2+,2+2西・恒)=；(60+2*12)=；(60+24)=彳=21

所以|OP=0f.

故选：A.

9.【正确答案】BC

【详解】当直线/经过原点时，可得直线方程为：N=-2X,即2x+y=0.

当直线/不经过原点时，可设/的直线方程为：x+V=a,把点（一1，2）代入可得:

-1+2=。，可得a=l.

综上可得：直线/的方程为：2x+y=0或x+y-l=0.

故选：BC.

10.【正确答案】ACD

照入2）2+匕.

【详解】设P（x/）,因为“（一2,0）,5（2,0）,则户'J（x-2）2+V,

整理得点尸的轨迹为C为（产一1户+（廿一1）产一（4己+4卜+4无2-4=0,

对于A,B,当人=上时，C的方程是x2+/_12无+4=0,故A正确；

此时圆心°（“°）,半径厂=4血，又以/台为直径的圆圆心为（°，°）,半径为2,圆的方

程为/+丁=4,

2

x=—

所以两圆方程作差可得公共弦长所在直线方程为:3,

872

故公共弦长,故B不正确;

对于C,由于方程。为1一1）*+（〃-1»2-（4/+4卜+4入4=0,则此时圆心坐标为

2k2+22（A-2-1）+4.4/八

—?-----=-------5---------=2HG（-009-2）

当0〈后＜1时，k--]k--\k2-\，则圆C的圆心在线段A4的延

长线上，故C正确；

对于D,由于以N3为直径的圆方程为一+/=4,圆C的圆心为）,半径为

K-1I,

当°〈后＜1时，，因为圆C的圆心在线段切的延长线上,

II一山上上山一旦一」

又IIk2-\k2-ll-k2,11k2-lk2-l~l-k2

4k24k_4k(k-l)44k4(li)

BCR<0\AC\-R>0

\\-^l-k2~\-k2~l-k2222

则l-kl-kl-k

故点B在圆C内，A在圆C外，即此时以为直径的圆始终与C相交;

一亚二过口30

222v

当上＞1时，k-ik-]k-\）,C的圆心在线段的延长线上,

2k2+2c4k22k2+2、4

\BC\=———+2=——|4C|2

又k2-lk2-l-F3T-k2-\

则阳--…44k

\AC\~R

k2-\E分＜。

故点8在圆C外，A在圆C内，即此时以N3为直径的圆始终与C相交;

综上，以为直径的圆始终与C相交，故D正确.

故选：ACD.

11.【正确答案】BD

【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定

的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球球°?的截面大圆，如图,

点42分别为圆a，°2与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段MV是椭圆长轴,

可知椭圆C的中心（即线段"N的中点）不在直线002上，故A错误;

2〃=MNMFFNMFMEMBMAAB

椭圆长轴长\\=\\+\\=\\+\\=\\+\\=\\

过Q作020Ao/于D,连。,显然四边形为矩形,

又3却=1,1。/1=3,。勾=”

2a=\AB\=\O2D\=加0卜似必2=⑸一巾=2疗

过°2作02c,。也交。也延长线于c,显然四边形°跖02为矩形，

椭圆焦距4即土叶即"=加彳/一故B正确；

sinZCO2Ot==-^==—

所以直线aa与椭圆c所在平面所成的角的正弦值为4/22

故c错误；

_2c42V7

所以椭圆的离心率2〃257,故D正确;

故选：BD.

12.【正确答案】回

【详解】因为点8是点4-3,2,-1）在坐标平面xOz内的射影,

所以3（-3,。,-1）,得。8=（-3,0,-1）,

以|一|=，（-3）2+（—1）2=所

故而

（-后，行）

13.【正确答案】

1=凹

【详解】圆心(°’°)到直线x-y+w=°的距离为6,

若圆/+V=4上恰有4个点到直线X-N+机=°的距离等于1,

\m\

所以1,则J2，解得_&＜机＜&。

所以〃，的取值范围是(-V2,V2)_

故答案为.(一五，夜)

1

14.【正确答案】25/0.2

【详解】

过点A作斯,CD的垂线，垂足分别为M,N,则/N=2,/"=4.

5-37-3

DN=——=1FM=——=2

由四边形"58,4"尸均为等腰梯形得2,2ME=7-2=5.

•••ABHCDIIEF，・-・AB八AN,AB^AM

•.•平面/BCD/平面/BE/，平面4SC7)ri平面=/Nu平面4BCD,

/N工平面43EF.

,/AMu平面ABEF,；.AN14M.

以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则"(O'。，。)，项3,0,0),0(-1,0,2),

E(5,4,0),

.AD=(-1,0,2),SE=(5,4,0)-(3,0,0)=(2,4,0)

,*5

由题意得，平面的法向量为3=(°，°/).

.I/-7X"Dx几22\/5

s】ng=gs(皿"产面=7r丁丁

设4。与平面/BE尸所成角为。，则lr7

ADxBE-2]_

cos〈AD,B®

RR石'2755

・•・异面直线与砧所成角的余弦值为5

故2；5.

1一一一

__.=—(4+6+C)

15.【正确答案】(1)OG3

5

⑵4

—751_i_ZAry

OA+AD

【详解】⑴OG=OA+AG-3

=OA+-x-(AB+AC)=OA+-(AB+AC)

=a+—(b-a+c-a)

1-f-

——((2+Z?+C)

AD=—(AB+AC)=^(b-a+c-a)=^(b+c-2a)

BE=BO+OE=-b+-a

2,

屁.质=.卜_口.(3+1_2砂

=-\-a-b+-a-c-a2-b2-b-c+2a-b\

2(22)

=—|—x2xlx—+—x2x2x--4-l-lx2x—|

2(22222)

一_5W.

16.【正确答案】(1)/+/一4%一2二°

(2)次=0,(x-3)2+(歹一=6

【详解】(1)设经过圆/+/一"二°与圆1+/=4的交点的圆的方程为:

X2+>2—8x+292_|_y2_4)=0(4w—1)

即为.(”4Y「2飞4%+4丁4+16，

二,。］

圆心为(1+彳九代入尤—一2=0得，几=1,

所以C的方程为X2+/-4X-2=0.

(2)由(加+1)%+(1-加)〉-3-2m=0得，m(x-y-2)+x+y-3=0

所以直线/经过X-P-2=0与x+y-3=0的交点，

（i-2=0<5

由［x+y-3=0,得交点（2'2j,

所以当尸时48最短，

_k=T=W

因为加c=l,所以"m-\,解得俏=。,

即直线’的方程为》+了-3=°

由（1）得。（2,0）,半径r=屈,

设圆心c关于直线/的对称点c'G。，%）,

^O±^A_

2+23=O

占一%=3

"。一,解得

则2乂=1

所以C关于/对称的圆0的方程为（x-3）2+（y-l）2=6

4Q=2

⑵存在，A'N§

［详解］(1)在直三棱柱/2C-48c中，AB^AC=AA［=2tZBAC90°,

以A为原点，直线NC,AB,44分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),5(0,2,0)；C(2,0,0),40,0,2),5,(0,2,2)；尸(1,1,1),M(0,l,0),

CP=(-1,1,1)；CM=(-2,l,0)；C4=(-2,0,2)；

"---»•

mCM=一2%+必=0

□—.

设平面4cM的法向量为巾=31)1*6则［"C4=-2X|+2Z|=0,取玉=1,得

w=(1,2,1),

d\m-CP\_|-1+2+1|__V6

所以点尸到平面4cM的距离卬V63.

(2)由(1)知，N(l,l,2),设而=2/=2(1,1,0),则Q(442),P0=(A-1,A-1,1)

平面&CN的一个法向量为加=(1,2,1),

----2=—

由”「。=/1-1+2*2+1=0,得3,而P0<Z平面4c”,

4。=2

所以存在点0,当4'］时，尸0//平面4CW.

—y=1

18.【正确答案】（1）4-

（2）证明见解析

【详解】（1）设。a，〉），PR。，》。），则。（°/。）,

所以X=2x°,y=y。，

因为点尸在圆,+v=l上,

j+「=l

所以

—1-y—1

即E的方程为4'；

⑵设过点"(21)的直线为>T=MX-2),8(再,必),C&,%),

y-i=k(x-2)

2

'X2_,

由彳+>一得。+4左2)X2+［左一16左2P+16左2-16左=0

所以A=(16/-8打一4(1+