2024-2025学年四川省成都市高三年级上册12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年四川省成都市高三上学期12月月考数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.一个容量为10的样本，其数据依次为：9,2,5,10,16,7,18,23,20,3,

则该组数据的第75百分位数为（）

A.15B.16C.17D.18

{“"}的前〃项和，若。则

2.记S”为等差数列3=$3=3,Sg=()

A.64B.48C.36D.24

.sin2a

sin2a-\------二

3.若tana=2,贝|tana()

6136

A.5B.3C.-5D.-5

4.直线//+即一机-3=0被圆。:/+/_©_4.片0截得的最短弦的弦长为（）

A.屈B.亚

C.2指D.2V2

/（x）=：1-x2-2ax-a,x<0

^+ln(x+l),x>0在R上单调递增，则0的取值范围是()

5.已知函数

A.（一8,01B.[T，。]C.1，1]D.0+⑼

6.已知四面体/8CO的各顶点都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD=2^,平

面平面BCD,则该球的表面积是（）

A.100兀B.40Kc.20兀D.16兀

/■=丘_巫2

7.己知直线,‘一"万与抛物线C：/=2/（p>0）相交于“I两点，以为直径的

圆与抛物线。的准线相切于点/（T2）,则MB卜（）

A.5B.6C.8D.9

8.点尸是V/8C所在平面内的点，且有强+7万+5前=0,直线/P，W分别交

BC，4B于点D,E,记的面积分别为贝|耳：’2=（）

2116

A.25B.25

1624

C.35D.35

二、多选题（本大题共3小题）

9.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，

每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事

件8：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（）

A.事件4,4为互斥事件B.事件8,C为独立事件

C."ID,昨⑷4

10.下列命题为真命题的是（）

A.已知耳鸟是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且

V7

“冏=6。。,|*=3|明，则双曲线C的离心率为2

y=x+—>2

B."％”在R+上恒成立的充要条件是“左=1”

C.已知函数/（X）的定义域为RJ（x）7为奇函数，/（x+2）为偶函数，则

/(1)+/(2)+…+/(16)=16

e7Ve猴

a——Q——c-.....

D.设90,10,9,则“，6，c的大小关系为

（715兀）

11.已知函数/6）=2。。$（5+夕）3>0,|同<兀）在区间［五，区1上单调，对VxeR,满

足且，则下列说法正确的是（）

A.若函数尸/㈣3>°）在区间［加上单调，则勺°'12_

（兀）「2329

“、一，加ms—,—

B.若函数町在（2J上恰存在3个极值点，则L1212

C.函数）=/（'）+"在（2J上有四个零点%,％2，工3，工4,贝IJ/（』+%2+%3+%4）=0

D.若。<"<詈，"）"）之则+二七

三、填空题（本大题共3小题）

|z+l-2i|=

12.已知复数z=2-i（其中i为虚数单位），

13.为进一步强化学校美育育人功能，构建德智体美劳全面培养的教育体系，某校开设

了音乐、美术、书法三门选修课程.该校某班级有5名同学分别选修其中一门课程学习，

每门课程至少有一位同学选修，则恰好有2位同学选修音乐的概率为.

1bL

f(x\-(x+2b—+—ax2+2abx-l(b>0}——

14.已知函数2,在R上单调递增，则a的最大

值为.

四、解答题(本大题共5小题)

15.如图，在直三棱柱中，2E分别是的中点,

1兀

AC=BC=-AAZACB=-

2，2.

(1)求证：/E〃平面Cd。；

(2)求平面G8。与平面8CG夹角的余弦值.

ccosB+—b=a

16.在三角形N8C中，内角4瓦0的对边分别为0,6,c,且5

(1)求cosC；

1,12

r2.2.A-bHC

⑵若。=2,且匕+c<4,求59的取值范围.

过点MO，。)的直线/交椭圆

17.已知椭圆或b-的离心率为2,

C于点4巴且当Ux轴时，幽=6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)记椭圆C的左焦点为尸，若过尸，42三点的圆的圆心恰好在y轴上，求直线的

方程.

、Inx1

=

j(x)--------FaxH—

18.已知函数xx.

(1)当。=°时，求/(X)的最大值；

(2)若/(X)存在极大值，求。的取值范围.

19.对于一个给定的数列｛%｝,令“=%+%包，则数列｛4｝称为数列｛%｝的一阶和数

列，再令q，=6"+2+i,则数列｛&｝是数列｛"J的二阶和数列，以此类推，可得数列

｛“/的〃阶和数列.

⑴若｛""｝的二阶和数列是等比数列，且％=°,出=1,。3=°,4=3,求。7；

(2)若为=〃，求"J的二阶和数列的前〃项和；

(3)若值｝是首项为1的等差数列，也｝是㈤｝的一阶和数列，且3*424T(注2),

%+&+…+久=1000,求正整数人的最大值，以及左取最大值时应｝的公差.

答案

1.【正确答案】D

【详解】将这些数从小到大重新排列后为：2,3,5,7,9,10,16,18,20,23,

10x0.75=7.5,则取从小到大排列后的第8个数,

即该组数据的第75百分位数为18.

故选：D.

2.【正确答案】B

【详解】因为邑为等差数列也｝的前〃项和，且％=&=3,

所以。3=邑=%+出+%=3。2=3,解得出=1,

又公差d=%-%=2所以。&=。2+62=1+6*2=13ax=a2—d=—\

=8(%；%)=4(—1+13)=48

所以

故选：B.

3.【正确答案】A

.2sin2a.2sinacosa.32sin2+2cos2a

sina+--------=sin2a+-------：---------=sin2a+2cosa=------------------——

tanasmasina+cosa

【详解】cosa

sinasin267+2COS2atan2a+26

tan(X-z2=2=

因cosor,贝sina+cosatantz+15

故选：A

4.【正确答案】C

【详解】设圆C的圆心为点C,圆C的标准方程为：（》-2）2+（了-2）2=8,圆心坐标为

。，2）,半径厂=2行，

直线/的方程可化为：x+〃z&T）一3=0,所以直线恒过定点“（3J）,

当直线时，直线/截圆C的弦长最小，根据勾股定理可知：

=2%_用2=2^V2j-[(3-2)2+(l-2)2]=276

弦长的最小值

故选：C

5.【正确答案】B

【详解】因为/（*）在R上单调递增，且xNO时，〃x）=e'+ln（x+l）单调递增,

-2Q

则需满足j〈e°+lnl,解得_".0,

即a的范围是[一I8].

故选：B.

6.【正确答案】C

【详解】过三角形的中心E作平面/AD的垂线，

过三角形8CD的中心厂作平面BCD的垂线，

两垂线交于点°，连接°。，

依据题中条件可知，。为四面体/2C"的外接球球心,

因为AB=BC=CD=DA=BD=2C,

所以=2,8=1,

贝I]OD=yJOF2+FD2=V5,

即外接球半径为后，

则该球的表面积为4兀即）=2。兀，

故选：C.

7.【正确答案】C

【详解】由题意知，抛物线C的准线为x=-l,即2,解得0=2,

因为〃=2,所以抛物线C的方程为：/=4x,其焦点为厂（1,0）,

I:y=kx~—

又直线-2,所以直线/恒过抛物线的焦点厂（L0）,

设点4（%1%），见%2%）,因为48两点在抛物线C上,

卜：=4占y,-y2_4_k

联立方程1*=4xz,两式相减可得，%一%y,+y2,

_2

设N3的中点为。（X。/。），则”一工，因为点°（x。/。）在直线/上，

x()=N+lojyy+l,7]

解得可得左，所以点1左左)是以45为直径的圆的圆心，

r_MM_X+/+2_2-0+2__2_+2

由抛物线的定义知，圆°的半径一〒——2——2*,

因为IW「」g+2)+]12)=:所以[g+2)+[>2)]g+2

I___L-__F2=4

解得人=1,贝IJ2I2,贝"/切=8.

8.【正确答案】D

【详解】

由2+7万+5元=0可得P4+7PB+5解-PB尸,即JA+IPB+5PC,

设PA=xPD,PC=yPE,因为反AC三点共线，则存在实数2,使得

PB=ARD+（l-AyPC

将苏=》而，正=»屋代入池+2方+5定=0可得

尤而+214而+（1—几）了丽]+5y丽=0即（x+22）PS+[5y+2（l-A）j]PF=0

Jx+22=0\2

由于丽而不共线，则(2(1-彳万+5y=0,解得:=-7,

即方=一7而，网=7|叫

同理，设PC=UPE,则］P/=-2P8-5〃PE

-2-5〃=1=〃=一即附卜|附

因为4及2三点共线，所以，，即J，

又由三角函数的诱导公式可得smZCPA=smZCPD,

…_5S+%°，网.斥卜［底"/+:冈丽视”尸叱24

,)2-c—1-，

S"E■网同sin/4PE35

所以2lII।

故选：D.

9.【正确答案】ACD

【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的,

A正确;

由于是红球有3个，白球有2个，事件3发生时，两球同为白色或同为红色,

c(

PgC；_3

P(B)C；+C；4

戏，事件3不发生，则两球一白一红,P(C)=1,8,C不独立,

B错；

C55,C正确；

事件4发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件0才发生,

3

P(C|4)=-

所以4,D正确.

故选：ACD.

10.【正确答案】AC

【详解】对于A,设归周=^^4=3〃?，由双曲线的定义可得

1^1-\PF2\=2a=2m^m-a

即圈=3。,|明=。,

在耳耳中，由余弦定理可得4c2=/+9/_2晨3acos60。，可得4c2=7/,

所以「e=2,故A正确；

y=x+—32

对于B,当左=3时，x在R+上也成立，故B错误

对于C,因为"x）T为奇函数，所以/（r）T=Y"x）-1）,即/（X）+/（T）=2,即

"x）的对称中心为（°』），

因为“x+2）为偶函数，所以“x+2）=/（2-x）,即/（x+4）=/（-x）,

又/（x）+/（-x）=2,即“x）+/（x+4）=2,

所以〃X+4）+/（X+8）=2,所以“x）=f（x+8）,故/（x）的周期为8,

因为41）+/（5）=2，/（2）+/（6）=2,/（3）+/（7）=2,/（4）+/（8）=2,

所以“1）+〃2）+…+”16）=2［“1）+/（2）+.."（8）］=16,故0正确；

Ina=1-In90,Inc=--In9

对于D,对a"取对数可得10,

O9

.

aei.=-91-1

Ina-Inc=1-In90-£----0In90=----In—=lne10-In—

作差可得副°10101010

21

e10>1>—

因为10,所以lna>lncDa>c,故D错误;

故选：AC.

11.【正确答案】ACD

5兀

/X

,则/（X）关于

【详解】由于对称，又n,故

_571兀5兀5兀

"二五是/（X）的最小值点，结合/（X），x——

在区间1212上单调，因此和12是相

2兀

T=—x4=710)=:——=2

邻的对称中心和对称轴，故6>，则T.

5兀

----F0=71+2E,左£Z

，故6

(p=—/(x)=2cos|2x+—

由于网＜兀故6,故I6

/(kx)=2cosI2kx+—

62Ax+-e-,2hi+-

对于A,1I当XG[0,TI]则6|_66

若函数丘）（化＞°）在区间［°H上单调，则汨+钎无，解得。得黄则

I12」，A正确，

如图：作出函数的图象如下：

亿/相卢，”]

12J上恰存在3个极值点，则U212」，故B错误,

令/（x）+左=0,则"x）=+故"x）的图象与广一左有四个交点，如图,

5兀17兀c571c17K1171

x——X=------X]+X[+退+%=2X---F2X...-

则匹户2关于12对称,%3，%4关于12,故亍，则

故C正确,

八71271八11兀

0<cr<—,——<p<——

如图，作出,二与/（“）的交点，可知:6312

cos(2a+工71]=9=cos\2a+—713

/（。）=2

6565

2-1二3714

cos\2a+-\=2cosa+-aH---

6125125

则

兀

0<a<—

结合6

cos12P+胃=2cos2(/7+g]-1=g=>cos2J+今4

则5

a+cos]77+-cos+展]sin

+sin「+Z]

…u+丹山+总I12JsiT+H

-4V3-3

sin](/一£+己=sin(a-y?)cose+cos(a-〃)sin£=

故10D正

确,

故选：ACD

12.【正确答案】如

【详解】由题意可得z=2+i,

所以F+lT=|2+i+l一斗|3』

所以模长为，2+(T)2=厢,

故答案为.历

2

13.【正确答案】5/0,4

【详解】5名同学分别选修其中一门课程学习，每门课程至少有一位同学选修,

p2p2pl01「匕

当匕.A；+E^A；=150

共有A?A2种情况.

恰好有2位同学选修音乐共有C；C|C；A?=60_

._60_2

所以恰好有2位同学选修音乐的概率一面一《.

2

故答案为

14.【正确答案】-e275

f\x)=(x+2b)e"+办+2ab=(x+2b)(ex+a)

【详解】由题设

当。20时，e*+a>0,此时在(一°°，―26)上/'(x)<0,不合题意；

当"0,若/''0)=0,可得x=-2b或x=ln(-a),

若ln(-a)<-2人时，在(ln(-*-2b)上，ex+a>0,x+2b<0,则/'(x)<。，不合题意,

若ln(-a)>-26时，在(-26,In(-a))上，ex+a<0,x+26>0,则/'(x)<。，不合题意，

2b

若ln(-a)=-2b时,即。=-e-,

在(-co,-26)上e*+a<0,x+26<0,则/"'(x)>0,

在(-26,+<»)上e"+a>0,x+26>0,贝|/'(x)>0,

显然〃x)在R上递增，满足题设，

2

^_><_J>_2^b=.L

综上，a=e~e=e,当且仅当行时等号成立，

所以目标式最大值为常也.

故-产

15.【正确答案】(1)证明见解析

V6

⑵6

【详解】⑴由ABC-AAQ为直三棱柱，得平面ABC,又NBCA=90°,

以C为原点，C4C8,CC］分别为x轴，了轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角

坐标系，

不妨设A4=2,

c(o,o,0),A(1,0,0),G(o,0,2),5(0,l,0),Z>(1,0,1),E(0,：,0)

由题意可得：2,

于是—=(T：⑼,QB=(O,l,-2),QD=(l,O,-l)；

n'CB=y-2z=0

<1

设平面G助的法向量为为=("Z),则〔M.CQ=x-z=0,取z=l,得无=(1,2,1),

显然荏G=0,即通〃平面G?。，而4EO平面G8。，

所以/£//平面CRD

（2）由（1）可知，平面空。的一个法向量为方=。，2,1）,显然x轴垂直于平面CJB,

不妨取其法向量为而=0，°，°）,设所求的平面夹角为

Icose|=|cos<m,ri'）\=匕？=--^==恪

则l^ll«llxV66,

V6

即平面CH。与平面夹角的余弦值为6.

C-4

16.【正确答案】（1）

3912>

⑵而石J

【详解】（1）根据正弦定理可知:

44

sinCcos5+—sin5=sin力=>sinCcos^H--sin5=sin(5+C)=>ysin5=sin5cosC

5

因为3e（°，兀）,所以sin"0,所以'"。一二

b1+c2-a2_b1+c2-4

（2）由余弦定理可知:2bc2bc,因为〃+。2<4所以cos/<0,

,兀

A>一

2,tanZ<0,

cosC=-e兀「兀

因为52'2sinC=-—<c<—

7,所以5,64

由正弦定理得:

ab。_入asinB2sin(4+C)2sinAcosC+2sinCcosA86

sinAsinBsinCsinAsinAsin/55tanA

asinC6

c=---------=---------

sinA5sin/

所以

2(3।2(sin2/+cos2/)l8_2(2।3।j8

864

----1-------------1----------—22

592525tan/25sin225tanAsinA2525tanAtanA}25

--------------1---------F2H--------------------1---H---------

25<tanAtan/)2525<tanA4J100,

—<C<—A<—tanA<-1,0>--->-1

因为64,所以4,所以tan4

134（1।3丫।3939

所以嬴，一W时，25（tan/4）1。。取得最小值而,

4（13?39493912

-----------------------1—~\-----------<—X1-----------=—

并且25（tan44）100251610025

1712「39121

所以二9的范围是Li。。2人

X22,

—y=1

17.【正确答案】（1）4-

（2）%土岛一1=0

22Q

【详解】(1)由题意得：“(NJ,得。=26,

y=^J—^—|明=2」口^=J/_]=Gj_

又当x=l时，'4，则Va,所以。=2,即〔。=2,

f2_,

所以椭圆C的方程为4•.

(2)设过£48三点的圆的圆心为。(。,〃)，/。”月),呢,％),又黑五°),

则3「=|。歼，即(现-0)2+(必-")2=(0+⑸+("0)]

丫2丫2

/(rv、---FV=1—+>^12=1

又ID在椭圆4-上，故4.，代入上式化简得到：

3y；+2〃弘-1=0,①

同理,根据磔「=3「可以得到：3£+2%-1=0,②

,,__1

由①②可得：%%是方程3/+2盯-1=0的两个根，则'跖一一3,设直线/8：

----FV2=]1

'4-31

x="+l,联立方程：卜="+1,整理得：(/+4)商+2)-3=0,故"为一F7Z一一

解得r=5,所以"土石，所以直线的方程为.x土岛T=°

【详解】（1）由题可知"x）的定义域为（0，+8）,

“、1nx1、-Inx

f(X)=----1f(^)—5-

当Q=0时，XX,X

令/'G)=0,解得x=l

当0＜x＜l时，/（x）单调递增;

当x＞l时，/'（x）＜0,/（X）单调递减.

所以当x=l时，“X）取极大值，也是最大值，故/（X）的最大值为"1）=1

，/_1-lnx1_ax2-Inx

+a=

J(x尸--2—2------------2----------

(2)x%x

,2-Inxg'(x)=2ax--=—―-

令g(x)="mx,则―x无

当aWO时，g'（x）＜°,g（x）在（O,+8）上单调递减,

g（x）fg⑵=4"ln2＜o,根据零点存在定理，得g（x）在（0,2）内存

当xf0时,

在唯一的零点X。，

在（O，x。）上，g（x）＞0,f'（x）＞0,/（X）单调递增；

在（x°,2）上，g（x）＜o,f'（x）＜0,/（x）单调递减，