期末重难点真题特训之基础常考题型（84题28个考点）（解析版）

期末重难点真题特训之基础常考题型（84题28个考点）【精选2023年最新真题训练】基础常考题一、全等图形1．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）下列说法：①能够完全重合的两个图形一定是全等图形；②两个全等图形的面积一定相等；③两个面积相等的图形一定是全等图形；④两个周长相等的图形一定是全等图形．这些说法中正确的是（

）A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根据全等图形的定义和性质进行解答即可．【详解】解：①能够完全重合的两个图形一定是全等图形，此说法正确；②两个全等图形的面积一定相等，此说法正确；③两个面积相等的图形不一定是全等图形，原说法错误；④两个周长相等的图形不一定是全等图形，原说法错误；综上分析可知，正确的是①②，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了全等图形的定义与性质，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义，能够完全重合的两个图形为全等图形．2．（2023上·湖北荆州·八年级统考阶段练习）如图，四边形四边形，若，，，则．

【答案】105【分析】根据全等的性质求出′，，利用四边形的内角和公式求出的度数即可求出度数．【详解】解：四边形四边形，′，．，，，，．故答案为：105．【点睛】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质．3．（2023·江苏·八年级假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：

【答案】见解析【分析】根据全等图形的定义和方格的特点解答即可．【详解】解：如图：

【点睛】本题考查了图形的分割和全等图形的定义，熟练掌握方格纸的特点是解答本题的关键．基础常考题二、全等三角形的性质1．（2023上·江苏南京·八年级南京钟英中学校考期中）如图，相交于点．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质；先求得，进而根据全等三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵∴，故选：A．2．（2023上·江苏淮安·八年级统考期中）已知，其中，，则．【答案】/度【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．直接根据全等三角形的性质“对应角相等”即可求解．【详解】解：∵，，，∴在中，故答案为：．3．（2023上·江苏南京·八年级校考开学考试）如图，，点在同一直线上，．

(1)求证：；(2)的度数是__________，的长是__________．【答案】(1)见解析(2)，4【分析】（1）由全等三角形的性质推出，即可证明；（2）由三角形内角和定理得到，由全等三角形的性质得到，，即可求出．【详解】（1）证明：，，；（2）解：，，，，，，．故答案为：，4．【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．基础常考题三、全等三角形的判定1．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定及性质；证明可求解，证明全等是解题的关键．【详解】解：，，，，，故选C．2．（2023上·江苏扬州·八年级统考期中）如图，已知，根据“”只需补充条件就可以判定．【答案】【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．对应的三边相等的两个三角形全等，由此即可得到答案．【详解】解：在和中，，．故答案为：．3．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，，，垂足分别为D、C，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是，结论是．（填序号）【答案】①②（答案不唯一）；③（答案不唯一）【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定及性质，根据平行线的性质得，再利用可得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：你选的补充条件是①②，结论是③，理由如下：，，，，，在和中，，，，，，故答案为：①②（答案不唯一）；③（答案不唯一）．基础常考题四、添加条件使三角形全等1．（2023上·河北廊坊·八年级校联考期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定，先分析已知条件，再根据三角形的判定方法逐项判断即可，掌握，和等判定方法是解题的关键．【详解】解：由图可得和中，有一条公共边，有一组对角相等，A选项，添加后，满足两组对边相等，一组对角相等，但该组对角不是两组对边的夹角，无法判定；B选项，添加后，满足两组对边相等，且两组对边的夹角相等，根据可判定；C选项，添加后，满足一组对边相等，两组对角相等，根据可判定；D选项，添加后，满足一组对边相等，两组对角相等，根据可判定；故选A．2．（2023上·江苏连云港·八年级江苏省灌云高级中学校考期中）如图，已知点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是．(只需填一个即可)

【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了全等三角形的判定；要判定，已知，可得，又，具备了两组边对应相等，故添加，利用可证全等．（也可添加其它条件）．【详解】解：增加条件：，∵∴，∴，∴；故答案为：（答案不唯一）．3．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．（只填序号）问题：已知：如图，、相交于点O．且，，求证：．

【答案】①；②；（答案不唯一）【分析】观察图形，对于和来说，是公共边，即，选①和②，可以通过来证明，即可作答．【详解】解：已知：如图，、相交于点O．且，，求证．∵，，，∴．（答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、是解题的关键．基础常考题五、简单的全等三角形模型题1．（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长至，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围．【详解】解：如图，延长至，使，∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，即∴．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键．2．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝．

【答案】3【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论．【详解】解：如图，连接AD．

在Rt△ADF和Rt△ADC中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），∴DF＝DC，∵BD＝5，BC＝4，∴CD＝DF＝5﹣4＝1，∵EF＝BC＝4，∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（2023上·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，为中边上的中线．（1）求证：；（2）若，，求的取值范围．【答案】（1），（2）【分析】（1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，利用等量代换可得；（2）把，代入（1）的结论里，再解不等式即可．【详解】（1）证明：如图延长至，使，连接，∵为中边上的中线，∴，在和中：，∴，∴（全等三角形的对应边相等），在中，由三角形的三边关系可得，即；（2）解：∵，，由（1）可得，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键．基础常考题六、轴对称图形的识别1．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可求解．【详解】、不是轴对称图形，故选项不合题意；、不是轴对称图形，故选项不合题意；、不是轴对称图形，故选项不合题意；、是轴对称图形，故选项合题意；故选：．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．2．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）五个图形分别是正三角形、等腰梯形、长方形、正五边形，直角三角形，其中一定是轴对称图形的个数为．【答案】4【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴【详解】解：根据轴对称图形的定义可知正三角形、等腰梯形、长方形、正五边形是轴对称图形；直角三角形不一定是轴对称图形，共4个一定是轴对称图形；故答案为：4【点睛】本题考查了轴对称的定义，掌握轴对称图形的概念；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合3．（2023上·福建南平·八年级校考期中）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形（阴影部分）为轴对称图形．【答案】答案见解析【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：所补画的图形如下所示：【点睛】本题考查了轴对称，解题的关键是掌握轴对称的概念和性质．基础常考题七、根据成轴对称图形的特征进行求解1．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，与关于直线对称，且，，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查成轴对称图形的性质，根据对应角相等，以及三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：∵与关于直线对称，，，，．故选D．2．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）如图，与关于直线l对称，若，，则．【答案】/40度【分析】根据三角形内角和定理得到，根据对称性质得到，计算即可．【详解】∵，，∴，根据对称性质得到，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．3．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，和关于直线m对称．

(1)结合图形指出对称点．(2)和有什么关系？若，，求的度数．(3)分别连接，直线m与线段有什么关系？线段之间有什么关系？(4)延长线段AC与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．【答案】(1)A和，B和，C和(2)(3)直线m垂直平分线段，(4)见解析【分析】（1）根据成轴对称的性质求解即可；（2）首先根据成轴对称的性质得到，然后利用全等三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可；（3）根据成轴对称的性质求解即可；（4）根据成轴对称的性质求解即可．【详解】（1）∵和关于直线m对称∴对称点有A和，B和，C和．（2）∵和关于直线m对称∴在中，，∴．（3）∵和关于直线m对称∴直线m垂直平分线段，．（4）∵和关于直线m对称∴它们的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上．规律：若两条线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴m上．【点睛】本题考查成轴对称的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是掌握成轴对称的性质，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴．成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上基础常考题八、镜面对称1．（2023上·安徽阜阳·八年级统考期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查轴对称的图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解．【详解】解：如图所示，根据题意作对称图，故选：．2．（2023上·江西萍乡·八年级校联考期中）王红在电脑中用英文写个人简历时，把其中一句倒排成：则正确的英文为．【答案】【分析】本题是镜面反射的知识，可以在这句话的正上方放一面镜子，看镜子里的字母就可以了．【详解】解：如图在这句话的正上方放一面镜子，很容易得到正确的英文为．故答案为：．3．（2023下·七年级统考课时练习）小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？【答案】见解析【分析】根据镜面对称的性质即可解答.【详解】沿着镜面反射即可，如图所示．【点睛】本题考查镜面对称，熟练掌握镜面对称的性质是解题关键.基础常考题九、设计轴对称图案1．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图是4×4正方形网络，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为轴对称图形．满足这样条件的白色小方格个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．

故选：D．【点睛】此题考查轴对称图案，解题关键在于利用对称轴找出对称图案即可．2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在等边三角形网格中，每个等边三角形的边长都为1，图中已经涂黑了3个三角形，从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中不能与图中涂黑部分构成轴对称图形的是号位置的三角形．【答案】①、②【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．【详解】从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中不能与图中涂黑部分构成轴对称图形的是①、②号位置的三角形．故答案为：①、②．3．（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上．(1)在网格中画出向下平移3个单位得到的；(2)在网格中画出关于直线m对称的；(3)在直线m上画一点P，使得的值最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了几何图形的平移，轴对称，（1）根据平移的性质作图即可；（2）根据轴对称的特点作图即可；（3）连接交直线m于点P，问题得解．【详解】（1）如图，即为所求；（2）如图，即为所求；（3）连接交直线m于点P，则点P即为所求点．基础常考题十、角平分线的性质与判定1．（2023上·浙江台州·八年级校考期中）如图，在中，，是的角平分线，是边上一点，若，则的长可能是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，利用角平分线的性质可求出的长，结合点到直线垂直线段最短即可得出，再对照四个选项即可得出结论．【详解】解：过点作于点，如图所示平分，，，．又是边上一点，，．故选：D．2．（2023上·江苏淮安·八年级统考期中）如图，是的角平分线，于点E，于点F．若的面积为，，，则的为．【答案】2【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据性质解题即可．【详解】解：∵是的角平分线，于点E，于点F，∴，设，则，∵，∴，解得：，即的长为故答案为：2．3．（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，在中，，平分，交于点，于，点在上，且．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)14【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）先由角平分线的性质得出，再由证即可得出结论；（2）先由证，得出，结合（1）中进而得出，即可求解．【详解】（1）证明：平分，，，，，在和中，，，；（2）解：在与中，，，，，，由（1）知，，，∵，，∴．基础常考题十一、垂直平分线的性质与判定1．（2023上·陕西延安·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线相交于点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理．连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算是解题的关键．【详解】解：如图所示，连接，∵，∴，∵、的垂直平分线交于点O，∴，∴，∴，∴，∴，故选：C．2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，是的边的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，且，的周长为12，则的长为．

【答案】5【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两段的距离相等可得，进而可得，再结合的周长为12，即可求解．【详解】解：是的垂直平分线，，，的周长为12，即，，故答案为：5．3．（2023上·山东滨州·八年级校联考期中）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，垂足为，且，连接．(1)求证：；(2)若的周长为，则的长为多少？【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质：（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论；（2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案．【详解】（1）证明：∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴；（2）∵的周长为,∴，∵,∴，∵，，∴，∵∴．基础常考题十二、等腰三角形1．（2023上·江苏徐州·八年级徐州市第十三中学校考期中）如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交于点，的周长是，则的周长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据角平分线和平行性的性质可得是等腰三角形，可得的值，再根据三角形的周长即可求解．【详解】解：∵与的平分线交于点，∴，，∵过点作的平行线分别交于点，即，∴，，∴，，∴是等腰三角形，即，，∵，∴，即，∴，即的周长是，故选：．2．（2023上·江苏南京·八年级南京师范大学附属中学江宁分校校考阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，是线段的中点，于点若，，则的长为．

【答案】【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质得到，推出，于是得到结论．【详解】解：连接，

的垂直平分线交于点，，，，，是线段的中点，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．（2023上·湖北十堰·八年级统考期中）如图，在中，的周长为26cm，，，、的垂直平分线分别交于、，与、分别交于点、．求：

(1)的度数；(2)求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，然后计算即可；（2）根据三角形的周长公式结合计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，∴；（2）∵的周长为，，∴，∵，∴的周长．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．基础常考题十三、等边三角形1．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）如图，，点为内一点，，分别作出点关于的对称点，连接交于，交于，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，连接，点P关于的对称点为，可得，，根据，从而是等边三角形，即得，故的周长可求出．【详解】解：连接，如图：

∵点P关于的对称点为，，∴，，，，，是等边三角形，，的周长为：．故选：B．2．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）如图，是的中线，，把沿直线折叠后，点C落在的位置上，那么．【答案】5【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．由题意知，，由折叠的性质可知，，，证明是等边三角形，根据，求解即可．【详解】解：∵是的中线，，∴，由折叠的性质可知，，，∴，∴是等边三角形，∴，故答案为：5．3．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）如图，等腰中，，点D在上，点E在延长线上，连接，且．

(1)求证：；(2)若，且，求的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）利用等边对等角求得，利用三角形的外角性质即可证明结论成立；（2）作于点F，证明是等边三角形，求得，，利用含30度角的直角三角形的性质求得，再利用等腰三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵等腰中，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：作于点F，

∵等腰中，，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质、直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．基础常考题十四、含30度角的直角三角形1．（2023上·江苏徐州·八年级校考期中）如图，在中，，．根据尺规作图的痕迹作直线分别交于点D、E．若，则的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形．连接，可得，根据可推出，根据即可求解．【详解】解：连接，如图所示：∵，，∴由题意可知：直线是线段的垂直平分线，∴，∴，，，，故选：C2．（2023上·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）如图，是边长为5的等边三角形，D是上一点，交于点E，则．【答案】1【分析】本题考查含角的直角三角形，等边三角形的性质，由等边三角形的性质得到，，由含角的直角三角形的性质推出，而，求出，因此．【详解】解：∵是边长为5的等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：1．3．（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，为边上一个动点（与均不重合），，连接．

(1)求证：平分；(2)若，当四边形的周长取最小值时，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由等边三角形的性质可知,再利用等量代换可得，最后利用可证全等，得出，即可得证；（2）由可知当四边形的周长取最小值时即取最小值时，此时，求出此时的值，即可求解．【详解】（1）证明：是等边三角形，即在和中，，，又∵，则∴平分；（2），，，四边形的周长为，当四边形的周长取最小值时，即取最小值时，此时，

，，，．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．基础常考题十五、斜边的中线等于斜边的一半1．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在中，，，O为斜边中点，将线段绕点O转至，若，则锐角的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，再证明，得，便可求得结果．关键是证明三角形全等．【详解】解：∵，O为斜边中点，∴，∴，∴，由旋转知，∴，∵，，∴，∴，∴，故选：A．2．（2023上·江苏扬州·八年级统考期中）如图，、分别是的高，M为的中点，，，则的周长是．【答案】13【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出，再求的周长即可．解题时主要利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质．【详解】解：∵、分别是的高，M为的中点，，∴在中，，在中，，又∵，∴的周长．故答案为：13．3．（2023上·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，已知中，，E是的中点，垂直平分．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等等，根据三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等推出是解题的关键.（1）三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，由此得到；（2）根据等边对等角得到，，利用三角形外角的性质得到，则.【详解】（1）证明：∵，∴，∵E是的中点，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）解：∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∴.基础常考题十六、勾股定理的证明方法1．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用面积与恒等式，②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理；③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即可求解．【详解】解：根据题意得：②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理；③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和，即，整理得：，可以证得勾股定理；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即，整理得：，可以证得勾股定理；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即，整理得：，可以证得勾股定理；所以可以证明勾股定理的图形有③④⑤，共3个．故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形，正方形的面积的不同求法是解题的关键．2．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为．【答案】53【分析】根据全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积等于的面积与的面积的和，列出算式计算即可求解．【详解】解：∵，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出，，以及由图形得到四边形的面积等于的面积与的面积的和．3．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）数学活动中，小明和同学动手拼图发现：两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形，可以拼成如图所示的直角梯形．

(1)请你用两种不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c之间有什么数量关系呢？请证明你的发现．(2)若这个直角梯形的上下底之差为，高为，请计算一下的面积．【答案】(1)，证明见解析(2)【分析】（1）利用梯形面积及三个三角形面积计算面积即可得出结果；（2）设上底长为x，则令下底长为，结合图形得出，，再由勾股定理及三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：利用梯形的面积公式计算为：；用三个三角形的面积和计算为：，∴，整理得；（2）设上底长为x，则令下底长为，∵高为，∴，∴，，∴．【点睛】题目主要考查勾股定理的证明及应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．基础常考题十七、勾股定理的逆定理1．（2023上·江苏南京·八年级南京钟英中学校考期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，根据勾股定理的逆定理判断A和C即可；根据三角形的内角和定理判断B和D即可．【详解】解：A．∵，∴是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵，∴最大角，∴不是直角三角形，故本选项符合题意；C．∵∴，∴是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵∴，∴是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．2．（2023上·江苏常州·八年级统考期中）若，三边长分别是，，，则是三角形．【答案】直角【分析】此题考查勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，利用较短两边的平方和等于较长边的平方即可得到三角形是直角三角形．【详解】∵∴是直角三角形，故答案为：直角．3．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）如图，四边形是公园中的一块空地，，．

(1)连接，判断的形状并说明理由；(2)公园为美化环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米需要费用200元，试问铺满这块空地共需费用多少元？【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)28800元【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理．（1）连接，在中，根据勾股定理得的长，在中，勾股定理逆定理可得是直角三角形；（2）先算出两个直角三角形的面积，即可得四边形的面积，即可算出费用．【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：如图所示，连接，

在中，，根据勾股定理得：，在中，，，∵，∴，∴是直角三角形．（2）解：，，∴，∴元，即铺满这块空地共需费用28800元．基础常考题十八、勾股定理的实际应用1．（2023下·广东云浮·八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为，这棵大树在折断前的高度为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，勾股定理求出的长，利用求解即可．【详解】解：如图，由题意，得：，，

∴，∴这棵大树在折断前的高度为；故选C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）“江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄在苏州园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高时，这段枝蔓的长是．

【答案】【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．【详解】由题意可得，展开图中，

在中，．∴这段枝蔓的长是，故答案为：30．3．（2023上·四川眉山·八年级统考期中）某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？

【答案】超速了，理由见解析，每小时超速了12千米【分析】首先根据题意得到米，米，，然后利用勾股定理得到，进而求解即可．【详解】解：小汽车超速了，理由如下：根据题意，得米，米，．在中，根据勾股定理，得，∴米∴小汽车行驶速度为(米/秒)(千米/时)(千米/时)答，这辆小汽车超速了，每小时超速了12千米．【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．基础常考题十九、平方根与立方根1．（2023上·全国·八年级专题练习）已知a的平方根是，则a的值是（）A． B．3 C． D．9【答案】D【分析】根据平方根的定义进行判断即可．【详解】解：∵，∴．故选：D．【点睛】本题考查平方根的定义，如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根．2．（2023上·广东佛山·八年级校考期中）若的平方根是，的立方根是2，则的值是．【答案】【分析】本题主要考查了根据一个数的平方根和立方根求原数，根据立方根和平方根的定义求出a、b的值是解题的关键：若，那么a就叫做b的平方根，若，那么a就叫做b的立方根．【详解】解：∵的平方根是，∴，∴，∵的立方根是2，∴，∴，∴，故答案为：．3．（2023上·江苏扬州·八年级校联考期中）已知的平方根是，的立方根是4．求m、n的值．【答案】，38【分析】本题考查平方根，立方根；如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，由此即可求解；关键是掌握平方根，立方根的定义．【详解】解的平方根是，，，的立方根是4，，，，，的值分别是，38．基础常考题二十、实数1．（2023上·江苏南京·七年级校联考期中）如图，将两个长为2宽为1的小长方形，沿图中的虚线剪开后拼成一个边长为a的正方形，则数轴上可以表示数a的点是（

）

A．M B．N C．P D．Q【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理的应用，无理数的估算，根据图形割补先得到正方形的边长为，再估算无理数的范围，从而可得答案．【详解】解：∵正方形的边长，∵，而在与之间；，为负数，在，之间，故选C2．（2023上·江苏·八年级专题练习）若，其中m和都是正整数，则m的值是．【答案】4【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根．先根据被开方数是正整数，确定m的取值，再根据是正整数确定最终的值即可．【详解】解：∵，且m是正整数，∴，或，∵是正整数，∴．故答案为：4．3．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题：(1)求的整数部分和小数部分；(2)若m是的整数部分，且，求x的值．【答案】(1)的整数部分是3，小数部分是(2)，【分析】本题考查了无理数的估算，平方根，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．（1）估算出整数部分，即可得小数部分；（2）求出的值，代入方程即可解得答案．【详解】（1）∵，∴的整数部分是3，小数部分是；（2）∵，即∴，的整数部分是4，则，∴∴，解得，，．基础常考题二十一、物体位置的确定1．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为.若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用有序数对表示出与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位位置，即可得出答案．【详解】解：如图所示：与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是或．故选：C．

【点睛】此题主要考查了用有序数对表示位置，正确掌握用有序数对表示位置是解题关键．2．（2023下·吉林松原·七年级统考期中）如图，有一个英文单词，它的各个字母的位置依次是，所对应的字母，如对应的字母是，则这个英文单词的中文意思为．

【答案】数学【分析】根据题目所给坐标，得出相应位置的字母，即可得出代表的英文单词，进而得到答案．【详解】解：∵对应的字母是，∴分别对应的字母为M、A，T，H，∴这个英文单词为，∴这个单词的中文意思为“数学”，故答案为：数学．【点睛】本题考查了用有序数对表示位置，能准确根据所给的有序数对得出点的位置是解本题的关键．3．（2023上·八年级课时练习）郑州市区的许多街道习惯用“经几纬几”来表示．小颖所乘的汽车从“经七纬五”出发，经过“经六纬五”到达“经五纬一”．（1）在图上标出“经五纬一”的位置；（2）在图上标出小颖所乘汽车可能行驶的一条路线图．还有其他可能吗？（3）你能说出图中“华美达广场”的位置吗？【答案】（1）“经五纬一”在广播大厦旁边的十字路口；（2）“经七纬五”“经六纬五”“经五纬五”“经五纬五”到达“经五纬一”；（3）“华美达广场”位于“经六路”与“纬三路”的十字路口附近【分析】（1）先在图中分别找出经七路和纬五路，两条路的交点位置即为“经七纬五"的位置，与上步同理可确定"经六纬五”、“经五纬一"的位置；（2）结合“市区图"即可画出路线图了；（3）根据“市区图”中“华美达广场”的位置确定其所在的“经"路与"纬"路，问题即可解答.【详解】解：（1）如图：“经五纬一”在广播大厦旁边的十字路口．（2）如图：从“经七纬五”到达“经五纬一”的路线不唯一．例如，“经七纬五”“经六纬五”“经五纬五”“经五纬五”到达“经五纬一”．（3）“华美达广场”位于“经六路”与“纬三路”的十字路口附近．【点睛】本题旨在让学生感受平面内确定物体位置的方法，在平面内确定一个物体的位置一般需要两个数据.基础常考题二十二、平面直角坐标系中点的坐标1．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（

）

A．7 B． C．3 D．【答案】D【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，“若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变”，据此解答即可．【详解】解：∵点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，∴，∴．故选：D2．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）平面直角坐标系中，点，轴，且，则点Q的坐标为．【答案】【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，由题意可得Q点的纵坐标为2，再由求Q点坐标即可．【详解】解：∵点，轴，∴点Q的纵坐标为1，∴设Q点的坐标为∵，∴，解得，或，所以，点Q的坐标为故答案为：3．（2023上·山东济南·八年级统考期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．(1)点B的坐标为；当点P移动4秒时，写出点P的坐标．(2)若点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿着的线路移动，点Q与点P同时出发，几秒后点Q与点P第一次相遇？【答案】(1)；(2)【分析】本题考查了矩形的性质、非负数的性质、坐标与图形性质，根据算术平方根和绝对值的非负性得，，根据矩形的性质及点的运动规律、灵活运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得：，得：，，得：，，，，∵，则点P运动的路程为8，此时点P运动到上，距点A个单位长度，，故答案为：；．（2）设t秒后点Q与点P第一次相遇，由题得：，解得，所以秒后点Q与点P第一次相遇．基础常考题二十三、函数的概念与图象1．（2023·江苏镇江·统考中考真题）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系．已知小明购物用时，从商场返回家的速度是从家去商场速度的倍，则的值为（

）

A．46 B．48 C．50 D．52【答案】D【分析】设小明从家去商场的速度为，则他从商场返回家的速度为，根据“从家去商场和从商场返回家路程不变”列方程求解即可．【详解】解：设小明从家去商场的速度为，则他从商场返回家的速度为，根据题意得：，解得：，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图像、一元一次方程的实际应用，根据函数图象正确列出一元一次方程式解题关键．2．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离s（单位：m）与时间t（单位：min）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为m．【答案】720【分析】根据图像可知，小峰的学校与家之间的距离为，实际骑车的时间为，由此即可求出骑车的速度；再利用速度乘以时间即可得该十字路口与小仙家的距离．【详解】解：小峰骑车的速度为（），该十字路口与小峰家的距离为（），故答案为：720．【点睛】此题考查是函数的图像，掌握函数图像的横、纵坐标的实际意义是解决此题的关键．3．（2023上·江苏连云港·七年级连云港市新海实验中学校考开学考试）小杰记录了一壶冷水加热过程中的水温变化情况，并制成了如下的统计图．请根据统计图填空．(1)加热前，水的温度是（）℃．(2)加热过程中，小杰每隔（）分钟记录一次水温．(3)水温从26℃上升到90℃，用了（）分钟，从90℃上升到100℃用了（）分钟．(4)根据科学课上所学内容，想一想，如果这样持续加热到第13分钟，水温会是（）℃．【答案】(1)26(2)1(3)(4)100【分析】（1）找到时间为0时对应的水的温度即可；（2）根据图象可知：每隔1分钟，记录一次水温；（3）观察图象即可得出结论；（4）根据水沸腾后温度不变，作答即可．【详解】（1）解：当时间为0时，对应的温度为26℃，所以加热前，水的温度是26℃；故答案为：26；（2）由图象可知，加热过程中，小杰每隔1分钟，记录一次水温；故答案为：1；（3）由图象可知，水温从26℃上升到90℃，用了分钟，从90℃上升到100℃用了分钟；故答案为：；（4）因为11分钟时水已经达到℃，达到沸点，再加热温度不会发生改变，所以加热到第13分钟，温度为℃；故答案为：100．【点睛】本题考查从函数图象获取信息．解题的关键是正确的识图，从图象中有效的获取信息．基础常考题二十四、正比例函数的图象与性质1．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）已知，是正比例函数图像上的两点，若，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】根据值比例函数性质直接判断即可得到答案．【详解】解：∵点，是正比例函数图像上的两点，∵，∴y随x增大而减小，∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查正比例函数的性质：时y随x增大而减小．2．（2023上·江苏盐城·八年级景山中学校考期中）已知y与成正比例，且当时，，则y与x的函数表达式是．【答案】【分析】根据正比例函数的定义，设，然后把，代入求出k的值即可得到y与x的函数关系式．本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟知自变量的表达式为．【详解】：解：根据题意，设，把，代入得，解得，所以y与x的函数关系式为．故答案为．3．（2023下·江苏南通·八年级统考期中）已知y与x成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数解析式；(2)当时，求y的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正比例的定义设，然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解；（2）求得和时所对应的函数值，然后根据一次函数的性质即可求得y的取值范围．【详解】（1）解：设该正比例函数的解析式为，把，代入，得，∴y与x之间的函数解析式为；（2）解：当时，，当时，，，∴y随x的增大而增大，∴当时，．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键．基础常考题二十五、一次函数的图象与性质1．（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致应为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据图象分别确定的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能．【详解】解：根据图象知：A、，则，正比例函数的图象不对，不符合题意；B、，则．图象正确，符合题意；C、当，过一、二、三象限，不符合题意；D、正比例函数的图象不对，不符合题意；故选：B．【点睛】一次函数的图象有四种情况：①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．2．（2023下·江苏苏州·八年级苏州中学校考阶段练习）已知直线的图象如图所示，若无论x取问值，y总取中的最小值，则y的最大值为．【答案】【分析】根据函数图象结合题意得出y的最大值为直线与的交点的纵坐标，进而联立直线与的解析式，即可求解．【详解】解：∵无论取何值，总取中的最小值，∴的取值如图所示（位于最下方的函数图象）：∴y的最大值为直线与的交点的纵坐标，联立，解得，所以，当时，的值最大，最大值为故答案为：.【点睛】本题考查了一次函数交点问题，根据题意求得y的最大值为直线与的交点的纵坐标，是解题的关键．3．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图像由一次函数的图像平移得到，且经过点．(1)直接写出这个一次函数表达式：；(2)若点，在这个一次函数的图像上，试比较与的大小．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一次函数平移的性质，一次函数的性质；（1）由平移的性质可得，将代入即可求解；（2）由，可得随着增大而增大，即可求解；掌握一次函数的增减性是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得，；故答案：．（2）解：，随着增大而增大，，．基础常考题二十六、一次函数的实际问题1．（2023·重庆綦江·校考三模）小李和小王分别从甲、乙两地同时步行出发，匀速相向而行小李的速度大于小王的速度，小李到达乙地后，小王继续前行.设出发小时后，两人相距千米，如图所示，折线表示从两人出发至小王到达甲地的过程中与之间的函数关系．下列说法错误的是（

）A．点的坐标意义是甲、乙两地相距千米B．由点可知小时小李、小王共行走了千米C．点表示小李、小王相遇，点的横坐标为D．线段表示小李到达乙地后，小王到达甲地的运动过程【答案】C【分析】根据已知及函数图象，逐项判断即可．【详解】点A表示时，即甲、乙两地相距千米，故A说法正确，不符合题意；点表示时，可知小李、小王共行走了（千米），故B说法正确，不符合题意；由小时小李、小王共行走了千米知二人速度和为（千米/时），点表示小李、小王相遇，相遇的时间是（小时），即点的横坐标是，故C说法错误，符合题意；由已知可得，线段表示小李到达乙地后，小王到达甲地的运动过程，故D说法正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，理解图中特殊点表示的意义．2．（2023下·江苏南通·八年级统考期末）甲、乙两人骑车从地出发前往地，匀速骑行．甲、乙两人与地的距离关于乙骑行的时间之间的关系图象如图所示．当时，甲、乙两人相距．【答案】15【分析】根据题意和函数图象中的数据求出两人的速度