江西省九江市高中数学 第一章 计数原理 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理（一）教学实录 北师大版选修2-3

江西省九江市高中数学第一章计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（一）教学实录北师大版选修2-3授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图本节课以江西省九江市高中数学第一章“计数原理”中的分类加法计数原理和分步乘法计数原理（一）为主要内容，旨在帮助学生掌握计数原理的基本概念和方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算的核心素养。通过探究分类加法计数原理和分步乘法计数原理，学生能够发展抽象思维能力，学会运用逻辑推理解决实际问题，提升构建数学模型的能力，增强空间想象力和提高数学运算的精确性。学情分析本节课面向的高中一年级学生，他们在初中阶段已经接触过基础的数学知识，具备一定的数学思维能力和解决问题的能力。然而，由于个体差异，学生的知识层次存在一定差异：

1.知识方面：部分学生可能对组合数学的概念理解不够深入，对排列组合的基本原理掌握不牢固，这会影响他们对计数原理的理解和应用。

2.能力方面：学生的逻辑推理能力和抽象思维能力存在差异，部分学生可能难以从具体情境中抽象出数学模型，影响他们对计数原理的运用。

3.素质方面：学生的数学学习兴趣和自主学习能力有所不同，部分学生可能对数学学习缺乏兴趣，需要教师激发他们的学习积极性。

4.行为习惯：学生的课堂参与度和合作学习习惯各异，部分学生可能缺乏主动提问和思考的习惯，这会影响课堂互动和教学效果。

-需要根据学生的知识基础调整教学难度，确保教学内容的适宜性。

-注重培养学生的逻辑推理和抽象思维能力，通过实例和练习帮助他们理解和应用计数原理。

-激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极参与课堂讨论，提高课堂互动效果。

-培养学生的自主学习能力，引导他们养成良好的学习习惯，为后续数学学习打下坚实基础。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版选修2-3《计数原理》教材。

2.辅助材料：准备与分类加法计数原理和分步乘法计数原理相关的图片、图表和教学视频，以帮助学生直观理解概念。

3.教学工具：准备计算器、计数器等工具，以便学生在课堂上进行实际操作和练习。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行小组合作学习，并确保教室环境安静、整洁，有利于学生集中注意力。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

1.教师通过提问的方式，引导学生回顾初中阶段学过的排列组合知识，如“从5个不同的球中取出3个，有多少种不同的取法？”

2.学生回答后，教师总结并引出本节课的主题：“计数原理”，强调计数原理在解决实际问题中的重要性。

3.展示生活中的实例，如购物抽奖、体育比赛等，让学生体会计数原理在实际生活中的应用。

二、新课讲授（用时15分钟）

1.讲解分类加法计数原理：

-教师通过实例（如将一本书分为封面、封底和中间部分）引导学生理解分类加法计数原理的概念。

-通过列举不同分类方法，让学生体会分类加法计数原理的应用。

-举例说明如何运用分类加法计数原理解决实际问题。

2.讲解分步乘法计数原理：

-教师通过实例（如从A地到B地有三种交通工具：步行、骑自行车、开车，每种交通工具又有两种不同的路线）引导学生理解分步乘法计数原理的概念。

-通过列举不同步骤，让学生体会分步乘法计数原理的应用。

-举例说明如何运用分步乘法计数原理解决实际问题。

3.讲解计数原理的应用：

-教师展示一些实际生活中的问题，如“从5个不同的球中取出3个，有多少种不同的取法？”

-学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行解答，教师点评并总结。

三、实践活动（用时15分钟）

1.学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。

2.教师挑选几道具有代表性的题目，让学生上台讲解解题思路，其他学生进行点评。

3.教师针对学生解答中存在的问题进行讲解和示范。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.教师提出问题：“如何运用计数原理解决实际问题？”

2.学生分组讨论，举例回答：

-问题1：班级有5个男生和4个女生，从中选出2名男生和1名女生参加比赛，有多少种不同的选法？

学生回答：运用分类加法计数原理，先从5个男生中选出2个，有C(5,2)种选法；再从4个女生中选出1个，有C(4,1)种选法。所以总共有C(5,2)×C(4,1)种选法。

-问题2：一个班级有8名学生，他们分别参加篮球、足球和乒乓球三个运动项目，每个项目至少有1名学生参加，有多少种不同的参加方式？

学生回答：运用分步乘法计数原理，先确定每个项目至少有1名学生参加，有3种选法；再考虑剩余的5名学生如何分配到这三个项目，有C(5,1)×C(4,1)×C(3,1)种选法。所以总共有3×C(5,1)×C(4,1)×C(3,1)种选法。

-问题3：一个班级有10名学生，他们分别参加篮球、足球和乒乓球三个运动项目，每个项目至少有1名学生参加，有多少种不同的参加方式？

学生回答：运用分类加法计数原理，先确定每个项目至少有1名学生参加，有3种选法；再考虑剩余的7名学生如何分配到这三个项目，有C(7,1)×C(6,1)×C(5,1)种选法。所以总共有3×C(7,1)×C(6,1)×C(5,1)种选法。

3.教师点评学生的回答，并总结计数原理在解决实际问题中的应用。

五、总结回顾（用时5分钟）

1.教师总结本节课所学的分类加法计数原理和分步乘法计数原理，强调它们在解决实际问题中的重要性。

2.教师举例说明本节课的重难点，如如何运用计数原理解决实际问题。

3.教师鼓励学生在课后继续练习，巩固所学知识。

用时总计：45分钟学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握：

-学生能够准确理解并掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的基本概念和原理。

-学生能够熟练运用这两种计数原理解决实际问题，如排列组合问题、概率问题等。

-学生能够将计数原理应用于生活中的实际问题，如购物抽奖、体育比赛等。

2.能力提升：

-学生在逻辑推理能力方面得到提升，能够从具体情境中抽象出数学模型，并运用计数原理进行推理。

-学生在数学建模能力方面得到增强，能够将实际问题转化为数学问题，并运用计数原理进行解决。

-学生在空间想象能力方面得到锻炼，能够通过计数原理理解并描述空间关系。

3.学习兴趣：

-学生对数学学习产生浓厚兴趣，能够主动参与课堂讨论，积极提问和思考。

-学生在学习过程中体会到数学的趣味性和实用性，增强了对数学学习的自信心。

4.自主学习能力：

-学生能够自主学习，通过查阅资料、合作学习等方式，独立解决计数原理相关的问题。

-学生养成良好的学习习惯，如按时完成作业、主动复习巩固知识等。

5.课堂参与度：

-学生在课堂上积极参与讨论，能够主动分享自己的解题思路，与同学进行互动。

-学生在小组讨论中能够倾听他人意见，尊重他人观点，形成良好的团队合作精神。

6.实践应用：

-学生能够将计数原理应用于实际生活中，解决实际问题，提高生活技能。

-学生在参加数学竞赛、科技创新等活动中，能够运用所学知识展示自己的能力。板书设计①计数原理概述

-分类加法计数原理

-分步乘法计数原理

②分类加法计数原理

-基本概念：将问题分为若干个互斥的类别，每类计数方法独立，各类计数方法的总和即为问题的总数。

-例子：从A地到B地有三种交通工具：步行、骑自行车、开车，每种交通工具又有两种不同的路线。

③分步乘法计数原理

-基本概念：将问题分解为若干个相互独立的步骤，每步计数方法独立，各步骤计数方法的总乘积即为问题的总数。

-例子：从5个不同的球中取出3个，有多少种不同的取法？

④应用实例

-排列组合问题

-概率问题

-生活中的实际问题（如购物抽奖、体育比赛等）

⑤计数原理公式

-分类加法计数原理：C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]

-分步乘法计数原理：P(n,m)=(n!)/[m!*(n-m)!]

⑥讨论与练习

-举例说明如何运用计数原理解决实际问题

-学生自主练习，巩固所学知识教学反思教学反思

今天上了这一节“计数原理”的课，我觉得整体上效果还不错，但也有些地方需要改进。

首先，我觉得课堂的导入做得不错。通过生活中的实例，如购物抽奖、体育比赛等，让学生感受到计数原理的实际应用，激发了他们的学习兴趣。但是，我发现有些学生对于这些实例的理解还不够深入，他们可能更习惯于抽象的数学问题。因此，我需要在今后的教学中，更加注重将抽象的数学知识与实际生活相结合，让学生在具体情境中理解数学概念。

在新课讲授环节，我按照分类加法计数原理和分步乘法计数原理的顺序进行了讲解。对于分类加法计数原理，我通过具体的例子，如从5个不同的球中取出3个，有多少种不同的取法？引导学生理解其概念和应用。对于分步乘法计数原理，我也用了一个类似的例子来讲解。我觉得这些例子都比较贴近学生的生活，能够帮助他们更好地理解这两个原理。

然而，在讲解过程中，我发现部分学生对分类加法计数原理的理解不够透彻。他们往往只看到问题的表面，而没有深入挖掘问题的本质。这就需要我在今后的教学中，更加注重培养学生的逻辑思维能力，引导他们从多个角度思考问题，从而更好地理解计数原理。

实践活动环节，我让学生独立完成教材中的练习题，并挑选了几道具有代表性的题目让学生上台讲解解题思路。这个环节我觉得效果不错，学生的参与度很高，能够积极地参与到课堂活动中来。但是，我也发现有些学生的解题思路不够清晰，他们在阐述问题时缺乏逻辑性。这提示我在今后的教学中，需要加强对学生解题能力的培养，教会他们如何清晰、有条理地表达自己的思路。

在学生小组讨论环节，我提出了几个问题，如如何运用计数原理解决实际问题？学生们积极参与讨论，举例回答了各种问题。这个环节让我看到了学生的潜能，他们能够将所学知识灵活运用到实际问题中。但是，我也发现有些学生对于复杂问题的分析能力还不够强，他们往往只能停留在表面，难以深入挖掘问题的本质。这需要我在今后的教学中，更加注重培养学生的分析问题和解决问题的能力。

总的来说，今天这节课