2024高考数学常考题型 三角函数的图象与性质6大题型（解析版）

第11讲三角函数的图象与性质6大题型

【题型目录】

题型一：三角函数的周期性

题型二：三角函数对称性

题型三：三角函数的奇偶性

题型四：三角函数的单调性

题型五：三角函数的值域

题型六：三角函数的图像

【典例例题】

题型一：三角函数的周期性

【例1】（2022•全国•兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为无的奇函数是（）.

A.y=|tanx|B.y=sin|2x|

C.y=sinxcosxD.y=sinx

【答案】C

【分析】根据奇偶性可判断AB错误，根据周期公式可判断C正确D错误.

【详解】A选项，y=|tanx|为偶函数，故A错误；

B选项,y=/（x）=sin|2x|,则/（-x）=sin卜2x|=sin|2x|=/（x）,

故丫=如|2乂为偶函数，故B错误;

]：27r

C选项，=sinXcosx=-sin2x,最小正周期丁=彳=兀，且为奇函数，故C正确；

2兀

D选项，y=sinx为奇函数，最小正周期T=7=2n,故D错误.

故选：C.

【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①y=sin国；②>=卜皿小③y=kanx|；④

y=|l+2cos^,其中是偶函数，且最小正周期为万的函数的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y轴对称，>=$皿冈是偶函数，

但不是周期函数，，排除①;

②的图象如下，根据图象可知，图象关于y轴对称，y=|sinx|是偶函数,

最小正周期是乃，，②正确；

③的图象如下，根据图象可知，图象关于y轴对称，y=|tanx|是偶函数,

④的图象如下，根据图象可知，图象关于＞轴对称，y=|l+2cosX是偶函数，最小正周期为2%,.•.排除④.

故选：B.

【例3】（2022•全国•高三专题练习）函数/（x）=si“2尤-的最小正周期是（）

7171

A.—B.—C.兀D.2,71

42

【答案】B

【分析】将/（X）解析式用正余弦的和差角公式展开化简，即可得到结果.

【详解】13>5fW=sincos^2x+^

n「拒Y1也

=—sin2x------cos29%—cos29x-------sin2x

〔22人22J

1.0o石.2oA/32,3.o

=—sm2xcos2x------sin2x-------cos2ox+—sin2oxcos2x

4444

1..粗

=—sin4x------

24

所以7=与美,

42

故选:B.

【例4】设函数/（x）=cos2x+bsinx+c,则/"（x）的最小正周期（）

A.与方有关，且与c有关B.与匕有关，但与c无关

C.与6无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关

【答案】B

27r27r

【解析】因y=cos2x的最小正周期为T=—=7i:,y=sinx的最小正周期为T=—=2^

所以当bwO时，f（x）的最小正周期为2»；当6=0时，，（x）的最小正周期为万；

【例5】（2022•全国•高一课时练习）函数＞=28$21+?]-1的最小正周期为（）

7171

A.—B.—C.乃D.2兀

42

【答案】C

〃2兀

【分析】由降幕公式和诱导公式即可得到V=-sin2x,再通过T=时即可求解.

【详解】因为2%

y=2cos[x+?-1=cos2x+—=-sin2x,所以T=——=兀.

（22

故选：C

【例6】（2022•广西桂林•模拟预测（文））函数/（x）=2Mn6x+cos6x|的最小正周期是（）

【答案】D

【分析】根据周期的定义对选项一一检验即可得出答案.

【详解】“X)=2kin6x+cos6x|=20sin(6x+?)=20sin[6x+?),

因为/(x+f=2血sin^x+^+^=2A/2-sin^6x+^=/(x),

所以y(x)的最小正周期为

o

故选：D.

【例7】(2022•全国•高一专题练习)/(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是()

n

A.—B.乃C.2万D.3万

2

【答案】A

【分析】化简可得〃尤)=庖卬1,根据正弦函数的周期可得.

【详解】因为/(x)=|sinx|+1cosx|=J(|sinx|+|cosx|)~=[sin2x|+l,

因为y=sin2尤的最小正周期为万，所以y=bin2x|的最小正周期为

所以〃x)的最小正周期为不

故选：A.

【题型专练】

1.(2023全国高三题型专练)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos12x+。，@y=tan^2x-^

中，最小正周期为兀的所有函数为()

A.②④B.①③④C.①②③D.②③④

【答案】C

27r

【解析】Vy=cos12x|=cos2x,T---71；

y=|cosx|图象是将"cos%在元轴下方的图象对称翻折到x轴上方得到,

所以周期为万，由周期公式知，y=cos(2x+f)为%，y=tan(2x/^f,故选：C.

2.(2022.河北深州市中学高三阶段练习)下列函数中，最小正周期为"的奇函数是()

A.y=sin[x+£B.y=sin(乃+x)cos(万一x)

27

C.y=cosx-cosx+jD.y=sin|2x|

【答案】B

【分析】先化简各选项，由最小正周期的计算公式和奇、偶函数的定义对选项一一判断即可求出答案.

【详解】对于A：y=sinlx+最小正周期为2%,故A错误;

12万

对于B：）7=sinxcosx=-sin2x,最小正周期7=下-=»,且为奇函数，故B正确;

对于C：y=cos2x-sin2x=COS2A:,最小正周期为万的偶函数，故C错误;

对于D：_y=/(%)=sin|2x|,则f(-x)=sin|-2x|=sin|2x|=f(x),

故丁=皿|2工为偶函数，故D错误.

故选：B

3.（2022•北京昌平.高一期末）下列函数中，最小正周期为万的奇函数是（）

71

A.y=sinIx+—B.y=sin|2x|

4

C.^=sinxcosxD.y=cos2A:-sin2x

【答案】c

【分析】利用二倍角公式及正（余）弦函数的性质判断即可;

【详解】解：对于A：y=sin（x+?）最小正周期为2万，故A错误;

对于B：y=/(x)=sin|2x|,则/(-力=5诃-2耳=sin|2x|=/(x),故y=sin|2x|为偶函数，故B错误;

124

对于C：y=sin%cosx=]Sin2x,最小正周期7=《-=乃，且为奇函数，故C正确;

对于D：y=cos2x-sin2_x=cos2x,最小正周期为万的偶函数，故D错误;

故选：C

4.（2022•陕西渭南•高二期末（理））函数/（x）=sin2x+百sinxcos元的最小正周期是.

【答案】兀

.2兀

【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式将化简函数，再由7=时即可求解.

2CQS71

【详解】因为/(x)=sin%+6sinxcosx=^-+sin2x=sin\2x--\+^,

226

所以7=5-=".

故答案为：兀

5.（2022・全国•高一专题练习）已知函数〃x）=|gsin6yx-cos0H（。＞0）的最小正周期为万，则。=

【答案】1

【分析】利用辅助角公式，可得了（力解析式，根据正弦型函数的最小正周期的求法，结合题意，即可得答

案.

【详解】因为函数〃X）=|若sin5-cos矶=2sincox----

I6

12万

所以最小正周期为：5y解得

故答案为：1

6.（2022・浙江•杭十四中高一期末）函数y=cos《+xkosx-cos?尤的最小正周期为

【答案】万

【分析】利用诱导公式、二倍角公式、降幕公式和辅助角公式化简，然后由周期公式可得.

2.l+cos2x

【详解】因为y=cos—+xCOSX-cosx=-sinxcosx--------------

2J2

=一；(sin2x+cos2x)~^=一^^sin(2x+?)—g

所以T=—=7l.

故答案为：兀

题型二：三角函数对称性

【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）己知函数

/（口=$皿8+0]。＞0,0＜。＜3的两个相邻的零点为-则Ax）的一条对称轴是（）

1512

AA.x=—B.x=—C.x=-D.x='一

6633

【答案】B

【分析】根据两个相邻零点的距离求出最小正周期，从而求出。=兀，

代入特殊值后求出。=7=T，求出/（X）的解析式，求出对称轴方程为x=Z:+1：（左eZ）,从而求出正确答案.

36

【详解】设/（X）的最小正周期为T,则《=]-1-口=1,得T=生=2,所以°=兀，

23ICD

71

71X+—

TT7T

所以/（九）的对称轴为⑪=kn+—{keZ）,解得x=左十二（左GZ）,

取左=-1,得一条对称轴为直线x=-2

故选：B.

的图象（

【例2】（2022全国高一课时练习）函数y=cos2x+^J

§,o］对称B.关于点］K，。）对称

A.关于点

777T

C.关于直线犬==对称D.关于直线尤=］对称

【答案】D

【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为（而+三0）,令2x+J=）br+W，得人竺+二，丘Z,易知A、

232212

JTk7TTC

B错误；由余弦函数的对称轴为1=左打，令2x+；=%»,得尤=7--7，keZ,

326

7T

当左=1时，x=§,易知C错误，D正确；故选：D

【例3】（2022•江西省万载中学高一阶段练习）把函数y=sin（2x+F］的图像向右平移。（。>。）个单位长度,

所得图像关于了轴对称，则。的最小值是（）

，5兀一2兀一5兀一兀

A.—B.—C.—D.一

63126

【答案】c

47c

【分析】先利用平移求得〉=$ml（X-（p）+—,再由三角函数对称性即可求解

【详解】将函数y=si“2x+号J的图象向右平移。（0〉。）个单位长度得到函数y=sin2（x-^）+y,

•••所得函数图象关于y轴对称，

即专—2e=］+E,（左eZ）,

>0,

5兀

.••当％=0时，0的最小值为二.

故选：C

【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数〃尤）=3sin（2x+0）］-的图

像关于直线x=g对称，则（）

A.函数/'1+1）为奇函数

JTJT

B.函数/■（*）在---上单调递增

C.函数的图像向右平移。（。>0）个单位长度得到的函数图像关于x=J对称，贝壮的最小值是g

63

D.若方程〃x）=a在上有2个不同实根…，则归-目的最大值为

【答案】AC

【分析】根据题意得。=-7，/（x）=3sin^2x-^,再结合三角函数的图像性质依次分析各选项即可得答

案.

【详解】解：因为函数/（x）=3sin（2x+°）［-的图像关于直线x=寸称，

TTTTTC

所以，2x——1-67=——Fkjl,左£Z,解得（P=---Fk/,%£Z,

326

।—t、r兀TC

因为---＜夕＜一,

22

所以夕=-三，即/(x)=3sinf2%--^

6

所以，对于选项，函数

Ax+=|=3sin2x是奇函数，故正确;

对于B选项，当xe时，2x-£e三泻,由于函数'=$也尤在三空上单调递减，所以函数了⑺

_32J6\_26JL2O

TT7T

在上单调递减，故错误；

对于c选项，函数“X）的图像向右平移。（a>0）个单位长度得到的函数图像对应的解析式为

g（x）=3sin^2x-2d!--

若g（x）图像关于X=2对称，则2、2-2。-生=工+核，左eZ,解得。=一匹+红水eZ,

666262

77

由于a>0,故〃的最小值是故正确；

对于D选项，当尤时，

|_63」6OO

-TT2"

故结合正弦函数的性质可知，若方程/（力=。在上有2个不同实根占，%,不妨设再＜三,

则R—即取得最大值时满足g且2%-J=当，

6666

所以，、-司的最大值为?，故错误.

故选：AC

【例5】（2023江西省高三月考）若函数y=cos[&x+?J（oGN+）图象的一个对称中心是仁,0）,则。的

最小值为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】当1=工时，y=0,即cos（岁+g]=0,.•.处+工=工+而化eZ）,

6166J662

解得①=6k+2,①eN*，故当左=0时，。取最小值2.

冗

【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数y=2sin2x的图像向左平移五个单位长度，则平移后图象的

对称轴为（）

纪

且£

\)71

A|BX-

7262+-（keZ）

1

旦

府-

C\一D)冗

7X-

22+——（左eZ）

1212

【答案】B

TTTTTT

【解析】由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移一个单位得y=2sin2（%+—）=2sin（2%+/）,则

12126

jrJTJTKTT

平移后函数的对称轴为2工+生=生+左1,左eZ,即x=^+*/eZ,故选B.

6262

【题型专练】

1.（2020•四川省泸县第四中学高三开学考试）已知函数/（x）=sin[2x+?|,则函数/（%）的图象的对称轴

方程为（）

7TC[r

A.x=k7i——.kGZB.x=k,7i-\—,A;eZ

44

C.x='k7i,keZ1兀1r

D.x=—k77r+—.kGZ

224

【答案】C

【解析】由已知，/（x）=cos2x,令2x=k兀,keZ,得x=；左"，左eZ.故选：C.

其中。>0,1。1<兀.若/（等）=2,/（孚）=0,且

2.【2017・天津卷】设函数/(犬)=2sin(s+e),XGR,

OO

F（x）的最小正周期大于2兀，则

27121IK

A.a)=—,，(P----B.a)二一，(p--------

312312

1117117兀

C.CD=—,(D=---------D.co——,(p——

324324

【答案】A

5am…K

--------(p—2k]TiH—

8242

【解析】由题意得〈其中左1，左所以G=](42—2kl)——,

Ucon7

—^一+。=自兀

2兀2〜1

又7=——>2兀，所以0VG<1,所以口—,(p—2左]兀+71,

co

由网<兀得/=在，故选A.

3.（2023・全国•高三专题练习）将函数y=sin2x-代cos2x的图象沿x轴向右平移a个单位（a>0）所得图

象关于y轴对称，则。的最小值是（）

A.LcD

12-7-Hi

【答案】C

【分析】由辅助角公式，整理函数解析式，根据平移变换，结合对称性，可得答案.

、

【详解】函数y=sin2x—Gcos2x=2；sin2x—cos2x=2sin2x--\.

~213J

7

将函数y=2sin12x-?J的图象沿x轴向右平移a个单位（a>0）,

得到的函数：y=2sin12x-2a-g1•.•所得图象关于y轴对称，

/.2a+g=9+左肛（左eZ）,解得a=专+冷，（左eZ））

二。的最小值是去

故选：C.

4.12018・江苏卷】已知函数y=sin（2x+0）（—楙<夕<微）的图象关于直线x=|对称，则cp的值是

7T

【答案】一：

6

（2、2兀jr

【解析】由题意可得sin彳兀+。=±1,所以一兀+°=—+左兀，（p=——+hi（keZ）,

v3J326

I~I、r兀兀r-r*I^I1八兀

因为——<（p<一,所以左=0,夕=——.

226

5.（2022•广西南宁•高二开学考试多选题）把函数/（x）=sinx的图像向左平移;个单位长度，再把横坐标变

为原来的g倍（纵坐标不变）得到函数双尤）的图像，下列关于函数g（x）的说法正确的是（）

A.最小正周期为兀B.单调递增区间kTi-—,k7t+—aeZ）

C.图像的一个对移中心为D.图像的一条对称轴为直线式=专

【答案】ABD

【分析】由函数图像变换得到g（x）解析式即可判断A；利用整体代换法求出函数单调增区间即可判断B；

分别求出和的值即可判断C和D.

TT1

【详解】函数/Q）=sin尤的图像先向左平移g个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的J（纵坐标

不变），

得到g（x）=sin[2x+。]的图像，则其最小正周期为/=兀，A正确；

qrqrqr5冗JT

令-g+2farW2x+gv2祈+g（左eZ）解得增区间是kn---,lat+—（AeZ）,B正确；

当X='时函数g（x）=sin12x+?j的值为d=sin2d+]=sin^-y^0,故C错误；

当x时，函数80）=5布（2工+幻的值为1?\!|=$吊（2*^|+1]=$呜=1,

故图像的一条对称轴为直线》=曝D正确.

故选:ABD.

题型三：三角函数的奇偶性

[例1]（2022•全国・清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数/（x）=sin（2x+m+sin2x向左平移。个单位后

TT,

为偶函数,其中0,-.则。的值为（）

A.-B.-C.-D.1

2346

【答案】D

【分析】先对函数化简变形，然后利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析式，再利用其为偶函数可

求出e的值.

[详解]y（x）=sin[2x++sin2x

.c兀c.兀.c

=sin2xcos—+cos2xsin—+sm2x

33

3「上6°

=—sin2xH-----cos2x

22

=Gsin[2x+（1,

所以，（九）的图象向左平移e个单位后，得

y=y/3sin2（元+8）+看=A/3sin+2^+^,

因为此函数为偶函数，

所以26+二=巴+%兀,左EZ,得6=二十且,ZEZ,

6262

TT

因为0e0,-,

所以。=F，

6

故选：D

【例2】（2022.广东.执信中学高一期中）对于四个函数>=忖诩，y=|cosx|,y=sin|x|,y=tan|x|,下列说

法错误的是（）

A.y=|situj不是奇函数，最小正周期是万，没有对称中心

B.y=|co对是偶函数，最小正周期是万，有无数多条对称轴

c.y=sin|x|不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴

D.y=tan|x|是偶函数，最小正周期是万，没有对称中心

【答案】D

【分析】利用图象逐项判断，可得出合适的选项.

由图可知，函数，Tsinx|不是奇函数，最小正周期是万，没有对称中心，A对;

由图可知，y=|co&x|是偶函数，最小正周期是万，有无数多条对称轴，B对;

由图可知，函数y=tan国是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D错.

故选：D.

【例3】(2022•陕西师大附中高一期中)已知函数/(x)=sin2(x+：)+2,若。=f(lg5),fe=/(lg1),贝U()

A.a+b=QB.a-b=0

C.a+Z?=5D.a—b=5

【答案】C

【分析】根据三角函数的二倍角公式化简/(x)=sin2(x+：)+2,然后利用正弦函数的性质化简并比较四

4

的表达式，可得答案.

71

【详解】由题意得个『松+工)+2=匚士?+2=%必+3

4222

故a=/(1g5)=gsin(21g5)+1,=/(lg1)=/(-lg5)=sin(2lg5)+1,

故a+Z?=5,

故选：C

【例4】(2022•江西省铜鼓中学高二开学考试)将函数〃x)=sin2x+指cos2龙的图象向左平移夕(夕>0)个

单位长度得到一个偶函数，则夕的最小值为()

A.工B.女C.卫D.2

12636

【答案】A

【分析】化简函数/(尤)的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于。的

等式，即可求得。的最小值.

【详解】因为/(X)=5抽2%+百(：0$2%二2511112工+0］,

将函数八%)的图象向左平移(p((p>0)个单位长度，

得到函数y=2sin2(x+^)+|=2sin(2x+20+。］的图象，

因为函数y=2sin(2x+20+］)为偶函数，则2(p+^=^^k7r(keZ),

解得O=：|■+与(左£Z),

”>0,贝IJ当左=0时，。取最小值2

故选：A.

ax

【例5】(2022・四川成都•模拟预测(理))函数〃%)=ln—；+(炉・2%)sin(%-1)+2%+1在［0,2］上的最大值与

x+l

最小值的和为()

A.-2B.2

C.4D.6

【答案】D

【分析】将函数/(x)左移一个单位,即g(x)=/(x+l),根据解析式可判断g(-x)+g(尤)=6,即

函数g(x)关于(0,3)对称，即可求解.

【详解】将函数/(无)左移一个单位，得g(无)=/(x+l)=ln1^£+(尤2-1卜皿工+2》+3,xe[-l,l],

贝Ug(-x)+g(x)=6,

所以函数g(x)关于(0,3)对称，故最大值与最小值也关于(0,3)对称，其和为6,

故选：D

【例6】(2022•贵州贵阳•高三开学考试(理))已知函数/(x)=2cos(2x+e)(0<e<W)的图象向右平移(个

单位长度后，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于原点对称，则。=()

A.-B.—C.-D.—

34612

【答案】C

【分析】根据函数平移关系求出g(x),再由g。)的对称性，即得.

【详解】由题可知g(x)=2cos[21x—|^+e=2cos12x—g+0|图象关于原点对称，

所以夕——=—+kyi,eZ,因为0<9<万，

所以夕=g.

6

故选：C.

【例7】(2022•陕西•定边县第四中学高三阶段练习(理))已知函数〃x)=asinx-bcosx在x=?处取到最

大值，则小+f()

A.奇函数B.偶函数

C.关于点(匹0)中心对称D.关于x轴对称

【答案】B

【分析】首先根据已知条件得到+/sin卜+J],再判断(x+j的奇偶性和对称性即可.

【详解】因为=asinx-bcosn=Ja：+6,sin(x-。),其中tan0=—,

因为/(x)=asinx-匕cosx在x=(处取到最大值，

所以sin(E-o1=l,即二一夕=匹+2左"，kwZ,即e=一三一2左;r,kwZ.

<4J424

所以/(x)=yja2+b2sin]x+?+2上左]=y/a2+b2sin[x+,

贝IJ/[x+?)=\la2+b2sin(x+?=+及cosx为偶函数.

故选:B

【例8】(2023•全国•高三专题练习)写出一个最小正周期为3的偶函数〃x)=

【答案】cos-x（答案不唯一）

【分析】利用余弦函数的性质，结合已知函数性质写出满足要求的函数解析式即可.

【详解】由余弦函数性质知：y=cos（区）为偶函数且上为常数，

又最小正周期为3,则927r=3,即左=2%9,

k3

27r

所以/（X）=cos（—X）满足要求.

977

故答案为：COS（子x）（答案不唯一）

【题型专练】

1.（2022.全国•高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在1-半0）上单调递增的是（

A.y=cosWB.y=|cosx|C.y=sin^x-^D.y=tanx-cosx

【答案】AB

【分析】逐一研究函数的奇偶性与单调性即可.

【详解】对于A,Vcos|-x|=cos|x|,且函数y=cosW的定义域为R,

，函数V=cos|x|为偶函数，又%>0时，cos|x|=cosx,且函数y=cos%在（0,1

上单调递减，.•.函数丁=85忖在［-go］上单调递增，故A符合题意；

对于B,・・[cos(—%)|=|cosx|,且函数y=|cosx|定义域为R,

・•・函数y=|cosx|为偶函数，当时，y=|cosx|=cosx,

且函数y=cosx在卜拳oj上单调递增，

函数产由乂在上单调递增，故B符合题意；

对于C,：y=sin[x-^)=-cosx,

.•.函数'=5.[-[在[-资)上单调递减，故C不符合题意；

对于D,记)=/(%)=121«-(：0次，

贝!I/(-x)=tan(-x)一cos(-x)=-tanr-co&r,/.f(-x)丰/(x),

.,.函数'=1311彳-8$》不是偶函数，故D不符合题意.

故选：AB.

2.(2022・陕西•武功县普集高级中学高三阶段练习(文))已知函数/(力=3-0+sinx+a,若

/(lnm)=l,f^ln^=3,则.=()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

[分析]由利用函数性质计算+A-x),然后由已知计算/(lnm)+/(-lnm)从而可求得。值.

【详解】由函数〃%)=e*-eT+sinx+a,可得"-龙)+/(x)=2a.

因为/(ln,]=/(-ln〃7)=3,/(ln〃z)=l,所以/(111力2)+/111工]=1+3=4=24.

mJ\mJ

所以〃=2.

故选：B.

3.(2022•湖南倜南中学高二期末)函数为/(x)=sin[2x+o+g)偶函数的一个充分条件是()

A.(p=—B.(p=—

63

C.9=5D.(p=k兀GZ)

【答案】A

【分析】根据正弦型函数的奇偶性求参数。，结合选项确定一个满足要求的。值即可.

【详解】若函数〃x)=sin[2x+0+g)为偶函数，

TTTTTT

所以——=k7T-\——,keZ,贝！=■一，女wZ.

326

故选：A

4.（2022•贵州黔东南•高二期末（理））已知函数〃x）=cos（20"：｝o>O）的最小正周期为兀，将其图象向

右平移夕（。>0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）为偶函数，则。的最小值为（）

A.-B.-C.-D.-

6432

【答案】C

【分析】根据周期求。=1,根据平移可得g（x）=cos12x-20-5），根据g（x）为偶函数，满足-2夕-4=加,

即可求解.

【详解】r=1^=7t,.-.69=l,f（x）=cos^2x-y^g（x）=f（x-^）=cos^2x-2^-y^

•..函数g（x）为偶函数，.•.-2展4=板,即9=1一”,ZeZ.

362

兀

,”>0，

故选:C

5.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（无）=（尤2-2尤）sin（尤-口+工;在1⑴⑷⑶上的最大值为加，最小

x-1

值为N,则M+N=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】令=/（尤）转化为g（f）=f2sinf+；-sinf+l,令人⑺=产sinf+；-sinf,根据奇偶性的定义,

可判断九⑺的奇偶性，根据奇偶性，可得入⑺在一2,0）。（0,2]最大值与最小值之和为0,分析即可得答案.

【详解】由/（尤）=[（左一一1]sin（x—1）+1+工

x-1

令％-1=1,

因为不£[—1,1）51,3],所以/£[-2,0）D（0,2]；

那么/（九）转化为g（，）=»sin，+；—sinl+l,re[-2,0）o（0,2],

令力⑺=产sinZ+--sint,zG[-2,0）O（0,2],

贝U/z（一r）=（T）sin（一，）+^--sin~|t2sint---sint|,

（T）It）

所以〃（。是奇函数

可得入⑺的最大值与最小值之和为0,

那么g⑴的最大值与最小值之和为2.

故选：B.

6.(2022辽宁丹东•高一期末)写出一个最小正周期为1的偶函数〃x)=.

【答案】cos2nx

2兀

【解析】因为函数，=8$〃比的周期为「，所以函数丫=8$2欣的周期为1.

故答案为：cos2兀X.(答案不唯一)

7.(2022・全国•高三专题练习)已知/(x)=2sin(x+a)+cosx是奇函数，贝”ina的值为.

【答案】

【分析】首先根据奇函数的性质/'(0)=0,求得sina=-；,再代入验证.

【详解】因为/*)是定义在R上的奇函数，所以/(0)=0,即2sin(z+cos0=0,解得sina=-；,经检验当

sina=-1时，cosa=±—

22

f(x)=2sinxcosa+2cosA:sina+cos%=2sinxcosa

=±A/3sinx，

不管函数是y=V^sinx还是y=-V5sinx,都是奇函数.

所以sina=_g.

故答案为：-§

8.(2022•河南•高二开学考试)将函数〃"=««(3。|(0>0)的图像向左平移7个单位长度后得到偶函

数g(x)的图像，则。的最小值是.

【答案】y

【分析】利用三角函数的图像变换以及奇偶性的性质求解.

【详解】由题意，得g(x)=cosHm+,=cos](yx+?(y+j,

因为g(x)为偶函数，所以卜+看=%",keZ,

2

解得①=—§+4左，左cZ,又切>0,

所以当左=1时，①取得最小值与■.

故答案为：g.

9.（2022.全国.高一单元测试）写出一个同时具有性质①f（O）=g；②〃x+兀）=〃％）的函数/"）=

（注：不是常数函数）.

【答案】sin2x+；（答案不唯一）

【分析】根据函数的周期性以及特殊值求得正确答案.

【详解】由兀）="》）知函数以兀为周期，又〃0）=：，

所以〃x）=sin2x+1■满足条件.

（其他符合题意的答案均可，如〃尤）=cos2x-g,〃尤）=tanx+g等.）

故答案为：sin2A-+1（答案不唯一）

题型四：三角函数的单调性

【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数

/（x）=V^sinxcosx+cos2xT的图