2024-2025学年山西省晋中市九年级上期末数学试卷（附答案解析）

2024-2025学年山西省晋中市九年级上期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四

1.（3分）下列函数关系式中，y一定是x的二次函数的是（）

,1

A.y—ax+bx+cB.y-

C.y=f+5D.y—2x-7

2.（3分）如图，在RtZ^48C中，。是边的中点.若N/=20°,则/DC4的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

3.（3分）桦卯，是一种中国传统建筑、家具及其他器械的一种结构方式.它通过两个构件上凹凸部位相

结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫樟，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用样

卯结构加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.如图，这是其中一种棒，其俯视图是（）

4.（3分）关于x的一元二次方程f-mx-1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.不能确定

5.（3分）将二次函数y=2f的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到新的函数

图象的表达式为（）

A.y=2（x+3）2+6B.y=2（x+3）2-6

C.尸2（x-3）2-6D.尸2（x-3）2+6

第1页（共24页）

6.（3分）已知抛物线＞=-，+2X3,下列结论中，错误的是（）

A.抛物线的开口向下

B.抛物线的对称轴为直线x=l

C.抛物线的顶点坐标为（1,2）

D.当x＞l时，y随x的增大而减小

7.（3分）如图，LABC的顶点在正方形网格的格点（方格纸中小正方形的顶点）上，则tan5的值为（

，4

V512V5

AB.-D.2

-T2cV

8.（3分）如图，在小孔成像的实验中，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为50c〃z.当蜡烛火焰的高度

是它的像高度的一半时，有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为（

C.100cmD.150cm

9.（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数夕=履+6的图象和二次函数＞=依2-bx的图象可能是（）

(x-1)2+3,-2时，函数取得最大值；当

X=1时,函数取得最小值，贝h的取值范围是（）

第2页（共24页）

A.-1WY2B.-1WY0C.2«4D.f2-1

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）关于x的一元二次方程f+3x-5=0的两个根分别为a,b,则a+b的值为.

12.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点/在反比例函数y=9（k为常数，k>0,x>0）的图象上，过

点/作x轴的垂线，垂足为3,连接若△048的面积为2,则左=.

13.（3分）如图，在正方形48CD中，£是对角线3。上的一点，且连接C£.若/3=2,则4

CBE的面积为.

14.（3分）《在故宫，看见龙》栏目展示了一系列中国古代文物中的“龙”，晨旭同学用这些图片做成了四

个大小一样，背面颜色也一样的卡片.将这些卡片背面朝上，洗匀后，扣在桌面上，随机抽取一张，记

下结果后放回，搅匀后再随机抽取一张，她两次都抽到“清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶”的概率

是.

明嘉靖清康熙明宜德清乾隆

黄地矶红彩海水云龙纹盖青花龙纹瓶青花矶红彩海水龙纹碗白色地套红色玻璃双龙赶

罐珠瓶

15.（3分）如图，尸是线段上的一动点（不与点/,8重合），分别以为，P3为边在线段N3的同侧

作等边和等边△P3C,连接CD.若48=4,则四边形/BCD面积的最小值是

第3页（共24页）

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程

16.（10分）（1）解方程：x2-2x-8=0.

（2）计算：tan45°+2sin30°-3cos60°.

17.（7分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（单位：km/h'）与所用时间/（单位：h）的函数关

系如图所示，其中60WvW120.

（1）求平均速度v关于所用时间f的函数表达式，并写出/的取值范围.

（2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时24分至11时（含10时24分与11时）之间到达乙

18.（10分）如图，在平面直角坐标系中，△/BC三个顶点的坐标分别为/（0,6）,B（8,0）,C（11,

4）（网格中每个小正方形的边长为1）.

（1）以点3为位似中心，分别在第一象限和第四象限画出△ABC的位似图形△43。和△加5。2,使

得画出的图形与△/8C的相似比为1：2.

（2）在（1）的作图下，连接由。2和42。：

①直接写出四边形A1C2A2C1的形状.

②求四边形2cl的面积.

第4页（共24页）

19.（7分）如图，这是由5个同样大小的小正方体搭成的几何体，其从正面看到的形状如图所示.

（1）请在网格中画出它的左视图和俯视图.

（2）如果让该几何体变成一个长方体，那么至少需要添加个同样大小的小正方体.

20.（7分）图1、图2分别是某种型号的阅读支架的实物图与示意图.如图2,A8表示底座，BC表示支

架杆，CD表示面板.眼睛。望向面板形成一个15°的俯角（望向面板中心N的视线ON与水平线。河

的夹角/MON）,且视线ON与面板CD成直角.此时测得2C=15"z,DC=24cm,底座的厚度为

0.5cm,/ABC=31°.

(1)填空：ZBCD=

（2）求支架上方边界。距离桌面的高度.（结果精确到0.1c加，参考数据：sin37°"0.60,cos370七

0.80,tan37°仁0.75,tan75°仁3.73)

图I

21.（9分）阅读与思考

阅读以下材料，并按安求完成相应的任分.

构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算tanl50

第5页（共24页）

时，可构造如图所示的图形.在RtZUCB中.ZC=90°,ZABC^30°,设NC

=x,延长至点，使得连接易知ND=15°,CD=BD+BC=

AB+BC=2x+V3x,所以tanl5°=tanD=….

A

(1)请根据上面的步骤，tanl5°=.

(2)请类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5。的值.

(3)在RC/8C中，ZC=90°,tan2A=请你直接写出tag的值.

22.(12分)综合与实践

某商家销售一批具有中国传统文化意义的水杯，已知每个水杯的成本为20元，当地物价部门规定，该

水杯的单价最高不超过40元.在销售过程中发现，这种水杯的日销售量y(个)与销售单价x(元)满

足如图所示的一次函数关系.

(1)求y与x的函数关系式.

(2)当水杯的销售单价为多少时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？

(3)因原材料价格发生变动，该种水杯的进价变为m元，每天的销量与当天的销售单价的关系不变.在

实际销售过程中，发现该种水杯每天获得的利润随x的增大而增大，求加的最小值.

如图，抛物线y=-/+6x+c与x轴交于点/(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.

(1)求此抛物线的表达式.

(2)0是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当△Q8C的面积最大时，求此时点0的坐标及△QBC

的面积.

(3)抛物线的对称轴上是否存在一点尸，使得△尸5C是等腰三角形？若存在，直接写出点尸的坐标；

第6页(共24页)

第7页（共24页）

2024-2025学年山西省晋中市九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四

1.（3分）下列函数关系式中，歹一定是x的二次函数的是（）

1

A.y=ax9+bx+cB.丫=以

C.y=x2+5D.y=2x-7

【解答】解：当。=0时，y=a/+6x+c不是二次函数，则/不符合题意；

不符合二次函数的定义，则8不符合题意；

y=x2+5符合二次函数的定义，则。符合题意；

y=2x-7不符合二次函数的定义，则。不符合题意；

故选：C.

2.（3分）如图，在中，。是边的中点.若N4=20°,则/DC4的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【解答】解：在中，。是边N3的中点.

:.CD二AB=AD,

：.ZDCA^ZA^20°,

故选：B.

3.（3分）桦卯，是一种中国传统建筑、家具及其他器械的一种结构方式.它通过两个构件上凹凸部位相

结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫樟，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用样

卯结构加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.如图，这是其中一种棒，其俯视图是（）

第8页（共24页）

c.a

【解答】解：该几何体的主视图是:

故选：A.

4.（3分）关于x的一元二次方程1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.不能确定

【解答】解：A=（-m）2-4XlX（-1）

—m2+4

A=〃，+4>o.

••・关于x的一元二次方程f-mx-1=0有两个不相等的实数根.

故选：A.

5.（3分）将二次函数y=2f的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到新的函数

图象的表达式为（）

A.y=2（x+3）2+6B.y=2（x+3）2-6

C.尸2（x-3）2-6D.尸2（x-3）2+6

【解答】解：将二次函数y=2f的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到新

的函数图象的表达式为y=2（%-3）2+6,

故选：D.

6.（3分）已知抛物线>=-，+2x-3,下列结论中，错误的是（）

A.抛物线的开口向下

B.抛物线的对称轴为直线x=l

C.抛物线的顶点坐标为（1,2）

D.当x>l时，y随x的增大而减小

【解答】解：/、-1<0,

第9页（共24页）

•••抛物线的开口向下，故N不符合题意;

B、'：y=-X2+2X-3=-(x-1)2-2,

...抛物线的对称轴为直线x=l,

故2不符合题意;

y--X2+2X-3=-(x-1)2-2,

抛物线的顶点坐标为（1,-2）,

故C符合题意;

D、'：y=-X2+2X-3=-(x-1)2-2,

...当x>l时，y随x的增大而减小,

故。不符合题意;

故选：C.

7.（3分）如图，AABC的顶点在正方形网格的格点（方格纸中小正方形的顶点）上，则tanS的值为（）

，4

V512V5

A.-B.-D.2

2

【解答】解：如图：设每一个小正方形的边长为1,

在Rt^/皿中，AD=3,BD=6,

.tBAD31

故选：B.

8.（3分）如图，在小孔成像的实验中，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为50cm.当蜡烛火焰的高度

是它的像高度的一半时，有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为（）

第10页（共24页）

小孔

光屏

A.25cmB.50c机C.100cmD.150cm

【解答】解：如图，AA'与BB'交于点。，

由题意可得B',

：.LAOBSAA'OB',

:蜡烛焰是像的一半，

.,•/B到光屏与"夕到光屏的距离比值为1：2,

设蜡烛与光屏之间水平距离为xcm,

501

根据题意可得［7=

%-502

解得：x=150,

经检验，x=150是原方程的解，

则蜡烛与光屏之间水平距离为150cm.

9.（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数夕=依+6的图象和二次函数＞=依2-bx的图象可能是（）

第11页（共24页）

【解答】解：/、：二次函数>=依2-及的图象过点（0,0）,

...选项/不可能；

B、由一次函数图象可知，k>0,b<0,

由二次函数图象可知，k>0,对称轴为直线一茬〉0,即左>0,b>0,

故选项B不可能；

。、由一次函数图象可知，左>0,6V0,

由二次函数图象可知，k>0,对称轴为直线一是<0,即左>0,b<0,

故选项C可能；

D、由一次函数图象可知，k<0,b<0,

由二次函数图象可知，k<0,对称轴为直线一是<0,即4>0,b>0,

故选项D不可能；

故选：C.

10.（3分）已知二次函数y=（x-1）2+3,其中-2Wx</+2,当且仅当x=-2时，函数取得最大值；当

x=l时，函数取得最小值，贝■]:的取值范围是（）

A.-lW/<2B.-WOC.2W/<4D.-1

【解答】解：•.•二次函数y=（x-l）2+3的对称轴为直线x=l,

...当x=-2或x=4时函数值相等，

V-2^x^t+2,当且仅当x=-2时，函数取得最大值，

.\f+2<4,BPt<2,

又•••当且仅当x=l时，函数取得最小值，

.•"+221,即

故选：A.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）关于x的一元二次方程x?+3x-5=0的两个根分别为a,b,则的值为-3.

第12页（共24页）

【解答】解：根据根与系数的关系得。+6=-3.

故答案为：-3.

12.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点/在反比例函数y=（（k为常数，k>0,x>0）的图象上，过

点N作x轴的垂线，垂足为3,连接若△0/3的面积为2,则左=4.

【解答】解：,点/在反比例函数（左为常数，QO,x>0）的图象上，AB±x^B,

根据反比例函数比例系数的几何意义得：SAOAB=彳川，

,：/\OAB的面积为2,

1

..q因=2,

：左>0,

；"=4.

故答案为：4.

13.（3分）如图，在正方形48CD中，E是对角线AD上的一点，且连接CE.若48=2,则4

【解答】解：：正方形A8CD中，点E是对角线AD上的一点，>BE^AB,

:.BE=AB=BC=2,ZABE=ZEBC=45°,

如图，过点E作即，于点R

是等腰直角三角形，

:.BF=EF=:BE=V2,

£\CBE的面积=1XBC・EF=1x2xV2=企.

故答案为：V2.

第13页（共24页）

AD

B

14.（3分）《在故宫，看见龙》栏目展示了一系列中国古代文物中的“龙”，晨旭同学用这些图片做成了四

个大小一样，背面颜色也一样的卡片.将这些卡片背面朝上，洗匀后，扣在桌面上，随机抽取一张，记

下结果后放回，搅匀后再随机抽取一张，她两次都抽到“清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶”的概率

’爨男J感喻

明嘉靖清康熙明宜德清乾隆

黄地矶红彩海水云龙纹盖青花龙纹瓶青花矶红彩海水龙纹碗白色地套红色玻璃双龙赶

罐珠瓶

【解答】解：用4B、C、。分别表示黄地矶红彩海水云龙纹盖罐、青花龙纹瓶、青花矶红彩海水龙

纹碗、白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶.

画树状图为:

开始

共有16种等可能的结果，其中她两次都抽到“清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶”的结果数为1,

所以她两次都抽到“清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶”的概率=克.

故答案为：

16

15.（3分）如图，尸是线段N2上的一动点（不与点4,3重合），分别以B4,总为边在线段A8的同侧

作等边△为。和等边△P5C,连接CD若48=4,则四边形/BCD面积的最小值是后

第14页（共24页）

c

【解答】解：过。作。K_L/8于K,过C作CT_L/3于7,如图,

AADP和△8CP是等边三角形，

：.KP=^AP,TP=^BP,DP=AP,CP=BP,

1

：.KT=KP+TP=^AB=2.

设/尸=2冽，贝!j5P=4-2机，

：・AK=KP=m,BT=PT=2-m,

：.DK=V3AK=V3m,CT=«BT=2W-V3m.

2

:・S44DK="I"冽•遮冽二?冽2,SABCT-(2-m)(2V3—V3m)=^-m-2V3m+2V3,S梯形

DKTC=(V3m+2V3—V3m)X2=2V3.

.*.5四边形45cz>=孚冽？+整加2-2V3m+2V3+2V3=V3m2-2V3m+4V3=V3(m-1)2+3A/3.

・・・当加=1时，四边形45CQ面积的最小值为3B.

故答案为：3百.

三、解答题(本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程

16.(10分)(1)解方程：X2-2X-8=0.

(2)计算：tan45°+2sin30°-3cos60°.

【解答】解：(1)%2-2X-8=0,

(x-4)(x+2)=0,

x-4=0或x+2=0,

・・xi=4,X2=~2；

ii

(2)原式=1+2X3-3X3

第15页（共24页）

1

2,

17.(7分)一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v(单位：km/h)与所用时间/(单位：h)的函数关

系如图所示，其中60WvW120.

(1)求平均速度v关于所用时间/的函数表达式，并写出，的取值范围.

(2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时24分至11时(含10时24分与11时)之间到达乙

将(4,60)代入得，60=，

L4

解得左=240,

与/的函数表达式为v="上

：60WvW120,

；工的取值范围为2W/W4；

(2)当仁,时，v=茎°=100Ckm/h),

当f=3时，片孚=80Ckm/h),

客车平均速度v的范围为80千米/小时WvWlOO千米/小时.

18.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△/BC三个顶点的坐标分别为/(0,6),B(8,0),C(11,

4)(网格中每个小正方形的边长为1).

(1)以点3为位似中心，分别在第一象限和第四象限画出△4SC的位似图形△48。和△/28C2,使

得画出的图形与△/8C的相似比为1：2.

(2)在(1)的作图下，连接小。2和加。1：

①直接写出四边形4CM2cl的形状.

第16页(共24页)

②求四边形41cM2。的面积.

・・・四边形A1C2A2C1为平行四边形.

由勾股定理得，AB=V82+62=10,BC=々32+42=5,AC=Vil2+22=5V5,

:.AB2+BC2=AC2,

：.ZABC=90°,

即C1C2-LA1A2,

，四边形A1C2A2C1为菱形.

②由题意得，ArB=A2B=^AB=5,BCr=BC2

・・・4/2=10,CIQ=5.

,**四边形4CM2cl为菱形，

1i

，四边形41。242。1的面积为；4/2.。1。2=5x10x5=25.

19.（7分）如图，这是由5个同样大小的小正方体搭成的几何体，其从正面看到的形状如图所示.

第17页（共24页）

（2）如果让该几何体变成一个长方体，那么至少需要添加，.个同样大小的小正方体.

主视图左视图俯视图

（2）由题意得，该几何体变成一个3X2X2的长方体时，需要添加的小正方体最少,

...至少需要添加个3X2X2-5=7（个）同样大小的小正方体.

故答案为：7.

20.（7分）图1、图2分别是某种型号的阅读支架的实物图与示意图.如图2,N5表示底座，BC表示支

架杆，CD表示面板.眼睛。望向面板形成一个15°的俯角（望向面板中心N的视线ON与水平线。M

的夹角/VON）,且视线ON与面板CD成直角.此时测得8C=15c加，DC=24cm,底座的厚度为

0.5cm,NABC=37°.

(1)填空：NBCD=112°

（2）求支架上方边界。距离桌面的高度.（结果精确到0.1CM,参考数据：sin37°20.60,cos37°«

tan75°七3.73)

【解答】解：（1）过点、N作NE〃OM,过点。作CF,

第18页（共24页）

：.OM//EN//CF//AB,

：.ZMON=ZONE=15a,

,：N0NC=9Q°,

:./CNE=/ONC-NONE=15°,

'：EN//CF,

：.ZENC=ZNCF=75°,

,JAB//CF,

:./ABC=/BCF=37°,

AZBCD^ZDCF+ZBCF^112°,

故答案为：112°；

(2)过点。作D/fLCF,垂足为X,过点C作CGL48,垂足为G,

在RtZ\DC〃中，CD=24cm,ZDCF=15°,

：.DH=CD-sin75°仁24X0.97=23.28(cm),

在RtZ\BCG中，BC=l5cm,NABC=3V,

：.CG=BC'sm31°仁15X0.6=9(cm),

，支架上方边界。距离桌面的高度=23.28+9+0.5七32.8(cm),

支架上方边界。距离桌面的高度约为32.8c〃?.

21.(9分)阅读与思考

阅读以下材料，并按安求完成相应的任分.

构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算tanl50

第19页(共24页)

时，可构造如图所示的图形.在RtZUCB中.ZC=90°,ZABC^30°,设NC

=x,延长至点，使得连接ND,易知/D=15°,CD=BD+BC=

(1)请根据上面的步骤，tanl5°=_2-V3_.

(2)请类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5°的值.

1

⑶在RtzXZBC中，ZC=90°,tan2A=请你直接写出taiM的值.

【解答】解：(1)由题知，

设4C=x(x>0),延长C5至点。，使得连结4。，

VZABC=30°,AB=BD,

：.ZD=ZDAB=15°.

在中，ZABC=30°,

：.AB=2AC=2x,

:.BC=yIAB2—AC2—V3x,

**•CZ)=2x+V3x.

在RtZXZC。中，

ta®那君L-®

即tanl5°=2-V3,

故答案为：2-百；

(2)延长C8到点D,使BD=B4

VZABC^45°,AB=DB,

第20页(共24页)

，/D=NDAB=22.5

令/C=x,则3C=x,

：.AB=y/AC2+BC2=V2x,

所以AD=48=岳，

则CD=CB+DB=x+V2x,

在RtZUCD中，

ta3紧篇

BPtan22.5°=V2—1；

(3)如图3,在RtaBQC中，延长CD到4使。4=助,

1

*.*tcmlA=2，

〔

tanNADC=..二?

设5C=x,CD=2x,

:.BD=AD=VBC2+CD2=V5.x,

：.AC^CD+AD^2x+®,

.".tanA=空=---x广=遍—2.

AC2x+底c

22.（12分）综合与实践

某商家销售一批具有中国传统文化意义的水杯，已知每个水杯的成本为20元，当地物价部门规定，该

水杯的单价最高不超过40元.在销售过程中发现，这种水杯的日销售量y（个）与销售单价x（元）满

足如图所示的一次函数关系.

（1）求夕与x的函数关系式.

（2）当水杯的销售单价为多少时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？

（3）因原材料价格发生变动，该种水杯的进价变为加元，每天的销量与当天的销售单价的关系不变.在

实际销售过程中，发现该种水杯每天获得的利润随x的增大而增大，求”?的最小值.

第21页（共24页）

Ijll|f25fc+b=50

人」(35/c+b=30'

解得仁益，

•»y—~