2024-2025学年山东省青岛市高二年级上册12月阶段性检测数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年山东省青岛市高二上学期12月阶段性检测数学

检测试卷

注意事项(请考生答题前先看清试卷和答题卡上的注意事项或说明.)

试题答案全部答到答题卡上，在草稿纸、试题上答题无效，考试结束只交答题卡.

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.等差数列也｝的首项%=T,且(%+%)：3+%)=2：5,则出024=()

A4044B.4045C.4046D.4047

【正确答案】B

【分析】设出等差数列的公差，利用题时的比例式以及通项公式，可得答案.

【详解】设等差数列包7｝的公差为"，由%=—1,

Q+%)：(4+%)=(%+2d+1+3d):(%+5d+%+6d)=(5d-2):(1W-2)

可得(5d-2):(lld-2)=2:5,则22d-4=25d-10,解得d=2,

Q2024=%+2023d=4045

故选：B.

2.已知°为坐标原点，/为抛物线C：「=2px(p>0)的焦点，点"(看,4)在。上，且

3|=2|伽，则°方程为()

A.y2=4xB.r=8xc.r=2xD./=x

【正确答案】B

【分析】由已知得出°P,利用抛物线的定义结合=目可得出关于0的方程，

解出P的值，即可得出抛物线C的方程.

8

（、XQ=-

【详解】因为点“（"°'4）在抛物线C上，则2P/=16,可得。p,

_P_/化,。］

抛物线C的准线方程为X=2,焦点为12人

\MF\=xo+P=^+P

由抛物线的定义可得2P2,

8P_

因为31=2%，则万+丁夕，

因为夕解得夕=4,因此抛物线C的方程为V=".

故选：B.

3.已知数列｛%｝是等差数列，数列抄"｝是等比数列，若4+牝+。9=9,b2b5bs=373；

a2+«8_

则1+b2b8（）

33

A.2BYC.2D.3

【正确答案】C

【分析】根据等差数列等差中项和等比数列等比中项的性质即可求解.

【详解】因为数列｛%｝是等差数列，%+%+%=3%=9,所以

%=3,%+。8=2%=6,又数列也｝是等比数列，打她=3百，则（4）=36,

63

%+。8--

-4-2

b5-b2bg=31+b2b§

故选：C

F77C：-2—=1（。〉0,b〉0）

4.如图所示，1,2是双曲线ab的左、右焦点，双曲线C的右

支上存在一点3满足"与，班与双曲线c的左支的交点/平分线段'片，则双曲线

c的离心率为（）

C.屈

【正确答案】C

【分析】设陷月阳=x（x>°）,由双曲线的定义可求得阿l=2x,|%|=2x-2a,

\AF2\=x+2a^利用勾股定理求得x=3a,在△姐月中利用勾股定理即可求得区。的关

系式，从而求得答案.

【详解】设四=恒周=Mx>0）,由双曲线的定义得阿l=2x,|组=2x-2a,

|，阊=X+2Q

222222

由明，陷得3入I=|AB\+\BF2I,(x+2a)=X+(2X-2a)

解得x=3a,所以幽|=6a,忸闾=4a.

在△瓦怩中，由勾股定理得二）=|期『+四匕，（24=（6疗+（旬2

e=

整理得=13/,即双曲线C的离心率

故选：C.

5,若数列也J满足%=2,an+ian=%—1,则a20U=()

A.2B.2C.3D.-1

【正确答案】A

【分析】先分析归纳出数列的周期，利用周期可得答案.

［详解］•.•数列｛4｝满足囚=之，%+4=%T,

.02-1-2-2a3=1-2=-1o=1-（-1）=2%-1---

,•，，4，，

.••{%}是周期为3的周期数列，而2024=3x674+2,故-4%万,

故选：A

22

。：土-乙=122

6.若双曲线,/b2。>°6>°的一条渐近线被圆（》-4）2+/=16所截得的弦长为

4,则C的离心率为（）

A.6B.也cYD.2

【正确答案】D

【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到凡6的关系式，从而求

离心率.

c：44=1"土纥

【详解】由。人可得其渐近线为a

4b

依题意，圆（%—4?+/=16的圆心（4,0）到云一町=0的距离为4r万

化简得：。，

故选：D

7.如图，设片、月分别是椭圆的左、右焦点，点P是以片鸟为直径的圆与椭圆在第一象限

A.-2

B.-1C.-2D.-3

【正确答案】C

【分析】由点P为圆与椭圆的焦点，可得wP修，归团+P用=2。，结合条件，应用

连接尸片、年,由尸在以^为直径的圆上，故3,尸石,

尸、。在椭圆上,故有阀㈤明=2a,阚|+|第=2a,

设|。阊=%则阀1=4网=4加，

则有|P@=2a-4m+m=2a-3m\F｛Q\=2a-m

即可得0加）+（2。—3加）=（2tz-m）,解得°=3加，

PF.\

..tanZPR^=―^=2

故归闾=2a-4加=2M，则叫,

故kpF）=tan（兀_/尸6片）=_tan/PEG=一2

故选：C.

8.已知数列｛4｝满足递推公式二3。3=1则X%X?X•••X为9XQ]00=

)

^2101-2

.100

C.3D.

【正确答案】A

［分析］对""=3。；一1两边取对数得In%+In3=2(lnan_x+In3),令"=In4+In3,则

可得｛4｝是以M3为首项，2为公比的等比数列，求出“，从而可求出与,进而可求得结果.

［详解］由题意可得％1〉。，则由%得In%=ln(3a；_i)=ln3+21n%_i,

所以lna“+ln3=2(ln%T+ln3),

令3=ln%+ln3,则2=2"T，A=Inq+ln3=ln3,

所以数列｛"｝是以In3为首项，2为公比的等比数列，

所以"=In3•2"T,所以In4=In3・2^-In3=(21—1)In3,

Q2"Tln3

〃3_£

n々

所以3,

2ln321|n31n91n21113

e°ee”3e283e"

a,xxa,x•••xaOQxtz,nn=------x-------x-------x…x-------x---

所以3333

1298100

U(2°+2+2+-+2+2")In3U(2-l)ln3

故选：A

关键点点睛：此题考查等比数列的判定及等比数列的求和公式的应用,解题的关键是对已知

递推式两边取对数变形构造等比数列，考查数学转化思想和计算能力,属于较难题.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分；两个选项正确，选对一个得3分；三个选项正确，选对一个

得2分，两个得4分；选错或不答得0分.

9.数列｛%｝的前〃项和为J,则下列说法正确的是（）

A.若。"=—2"+*,则数列｛4｝的前5项和§5最大

B.若等比数列｛""｝是递减数列，则公比q满足°<"1

C.已知等差数列｛""｝的前〃项和为S",若S2025>0,则即）13>°

｛%｝为等差数列，则数列

D.已知也是等差数列

【正确答案】CD

【分析】根据等差数列的单调性判断A,根据等比数列的单调性判断B,根据等差数列前项

和公式及下标和性质判断C,根据等差数列的定义判断D.

13

〃V—

【详解】选项A,由%=—2〃+13,令2〃+13〉0,解得2,令

13

%=—2〃+13<0,解得〃>万，

〃eN*,所以。6>O,为<°,又数列%=—2〃+13单调递减，故数列｛%｝前6项的和最

大，故A错误；

选项B,当为(°,时，等比数列｛%｝也是递减数列，故B错误；

2025(a+07M)

82035=----------――^=2025a013Q、八、八

选项C,2一..若$2025〉0,则即)13〉0,故C正确；

on(n-l),

Sn=%〃+----a

W为等差数列，则2,

SnddSn+lSnd

〃22,贝ij〃+ln2(为常数)，

...数列〔〃J也是等差数列，故D正确.

故选：CD

„X22_1

.DC:---Fy—1F77

10.已知点48是椭圆4"的左、右顶点，点4,%分别为c的左、右焦点，点

。为原点，点RQ是椭圆上关于原点对称的两点，且不与48重合，则(

四的取值范围是G—2+6)

A.

B」叫+例=5

c.以线段优用।为直径的圆被直线x-y+i=°截得的弦长为2/

kPA-kPB=——

D.直线PA与直线PB的斜率之积4

【正确答案】AD

【分析】利用焦半径公式计算可判定A,利用椭圆的对称性及定义可判定B,利用点到直线

的距离公式及弦长公式计算可判定C,利用两点斜率公式计算可判定D.

对于A,设易知为*(—2,2),

PF

\I|=Jgo+G)+丁；=

则

=—X0+2G(2-V3,2+V3)

2'，,故A正确；

对于B,易知四边形尸/以为平行四边形，

即附出西=阀|+卢阊=2"=4,故B错误；

对于c,易知以线段闺鸟।为直径的圆其圆心为原点，半径为G,

故选：AD

11.设等比数列｛""｝的公比为"前〃项积为北，且满足条件内＞1M2022

仅2022—1),仅2023_1)<0则下列选项正确的是()

A0<q<l

B.〃2022,。2024.>0

C.%。23的值是看中最大的

D.使北〉1成立的最大自然数〃等于4044

【正确答案】AD

【分析】先由条件分类讨论得到“2022>1，“2023<1,再利用等比数列的性质即可求

解.

［详解］・.・％〉］,(^2022—1).(42023-1)<0,。2022,々2023>1,

“2022<1.2022>

<V

。2022，°2023同号，且1^2023>1或1°2023<1，

若0<0,则。2022，。2023不同号；

若"21,则4022>1，出023〉1,不满足要求；

故可得。2022>1，电023<1,故A正确；

；。2022,°2024一1=a2023一1,且。2023<1，可得.2022,°2024一1=a2023-1<0,故B错;

与023=^2022,a2023,又「。2022〉L。2023<1,4023<%022且%022最大，故C错；

^4044=2a3…a4042a4043a4044,看045=<2必2a3…。4043a4044a4045且｛%｝为等比数列

由等比数列的性质可得看。44=(。2022,^2023)〉1,看045=(。2023)<1

二使北〉1成立的最大自然数"等于4044,故D正确.

故选：AD.

关键点点睛：本题解决的关键在于推得进而得到电。22>1，出(>23<1,从而得解.

第n卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知数列｛%｝的前n项和I=(〃+1),则数列""｝的通项公式为

4,〃二1

2〃+1,〃22

【正确答案】

【分析】根据给定条件，利用前〃项和与第〃项的关系求出通项公式.

【详解】数列｛%｝的前〃项和S"=(〃+1),

当〃22时，4=S"—Sn_x=(〃+1)?—=2〃+1,

而q=5=4,不满足上式，

4,“=1

所以数列｛%｝的通项公式为"[2n+l,n>2

4,77=1

故"”[2n+l,n>2

13.已知抛物线C：r=4x的焦点为为C上一点，5为c的准线与X轴的交点,

ABLAF.若0为坐标原点，贝|COSN/OF=.

【正确答案】2##-2+新

【分析】根据圆的性质，可得点A满足的方程，联立抛物线方程，可得点A的坐标，根据余

弦的定义，可得答案.

由题意知。为线段时的中点，又4BLAF,所以3=M=1.

设,则片+=1.

由A为C上一点，得M=4x°.

将V；=4%代入x；+y；=1,可得x；+4/-1=0,

解得/=6一2（负值已舍去），

COSZAOF=^\=45-2

则^

故6-2

14.椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆

22

C:—+^=l（O<Z?<2）口p

的另一个焦点上.已知椭圆4b-"为其左、右焦点是0上

的动点，点且MM+阿用的最大值为6,则6=.动直线/为椭圆

C的切线，右焦点8关于直线/的对称点为尸（机'〃），则点尸到直线x+V+6夜=°的距离

d的取值范围为.

【正确答案】①.桓②.I?

【分析】根据椭圆定义可得出阿图+即1=2。，可得出MM+M用小用+2°,当且

仅当M为射线N居与椭圆的交点时，等号成立，可求出a的值，进而可得出6,根据椭圆的

光学性质可得出点P的轨迹是以'G""）为圆心，半径为4的圆，结合圆的几何性质可求

得d的取值范围.

【详解】根据椭圆定义得师用"招|=2。,

当且仅当M为射线N8与椭圆的交点时，等号成立，

因为州|+防|的最大值为6,且。=2,则版1=，2+°2=2,解得。=血，

则b=\la2-c2=V4-2=V2.

设/切椭圆于点A,

由椭圆的光学性质可得尸、A、与三点共线，闺尸1=归/1+|/=闺闻+1眼=2°=4

则点P的轨迹是以1V，1为圆心，半径为4的圆，

|-V2+6V2l_

所以，到直线x+尸6Go的距离为V2,

由圆的几何性质可知，点尸到直线X+V+60=°的距离最小值5—4=1,最大值5+4=9,

即de[1,9]

故血；I"

方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基

本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.已知数列｛""｝的前〃项和5,且满足2s“+%=1.

(1)求｛""｝的通项公式；

建

(2)记数列｛%｝的前〃项乘积为北，求北的最小值.

1

a”

【正确答案】（1）3"

⑵■31-28

【分析】（1）由4与S"的关系，先判定｛4｝是等比数列，再求出数列的通项公式.

（2）根据（1）中的结果，表示出北，结合二次函数和指数函数的单调性求最小值.

【小问1详解】

当〃=1时，2。［+。］=1=>13

当“22时,2S"+%=1,且2S"_］+a"T=l

%=1

两式相减得.3%—4T=°n«„-i3

1

所以｛%｝是以§为首项，以§为公比的等比数列.

1

Q”=—

所以3〃

【小问2详解】

1

T=—x4rX-^-X««

11w(n+l)

•X-----——----------------------

233"31+2+3-1—\-n

由（1）可知:"3333-

"("+1)»(»+1)

2-15〃

c29-2--8«

所以雹=支x3=3

所以当"=7或〃=8时，/相等且最小，为

16.在直三棱柱NBC—481G中，D、M、NE分别为棱'4、"1、中点.

-4=.

若4B=4C,且5c,则当2为何值时，有BN“AB]?

(2)

【正确答案】（1）证明见详解

（2）力=1

【分析】（1）构造平行四边形得线线平行，结合线面平行判断定理即可证明.

⑵如图建立空间直角坐标系，设8c=2x,Z4=2x2,得出各点坐标，令BN・AB[=O

即可求解.

【小问1详解】

取MN的中点为p，连接DE,EF,AF,

vD，E,少分别为幺4，，跖V的中点，结合题意得ADHEF,且AD=EF,

故四边形4DEF为平行四边形，

DEHAF

又。平面4A/N,4Fu平面/A/N,

.•.。£〃平面ZJW.

连接EG,由题意得EG_L底面Z8C,如图以G为原点，以GC,G4GE分别为x,，z轴

正方向建立空间直角坐标系，

设48=NC=],BC=2x,AAt=2xA

则A(0,Vl-x2,0),B(-x,0,0),N(x,0,2x),(-x,0,22x)

2

BN=(2x,0,Ax),ABX=(-x,-Vl-x,2Ax)

贝ij丽•福=-2x2+222x2=-2X2(1-22)=0

得之2=1，丸=±1,由题意得之=1,

"的右焦点为尸，左右顶点分别为A,8.已知椭圆的离心

\AF\=3

率为2,।।

（1）求椭圆的方程;

（2）己知尸为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP交y轴于点°,且忸尸I〈忸若

三角形”尸。与三角形。尸8的面积比为i：2,求直线AP的方程.

22

工+匕=1

【正确答案】（1）43

V氏八

y=±-—(^-2)

(2)4

【分析】（1）根据已知线段长度与离心率，求解出“，°的值，然后根据求解出

b的值，则椭圆方程可求；

（2）根据条件将问题转化为三角形"8°与三角形的面积比，由此得到关于力的关

系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得尸的坐标，则可求

8尸直线方程.

【小问1详解】

_C_1

因为，MF|=3；所以o=2c,q+c=3,

所以a=2,c=l,所以b=而丁=6

i=l

所以椭圆方程为43.

【小问2详解】

如图，因为三角形4P0与三角形。尸8的面积之比为1:2,

所以三角形48。与三角形。尸5的面积比为5:2,

5

所以MH词5强=2

，得力4

显然直线BP的斜率不为0,设直线BP的方程为x=my+2t

x=my+2

3X2+4/=12所以（3机2+4»2+12机.v=0

联立

12m2

yp=—7坨=

所以3m-+4,YM

_2_

m=5

12m42^2

-----7----加=±----

所以3m+4,解得3

2^/2RD.2V2

m=-----BP:x=-----y+2

当3时，3,

2V2

m---------

当3时,BP"-当2

故直线成的方程为片土乎（'一刀

22

-7—=1（a〉0,6〉0）FS

18.已知双曲线C：ab的右焦点为<'町，且C的一条渐近线恰好

与直线x—y+i=o垂直.

（1）求C的方程；

（2）直线/：、=町+1与C的右支交于/,8两点，点。在C上，且40上工轴.求证：直

线BD过点F.

【正确答案】（1）V—J7,=2

（2）证明见解析

【分析】（1）根据焦点坐标及渐近线的斜率列式求解即可；

（2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，韦达定理，根据向量共线坐标运算得三点共线,

即证.

【小问1详解】

由焦点坐标为，（2，°）得。=2,所以/+/=22,

22

-2'一=1（口〉0,6〉0）

又双曲线C：统b-的一条渐近线恰好与直线'—J+11=0n垂直，

_b__12_i

得a即口，所以标=〃=2,

22

----T--122_0

所以双曲线C的方程为22,即x=4

【小问2详解】

由题意可知直线/的斜率存在且不为0,所以加H0,

设4（西，必）,3（如歹2）,则。（占,-必）,由⑴可知，双曲线C的渐近线为六土尤,

又直线/与双曲线C的右支交于4,2两点，则帆,即

X=叼+1

联立卜2-r=2,消去X得M-1»2+2叩-1=0,

后

则A=4m2+4（tn2一1）=4（2机？一1）〉0得？（帆<1

2m1

%+%*/_1,0%一/T,贝M+%=2吵必，

又EQ,。），所以砺=（/—2,必），丽=（x「2,一弘），

所以（再一2）%+&-2）%=（叼i—1）%+（叼2一1）%=2加%为一（凹+%）=°,

所以丽〃丽，又而，丽有公共点月所以8,F,。三点共线，

所以直线AD过点F.

19.若集合N表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合/中的每一条直线

都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是/中的一条直线，则称该圆为集合

A的包络圆.

（1）若圆£：必+产=4是集合'=｛（x/）1ax+”=2｝的包络圆.

（i）求a,b满足的关系式；

（ii）若