2024-2025学年上海市杨浦区高三年级上册11月期中数学检测试题（含解析）

2024-2025学年上海市杨浦区高三上学期11月期中数学检测试题

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1,设集合小{巾r>°},N={X|2,21},则=.

2.己知复数1+03，为虚数单位），亍表示z的共辗复数，贝!]z•亍=.

_71

3.已知向量扇B满足：I4=1，B=（T，S）,1与3的夹角为3,则团-司=,

/（x）=sin8+£（®>0）0,—

4.函数16）在区间I2J内有最大值，但无最小值，则。的取值范围

是

5.袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球,

后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是

6

展开式中一的系数为

6.X（答案用数字作答）

x2-l,x<0

/(x)=,

4XX>0,若/(加)=8,则加=

7.已知9

cos5=一

8.在A/BC中，内角48,C的对边分别为见"C,若C=2a,b=44.则边。的

长度为.

9.某同学6次测评成绩的数据如茎叶图所示，且总体的中位数为88,若从中任取两次成绩,

则这两次成绩均不低于93分的概率为

79

823

9x68

已知过抛物线°：/=2Px（p>0）的焦点F的直线与C交于A,

10.3两点，线段48的中

点为"（X。/。），且M81=2xo+1,若点p在抛物线C上，动点0在直线x+y+2=°上，

则的最小值为.

11.已知函数/3=°'卜+2）一依，若存在唯一的负整数不，使得/国）<°,则实数。的

取值范围是.

12.已知函数/3=——3/+3X+2"-2-,若实数2满足/(*)+/(2/一4=2,

则x+>的最大值为.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)

13.已知尸是两个不同的平面，I,加是两条不同的直线，下列说法正确的是()

A若cr///?,Iua,mup,则/〃加B.若Iua,贝U/~L万

C.若/_La,a±/?,则IIIpD.若/〃tz,加_La,贝!!/J_加

14.已知a>0,b>Q,3a+2b+2ab-9=0.求ab的最大值()

9

A-B.3IC.5D.2

.22

15.设函数〃x)和g(x)的定义域为。，若存在非零实数ce。，使得〃c)+g(c)=0,则称

函数/(X)和g(x)再D上具有性质P.现有四组函数:①/(X)=x,g(x)=x2；②/(x)=2T,

x1X

g(x)=-e；③/⑴二一储,g(x)=2；®f(x)=x,g(x)=sinx.其中具有性质尸的

组数为()

A.1B.2C.3D.4

16.一般地，对于数列｛%｝,如果存在一个正整数"使得当72取每一个正整数时，都有

%+,=%,那么数列｛%｝就叫做周期数列，/叫做这个数列的一个周期.给出下列四个判断：

①对于数列｛4｝，若%e｛1,2｝(，=1,2,3,…)，则｛%｝为周期数列；②若｛%｝满足：aln=a2n+2,

«2„-l=«2„+l(«eA；W>l),则｛4｝为周期数列；③若｛4｝为周期数列，则存在正整数M，使

得恒成立；④已知数列｛2｝的各项均为非零整数，与为其前〃项和，若存在正整数

加，使得|S|<M恒成立，则｛4｝为周期数列.其中所有正确判断的序号是()

A.②③④B.②④C.②③D.①②③④

三、解答题(本大题共有5题，满分78分).

17.在四棱锥尸-48CQ中，底面48CQ是边长为2的正方形，PC±PD,BC±PC.

p

DA

(1)求证：PB工PD；

(2)当PC=P。时，求直线PC与平面P48所成角的正弦值.

18.学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答

题.其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，

被调查者在选答题中自主选择其中4道题目回答即可.现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选

答一道的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计

如表：

选答④、⑥、⑧、⑩的题目数1道2道3道4道

人数20303020

(1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人.学校还调查了这100位学

生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表:

“公序良俗”达非''公序良俗”

性别总计

人达人

男性30

女性7

总计100

P(x2>k)0.10.050.010.001

k2.7063.8416.63510.828

请完成上述2x2列联表，并根据小概率值a=0.05的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性

别是否有关.

(2)从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的

绝对值，求随机变量X的分布和数学期望.

参考公式：%2=-------"(ad-be)--------,其中〃=6].附表见上图.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19.已知数列｛4｝和也｝满足%-〃=%+i,an+bn=A(4为常数且

(1)证明：数列也｝是等比数列；

(2)已知S"为数列｛4｝的前〃项和，且64=65,记与=去，北为数列｛%｝的前〃项和，

求使得Z,取到最大值时"的值.

221

20.已知椭圆E:三+』r=l(a〉b〉0)的离心率为一，且过点(2,0).直线

a~b~2

x-,"y+l=00«W0)交£于A,8两点.点A关于原点的对称点为C,直线5c的斜率为左，

(1)求E的方程；

(2)证明：公为定值；

m

(3)若E上存在点尸使得而在方上的投影向量相等，且△尸45的重心在〉轴上，

求直线43的方程.

21.己知函数/(x)=x-lnx—2.

(1)求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)函数“X)在区间化左+1乂左eN*)上有零点，求左的值；

(3)记函数g(x)=5/-&x-2—/(X),设石,X2(X]<%)是函数g(x)的两个极值点，若

b>~,且g(xj-g(x2)^k恒成立，求实数上的最大值.

2024-2025学年上海市杨浦区高三上学期11月期中数学检测试题

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

1,设集合屈=卜|3-x〉0},N={x|2f},则

【正确答案】[0,3)

【分析】先化简集合，再利用集合的交集运算求解.

【详解】解：因为集合M={x|3—x>0}={x|x<3},2V={x|2x>l}={x|x>0},

所以[0,3)

故[0,3)

2z..

2.已知复数z=]+0j(z为虚数单位),亍表示Z的共轨复数，则Z•亍=

【正确答案】1

【分析】先由复数除法求得z,然后再计算zE.

【详解】z=2小6)=2«+6)=也

【年斛】1+5(1+同(1-回422Z，

.-/百1，V31.、N、2

••z-z=(-+-/)W(----z)=(—)+(r)j1

乙，，乙

故I

本题考查复数的运算，掌握复数四则运算法则是解题基础.本题还考查了共轲复数的概念.

3.已知向量点3满足：同=1,3=(—1,3)，2与B的夹角为：，则历―B|=.

【正确答案】V3

【分析】首先求出忖，再根据平面向量数量积的定义求出展6,最后根据

及平面向量数量积的运算律计算可得；

【详解】解：因为BG),所以W=J(_i『+(也『=2,又同=i且1与彼的夹角为

y,所以展B=同¥卜05。=1乂2乂2=1,所以

\a-b\=盯=^a2-2a-b+b2='小2Z+同?=/-2x1+2?=M

故百

4.函数/（幻=5亩10工+2］（0＞0）在区间［0,］］内有最大值，但无最小值，则。的取值范围

是.

/28~

【正确答案】y,-

【分析】根据正弦型函数的单调性和最值点，结合数形结合思想进行求解即可.

【详解】因为69〉0,所以当0＜了＜彳时，则有一＜GXH---＜—CD-\----------，

26626

因为/（X）在区间内有最大值，但无最小值，

TTTTTT3冗28

结合正弦函数图象，得2解得一

226233

（28-

则。的取值范围是.

故答案为《（2话8~

5.袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球,

后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是.

2

【正确答案】一##0.4

5

【分析】由古典概型概率公式计算即可.

【详解】有两种情况：

21

①甲摸到红球乙再摸到红球得概率为：一x—

54

32

②甲摸到白球乙再摸到红球得概率为：一x一,

54

21322

故乙摸到红球的概率一x—+—x—=—

54545

故w

6.展开式中/的系数为.（答案用数字作答）

【正确答案】-20

【分析】先求二项式的展开式的通项公式，再由通项公式求展开式中一的系数.

【详解】二项式［d—工］的展开式的通项公式为

3

Tk+X=《（x广］一］=（T"C沅…，左=0,1,2,3,4,5,6,

令18—4左=6,可得A=3,

所以卜—工］展开式中含的项为第四项，其系数为（―球阻=_20,

故答案为.-20

7.已知/（%）=<：若/（加）=8，则加=,

3

【正确答案】-3或一

2

【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可.

【详解】因为=。且/（加）=8,

m2-1=8、%=8

所以《或<

m<0m>0

3

解得加二一3或冽=一.

2

3

故-3或—

2

8,在A/BC中，内角48,c的对边分别为见"c,若c=2a,b=4,cosB=~.则边c的

4

长度为.

【正确答案】4

【分析】利用余弦定理化简即可求解.

【详解】由余弦定理：42=层+⑵）f2K

解得。=2,从而c=4

故4

9.某同学6次测评成绩的数据如茎叶图所示，且总体的中位数为88,若从中任取两次成绩,

则这两次成绩均不低于93分的概率为

79

823

9x68

1

【正确答案】-##0.2

5

【分析】根据题意有茎叶图求出x=3,再用古典概率结合组合计算即可.

【详解】依题可得只能83+90+X=88,得》=3,

2

则不低于93分的成绩有93,96,98三次,

从6次测评成绩中任取两次成绕共有C1=15种取法,

其中两次成绩均不低于93分的只有（93,96）,（93,98）,（96,98）3种情况,

则所求概率为

5

故答案为‘

5

10.已知过抛物线。：丁=2"（0>0）的焦点厂的直线与C交于A,3两点，线段48的中

点为何（%,%）,且|AB|=2xo+l.若点P在抛物线C上，动点0在直线x+y+2=0上,

则的最小值为

【正确答案】述##3忘

44

【分析】利用抛物线的性质，求得抛物线方程，先判断直线x+y+2=0与抛物线的位置关系,

然后设与抛物线C相切且与x+y+2=0平行的直线并求出来，根据两平行线之间的距离公

式即可求得结果.

【详解】由题知,设力01，为),3(>2)2)，

„.X,+X,=x

贝！I2o-%]+%=2x0,

又=\AF\+\BF\=x^+x2+p=2X0+p,

所以夕=1,抛物线C方程为/=2x,

x+y+2=0

联立<得x?+2x+4=0无解,

y2=2x

则直线x+y+2=0与抛物线C没有公共点,

设与抛物线C相切且与x+y+2=0平行的直线为x+y+加=0,

x+y+m=0.

则联立＜2，得x+（2加一2）x+加~=0,

J=2x

,1

则（2加—2）.—4加2=o,解得加=万,

故也

4

11.己知函数/(x)=e，(x+2)-依，若存在唯一的负整数天,使得/国)<0,则实数。的

取值范围是.

J__1_

【正确答案】

【分析】当x<0时，由/(x)<0可得出a<e"("+2),令gQ)=卜+2),其中工<。,

XX

利用导数分析函数g(x)在(-8,0)上的单调性与极值，数形结合可得出实数。的取值范围.

【详解】当x<0时，由/(x)=e*(x+2)-6zx<0可得ax>e*(x+2),则。

X

人,、ex(x+2)_.八,(x2+2x-2)ex

令g(x)=—----L,其中x<0,则nig，(x)=^_____--—，

xv7x2

当x<0时，令g'(x)=0,可得》=—1—百，列表如下:

(-R,-1—

X-1-V3i-V3,oj

g'(x)+0—

g(x)增极大值减

且-3<-1-百<-2，g(—3)=(_,g(-2)=0,g(-4)=,如图所示:

要使得存在唯一的负整数%,使得/(叫))<0,即a<g(x。)，

…㈠)，即"V"!，

只需g(-4)〈

因此，实数。的取值范围是♦J，

故答案为

导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式

恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为

函数的单调性、极(最)值问题处理.

12.已知函数/(x)=x3—3/+3X+2XT—2--,若实数满足/(3/)+/(2/—4)=2,

则x+>的最大值为.

【正确答案】V5

【分析】先证明/(x+l)+/(—x+l)=2,进而可得31+2/-4=2,设x+y=f,则直

线x+y=/与椭圆3x2+2/=6有交点，联立方程，则ANO,即可得解.

【详解】由题意，f(x)=x3-3x2+3x+2X-'-2-x+1=(x-1)3+2-v-'-2-x+1+1,

则/(x+l)+/(—x+l)=2,又/(3巧+/(2户4)=2,

22

所以31+2了2一4=2,BP3x+2y=6,

设x+y=f,则直线x+>=/与椭圆3x2+2/=6有交点，

[x+y=t

联立(3/+2/=6'得5——4/x+2r—6=0，

则△=16——20(2『—6)20,解得—6</<6,

所以x+y的最大值为百.

故答案为.6

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)

13.已知夕是两个不同的平面，I,加是两条不同的直线，下列说法正确的是()

A.若aU8,Iua,mup,贝U/〃加B.若a_L，，Iua,贝尸

C.若/_La,a_L力，则/〃，D.若/〃a,加_La,贝!J/_Lm

【正确答案】D

【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,若a//，，lua,mu/,贝”〃加或者/，加异面，故A错误，

对于B,若a，/?,lua，且/与a,尸的交线垂直，才有/上厂，否则/与万不一定垂直，

故B错误，

对于C,若/_La,al/3,则/〃夕或者/u用，故C错误，

对于D,若/〃a,ml.a,贝！|/_L■加，D正确，

故选：D

14.已知a>0,b>0,3a+2b+2ab-9=0.求ab的最大值()

9

A.-B.31C.5D.2

22

【正确答案】B

【分析】由基本不等式和题目条件得到9-2/22J嬴，求出仍的最大值.

【详解】因为a>0,b>0,由基本不等式得3a+2b22，

___3

故9-2ab>2J6ab>解得0<ab<Q，

3

当且仅当。=1力=3时，等号成立，

故成的最大值为2.

2

故选：B

15.设函数/(x)和g(x)的定义域为。，若存在非零实数ce。，使得〃c)+g(c)=0,则称

函数/(X)和g(x)再D上具有性质P.现有四组函数:①/(X)=X,g(x)=x2；②/(x)=2r,

g(x)=-ex；③/(x)=—x2,g(x)=2"；@f(x)=x,g(x)=sinx.其中具有性质尸的

组数为()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

【分析】①由/(x)+g(x)=0得x=—1,符合题意；②构造函数G(x)=/(x)+g(x),分

析函数单调性可知不具有性质产；③由/(2)+g(2)=0可知具有性质p；④构造函数

G(x)=/(x)+g(x),求导分析单调性可知不具有性质P.

【详解】①/(x)=x,g(x)=x2,O=R,令/(x)+g(x)=x+x2=0,解得x=0(舍去)

或1二-1，

...存在非零实数c=—1e。，使得/(c)+g(c)=0.

②/(x)=2T,g(x)=—e，,Z>=R,令G(x)=〃x)+g(x)=2T—e，

结合指数函数的单调性，G(x)在定义域内单调递减，G(0)=0,故无其他零点，

・•.不存在非零实数ce。，使得/(c)+g(c)=0.

③/(x)=f2,g(x)=2x,Z)=R,存在c=2,使得/(c)+g(c)=0.

@f(x)=x,g(x)=sinx,D=R,G(x)=f(x)+g(x)=x+sinx,

G'(x)=l+cosx»0,G(x)在R上单调递增，又G(0)=0,故无其他零点，

・•.不存在非零实数ce。，使得/(c)+g(c)=0.

故选：B.

16.一般地，对于数列｛%｝,如果存在一个正整数"使得当72取每一个正整数时，都有

%+,=%,那么数列｛%｝就叫做周期数列，/叫做这个数列的一个周期.给出下列四个判断：

①对于数列｛4｝，若%e｛1,2｝(，=1,2,3,…)，则｛%｝为周期数列；②若｛%｝满足：aln=a2n+2,

«2„-l=«2„+l(«eA；W>l),则｛4｝为周期数列；③若｛4｝为周期数列，则存在正整数M，使

得恒成立；④已知数列｛2｝的各项均为非零整数，与为其前〃项和，若存在正整数

加，使得|S|<M恒成立，则｛4｝为周期数列.其中所有正确判断的序号是()

A.②③④B.②④C.②③D.①②③④

【正确答案】C

【分析】对于①，举例判断；对于②，由数列｛4｝的偶数项都相等，奇数项都相等判断；对

于③，由｛%｝为周期数列，则一个周期能必存在最大值判断；对于④，举例判断.

【详解】对于①，若｛4｝为:1,2,1,1,1,2,2,1,1,2,1,2,2,2,...,满足题意，但是数列｛4｝不是

周期数列，故①错误；

对于②，由。2"=。2.+2，。2-1=。2"+1("eN*)可知，

。2=〃4，"1=，°4=。6，03=05，“6=="7，

即数列｛4｝的偶数项都相等，奇数项都相等，

所以当/=2时，能使得当〃取每一个正整数时，都有%“=%,

故数列｛4｝为周期数列，故②正确；

对于③，若｛%｝为周期数列，则一个周期内必存在最大值，它是有界的，

故存在正整数使得|%|＜河恒成立，故③正确；

对于④，首项为1,公比为2的等比数列：1,2,4,8,邑=1+2+4+8=15,

可任取一个符合题意的数，不妨取M=16),满足题意，

但很明显数列：1,2,4,8不是周期数列，故④错误.

故选：C.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分).

17.在四棱锥P—中，底面/BCD是边长为2的正方形，PCLPD,BC1PC.

P

(2)当=时，求直线PC与平面尸48所成角的正弦值.

【正确答案】(1)详见解析；

⑵乎

【分析】（1）先论证3c，平面从而再由PCP。，得到平面P3C

即可；

（2）根据题意建立空间直角坐标系，求得平面为3的一个法向量为=（x/,z）,设直线PC与

平面048所成的角为6,由sin。=cos（尸C,万）求解.

【小问1详解】

证明：因为底面4BCD是边长为2的正方形，

所以8CLDC,又PCLPD,且。CcPC=C,

所以3CJ_平面为。，又PDu平面为〃，

所以5CJ_P。，又PCLPD,且8CcPC=C,

所以平面P8C,又5Cu平面P8C,

所以PQL5C；

【小问2详解】

由题意建立如图所示空间直角坐标系：

则P(0,0,1),4(1,2,0),5(-120),

所以无=(—1,0,—1),9=(1,2,—1),而=(—1,2,—1),

设平面PAB的一个法向量为为=(x,y,z),

PA•亢=0(x+2y-z=0

贝叫——，即〈CC，

PBii=0[-x-^2y-z=0

令z=2,则y=l,x=0,所以为=(0,1,2),

设直线PC与平面尸48所成的角为，，

।—-।\PC-n\2J1Q

所以sin，〈cosPC,H=I」|=一^=?.

11\PC\-\n\V5.V25

18.学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答

题.其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，

被调查者在选答题中自主选择其中4道题目回答即可.现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选

答一道的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计

如表：

选答④、⑥、⑧、⑩的题目数1道2道3道4道

人数20303020

(1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人.学校还调查了这100位学

生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：

“公序良俗”达非“公序良俗”

性别总计

人达人

男性30

女性7

总计100

P(x2>k)0.10.050.010.001

k2.7063.8416.63510.828

请完成上述2x2列联表，并根据小概率值a=0.05的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性

别是否有关.

(2)从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的

绝对值，求随机变量X的分布和数学期望.

参考公式：%2=-------Mad-be)-------其中〃=a+6+c+d.附表见上图.

(<2+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【正确答案】（1）列联表见解析，有关;

38

（2）分布列见解析，E（X）=,

【分析】（1）根据题意，补全2x2列联表，求得力2,结合附表，即可得到结论;

（2）根据题意，得到随机变量X的可能有0,1,2,3,求得相应的概率，列出分布列，结

合期望的公式，即可求解.

【小问1详解】

这100位学生中，“公序良俗”达人有20人，由此补全列联表如下:

性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计

男性133043

女性75057

总计2080100

零假设笈。：“公序良俗”达人与性别无关,

100(13x50-7x30『

可得力24.937>3.841，

20x80x57x43~

所以根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们可推断/不成立，即认为“公序良俗”达人与

性别有关.

【小问2详解】

由题意，随机变量X的可能有0,1,2,3,

可得尸(x=o)=c；o+c；o：c；0+c；o25

^10099

G°c；°+c：°G°+C°G。，14

P(X=1)=

33

8

「（X2）

Goo33

「1CX2

尸(X=3)=士4=上

')Gj。99

所以X的分布列如下:

X0123

251488

P

99333399

所以数学期望E（X）=0x至+lx22x§+3x§0

9933339933

19.已知数列｛4｝和也｝满足。=。”+1,a„+b„=A（X为常数且彳R4）.

（1）证明：数列也｝是等比数列;

记C"=去，7,为数列｛%｝的前〃项和,

（2）已知S”为数列｛%｝的前〃项和，且S4=$5,

un

求使得z,取到最大值时〃的值.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）〃=5或〃=4

【分析】（1）由等比数列的定义即可判断；

（2）通过｛g｝单调性即可判断.

【小问1详解】

证明：因为%,-6“=a“+i，a“+”,=2（X为常数，且2片％）,

上述两个等式相加可得2%=2+%+厂则%=2%-丸,所以，an+l-A=2（an-A）,

因为则4—XNO,所以，数列｛%—4是首项为4-/l,公比为2的等比数歹U，

n1

所以，%—%=（%—%>2"T,所以，bn=2-al,=-（a1-A）-2-,

则一=/二"।=2，即数列也｝是公比为2的等比数列•

3_（/一92

【小问2详解】

解：因为为数列｛4｝的前〃项和，且S4=Ss，贝1105=85—8=0,

由(1)可知,%—丸=(%——)♦2。=16(。］—丸)=—4,所以，a=—Z,

x16

所以，%—2=(%—2)-2"T=—2・2"T=—九2一5,则4=0_2"一5)4,

由(1)可得〃2"T=4.2"T=九.2"-5,

v1716

2n-5

-1-

2

所以,

因为数列｛g｝单调递减，且当〃24且〃eN*时，c„>0,且。5=0,

所以，当〃25且时，Tn>。，

当〃26且时，。〃<0，

所以，数列｛4｝从第6项开始单调递减，

所以当〃=5或〃=4使得看取到最大值，4=4=26.

221

20.已知椭圆E：++3=l（a〉b〉0）的离心率为］,且过点（2,0）.直线

*-,”尸+1=0（»/。0）交E于A,8两点•点A关于原点的对称点为C,直线5c的斜率为洛

（1）求E的方程；

（2）证明：公为定值；

m

（3）若E上存在点尸使得不，而在冠上的投影向量相等，且△尸45的重心在>轴上，

求直线N3的方程.

22

【正确答案】（1）土+匕=1;

43

（2）证明见解析;(3)3x±VJj+3=0.

【分析】（1）由离心率及所过点求椭圆方程;

（2）设点/（石,%）,5（%,%）,且,得。（—石,—%）,点差法及斜率两点式求幺，即

m

可证；

（3）设弦48的中点£>Go）。），点P（X2P）%5重心G（%,%）,联立直线与椭圆，

应用韦达定理及重心坐标性质得尸坐标与加的表达式，代入椭圆求参数，即可得直线方程.

【小问1详解】

cl

°5fa=2x2v2

由已知，得〈a=2,解得4厂，则椭圆E的方程为土+匕=1；

222b=A/343

b=a-ci

【小问2详解】

依题意，可设点/（石,%）,8（%2必），且刀产々，

点A关于原点的对称点为（（一石,-必）,

日+其-1

43作美得为一%—

点43在E上，\,，1Fzr.ITT7?，，

区+及]x?_Xj4

143

、1

,/直线AB:x-my+l=0（加。0）的斜率为一，直线5C的斜率为左,

m

—J即为7E值；

-Xj+*i2

mx2x2x2-x14m4

【小问3详解】

设弦48的中点£）（%必），点尸（XPM>）QP48重心G（%，%），

2+4）y2-6my-9=0,

26

A=36m+36（3加之+4）=144（m2+l）＞0,且%+%=°T

3m+4A

APAB的重心G在＞轴上，=o,

6m之8

xp=-Xj-x2=一m71+1-my2+1=2-桃（y^=2-

3m2+43m2+4

86J/12

则项+/_―3/+443必3m2+43m

22「3m2+।4=223—+4

前,方在五§上的投影向量相等，贝！1|尸』二|尸回，且尸0148,

则直线尸。的方程为歹一%=-m^x-xD],

/x3m849mZD

...y尸=y。一加（工尸一%）=§加2+4-m----?------'-----?----~~~2T，传

3m2+43m2+43m2+4

89m

尸，又点尸在E上,

3加2+4'3m2+4

829m2

2

3m2+43m2+4,即加2（3m-1）=0,

------1------二1

43

又股工0=帆=±，^,则直线45的方程为3x土+3=0.

21.已知函数/（x）=x—lnx—2.

(1)求曲线V=/(x