2024年高考数学一轮复习：函数的性质（讲义）

3.2函数的性质（精讲）

本节概要

单调函数的定义

单调区间的定义

知识点一函数的单调性复合函数的单调性

定义法

导数法

判断单调性的方法

图象法

知性质法

识

知识点二函数的最值

点

定义

知识点三函数的奇偶性

性质

知识点四函数的周期性

函知识点五函数的对称性

数

的

性考法一具体函数的单调区间

质

考法二已知单调性求参数

考法三判断函数的奇偶性

求函数值

求解析式

考考法四函数奇偶性的应用

法根据奇偶性求参数

解不等式

奇偶性与单调性

比较大小

考法五函数的周期性与对称性

考法六函数性质的综合运用

考点展现

函数单调性的定义

1.单调函数的定义

一般地，设函数“X)的定义域为/,区间。U/,如果Vxi，X2^D,当为＜12时

条件

都有7(X1)勺口2)都有加)次检)

那么就称函数人尤)在区间D上单调递增那么就称函数«x)在区间D上单调递减

结论

当函数1X)在它的定义域上单调递增时，称它是当函数兀0在它的定义域上单调递减时，称它

增函数是减函数

y

施J㈣

图示11

]______1»11

/XX041424

12

2.单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区

间D叫做y=f(x)的单调区间.

3.复合函数的单调性：函数丫=①/),"=贝尤)在函数0(无))的定义域上，如果与&="(无)的单调性相

同，那么y=/M(x))单调递增；如果y=K")与〃=p(x)的单调性相反，那么y=/M(x))单调递减.

二.函数的最值

前提设函数y=Ax)的定义域为/,如果存在实数M满足：

(l)Vxe/,都有(l)Vxez,都有大X2/；

条件

(2)3xez,使得人月=加(2)3xe/,使得人功=加

结论M是函数y=/(x)的最大值Af是函数y=/(x)的最小值

三.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

偶函数八一x)=yu)关于y轴对称

一般地，设函数木X)的定义域为/,

如果VxG/,者B有一无©/,且

奇函数关于原点对称

四.函数的周期性

1.周期函数

对于函数人无），如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有那么就称

函数八X）为周期函数，称T为这个函数的周期.

2.最小正周期

如果在周期函数加）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做兀0的最小正周期.

五.函数的对称性

1.对称性:若对于R上的任意尤都有八2a—%）=/口）或五一x）=/（2a+x）,则y=/（x）的图象关于直线x=a对称.

2.对称中心：八一犬+6）+yU+6）=2a,则函数y=黄尤）的图象关于点（b,a）中心对称.

思路点拨

一.判断函数单调性常用的方法

1.定义法：一般步骤为取值一作差一变形一判断符号一得出结论.

2.图象法：如果五x）是以图象形式给出的，或者五尤）的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.

3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性（或单调区间）.

4.性质法：

①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及/（x）±g（x）的增减性进行判断；

②对于复合函数，先将函数y=Kg（x））分解成y=/0）和a=g（x）,再讨论（判断）这两个函数的单调性，最后根

据复合函数“同增异减”的规则进行判断.

5.在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增一减=增，减一增=减.

6.复合函数y=/[ga）]的单调性判断方法：“同增异减”.

易错点：求函数的单调区间,首先需要求函数的定义域.

二.利用单调性求参数的范围（或值）

1.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

2.若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小.

3.比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

4.求解函数不等式，由条件脱去，尸，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.

5.利用单调性求参数的取值（范围）.根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象

的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

三.判断函数的奇偶性

1,定义法

2.图象法

.关于原点对称/㈤为奇函数

/㈤的图像卜

U关于y轴对称］_»|/㈤为偶函数

3.性质法

设1X）,g（x）的定义域分别是。1，。2,那么在它们的公共定义域上，有下面结论:

於）g(x)J[x)+g(x)期（X））

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

同性乘除为偶复合函数有偶为

同性加减不变性，异性加减非奇偶

异性乘除为奇偶，两奇为奇

四.函数奇偶性的应用

1.求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式区间上的函数值.

2.求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出.

3.求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据1x）坟一x）=。得到关于参数的恒等式，由系数的对等性

得方程（组），进而得出参数的值.

4画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.

5.求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.

考法解读

考法一具体函数的单调区间

【例1-1］（2023云南）下列函数在R上为增函数的是（）

A.y=x2B.y-XC.y=-GD.y=-

【答案】B

【解析】y=d在（ro,0］上单调递减，在（0,+8）上单调递增，故选项A错误；

在R上为增函数，选项B正确；

y=_6在［0,+8）上单调递减，故选项C错误;

^=；在（e,0）单调递减，在（0,+8）单调递减，故选项D错误.故选：B.

【例1-2］（2023•云南•校联考二模）函数/（x）=e*-ln（l+x）的单调递增区间为.

【答案】(O,+8)/［O,+8)

【解析】由题得函数定义域为(T+8)/(x)=e'--—=g(x),g'(x)=e，+广二>0,

1+x(1+x)

所以g(x)在上单调递增，又g(O)=O,所以当x>0时，fr(x)>0,

故/(x)的单调递增区间为(0,+8)(或［0,+8)).故答案为：(0,+8)

【例1-3］(1)(2023・江西)函数/(x)=f—2忖+5的单调增区间是()

A.(—，―1)和(0,1)B.(—,-1)和(1,+8)C.[―1,0]和[L+oo)D.(-1,0)和(0,1)

(2)(2022•广东)函数/(x)=,2—3x+2|的单调递增区间是()

「3)3

A.—,+8B.1,-和[2,饮)

(3)(2022秋•河北廊坊•高三校考阶段练习)函数/(X)=|X-1|+|X-2|的单调递增区间是(

A.[l,+oo)B.(-00刀C.[1,2]D.[2,+oo)

【答案】(1)C(2)B(3)D

【解析】(1)由/(-X)=(—X)2-2卜X|+5=X2-2W+5=/(X),

则/(x)为偶函数，/(x)的图像关于歹轴对称.

当XN0时，/(X)=JC2-2X+5,对称轴为X=L所以/(x)在［1,+8)上递增，在［0,1］递减;

则当X40时，/(X)在［-1,0］递增，在(YO,-1］递减，

则有/(x)的递增区间为［—1,0］,［1,+8).

X2-3X+2,X<1

(2)^=|X2-3X+2|=-x2+3x-2,lvxv2如图所示:

x2-3x+2,x>2

3

函数的单调递增区间是1,-和［2,+oo).故选：B.

2

3-2x,x<l

(3)因为/(X)=,_1|+卜_2|=.-l,l<x<2,所以/(%)的增区间为［2,例)，故选：D.

2x-3,x>2

【例1-4］(2022•全国•高三专题练习)函数/(x)=log2，-2x-3)的单调增区间是()

A.(1,3)B.(l,+oo)C.(-oo,l)D.(3,-Ko)

【答案】D

【解析】/(x)=log2(x2-2x-3)要满足犬_2X_3>0，解得：x>3或》<一1，又y=log2〃是增函数，所以

只需求出g(x)=K-2x-3的单调递增区间，g(x)=f-2x-3的对称轴为x=l，且开口向上，结合函数的

定义域可得：/(x)=log212-2X-3)的单调递增区间为(3,饮)故选：D

【一隅三反】

1.(2023春・江西•高三校联考阶段练习)函数/(月=学的单调递增区间为.

【答案】仅，五)

【解析】函数y(x)=詈的定义域为(o,+8),则,(x)=L詈，

令/")>0,解得o<x<布，故函数/(X)的单调递增区间为(0,五).故答案为：(0,八).

2.(2023•西藏林芝)函数/(x)=J3+2X-X2的单调递增区间是

【答案】［-1』

【解析】函数/(x)=J3+2X—X2的定义域需要满足3+2x-f*0,解得/(x)定义域为［-1,3卜

因为丁=3+2x-%?在上单调递增，所以〃x)=j3+2x-x2在卜U］上单调递增。

3.(2023•江西)函数/(X)=log2(x2-3x-4)的单调减区间为.

【答案】(ro,T)

【解析】函数/(x)=log2(x2—3x—4)中，X2-3X-4>0,解得X<-1或x>4,即函数/(x)的定义域为

L»,T)U(4,+oo),

〃=、2一3］-4在(-00,-1)上单调递减，在(4,+8)上单调递增，而丁=log2X在(0,+8)单调递增，

于是得/(x)=log23-3x-4)在(-8,-1)上单调递减，在(4,+00)上单调递增，

所以函数/(x)=log2(f-3x-4)的单调减区间为(-oo,T)

故答案为：(T»,-1)

4.(2023北京)已知函数/(X)=T,+2X,则下列结论正确的是

①递增区间是(0,+oo)②递减区间是(-oo,T)③递增区间是(-吗T)④递增区间是

【答案】④

【解析】因为函数/(x)=-x|x|+2x=｛，'-,作出函数/(x)的图象，

x+2x,x<0

如图所示：\।_由图可知，递增区间是(-1,1),递减区间是(-OO,T)和a+oo)..

A-7Ao12\~3x

i\

5(2022,山东)函数y=的单调减区间是.

【答案】［L+8)

【解析］令〃=卜一1|,则y=(：)

00<^<1,回,=(1)在(一00,m)上单调递减

作出〃=卜一1|的图象

由图象可以〃=k-1在（-8/上单调递减，在［L”）上单调递增

町=0"”在（-8』上单调递增，在［1,饮）上单调递减故答案为：［1,侬）.

考法二函数单调性的应用

【例2-1］（2023•全国•高三专题练习）设awR,则"a.l"是"函数/（*）=子+在（L+oo）为减函数"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】由题意可得/（*）=竺3=。+胃为减函数,

则。一1>0，解得a>L

因为。21推不出a>L

所以"a.r是"函数/（力=签;在（1,+8）为减函数"的必要不充分条件，故选：B

【例2-2】（2023•全国•高三专题练习）若函数/（x）邛:丁*一3x-\在R上为严格增函数，则实数。的

ax>7

取值范围是（）

B.(2,3)；

D.

3-a>0

Q

【解析】•••/（X）在R上为严格增函数，二a>\,解得一<av3.

[(3-a)x7-3<a7-64

即实数a的取值范围是\,3）.故选：D

［^ij2-31（2023秋•江西抚州•高三临川一中校考期末）已知函数/卜）=唾“12_^+3）在［0』上是减函数，

则实数a的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,4）

C.（（UMMD.［2,4）

【答案】D

【解析】函数/口）=1。8,卜2-"+3）在［0』］上是减函数，

22

当0<a<l时，x2-ax+3=（x——）2+3——>3——>0恒成立，

244

而函数〃=必—⑪+3在区间［0』上不单调，因此0<°<1，不符合题意，

当时，函数y=log/在（0,+8）上单调递增，于是得函数"=改+3在区间［0/上单调递减，

因此州之】并且12—4/+3>0,解得24a<4,

2

所以实数a的取值范围是［2,4）.

故选：D

【一隅三反】

1.（2023•广西）已知函数/（x）=x2-2ar+b在区间（―，1］是减函数，则实数。的取值范围是（）

A.［1,+°°）B.（-8,1］C.［-1,+°°）D.（-8,-1］

【答案】A

【解析】/（x）=x2-2ax+b对称轴为x=a,开口向上，要想在区间（-8,1］是减函数，所以ae［l,+8）.

故选：A

2.（2023•北京）使得〃函数/卜）=3.36f在区间（2,3）上单调递减〃成立的一个充分不必要条件可以是（）

4

A.t>2B.t<2c.t>3D.-</<3

3

【答案】C

【解析】由函数/（、）=3*垢在区间（2,3）上单调递减，得丁=/—3a在区间（2,3）上单调递减，

所以义N3,解得他2.结合A，B,C,。四个选项，知使得"函数/（x）=3123m在区间（2,3）上单调递减"成立

的一个充分不必要条件可以是3.故选：C.

-x2+2ax+4,x,,1,「、

3.（2023•湖南）已知函数是-匕+oo］上的减函数，则。的取值范围是（）

-,x>l2）

B.(-oo,-l]

一；）D.（7,

【答案】A

【解析】显然当x>i时，y（x）=：为单调减函数，/（x）<〃i）=i

当X”1时，/(x)=-x2+2OX+4,则对称轴为x=_2x：])=凡/(9=2a+3

若/（x）是—L+oo）上减函数，贝““'一万解得ae-1,-1

）2a+3Nl

故选：A.

4.（2023•河北）若函数/（X）=船-1口在区间1点+8上单调递增，则上的取值范围为（）

A.2，+°°B.[2,-H»)C.D.[4,+oo)

【答案】B

【解析】/'（x）=»J因为函数〃x）=h—hu在区间上单调递增，所以/。〉="*0在］；,+8）

上恒成立，即左士1在［；,+8）上恒成立.因为y在（；,+8）上单调递减，所以当xc（；,+8）时，y<2,所

以4》2，则左的取值范围为［2,+oo）.故选：B

考法三判断函数的奇偶性

【例3】（2023安徽）判断下列函数的奇偶性：

⑴/（X）=log0（&+1+x）；（2）/（工）=42_］+<_工2；（3）/（X）=lg（iox+1）-^；

⑷/（x）二（5）/（x）=|x|（|x-2|+|x+2|）.

\x-3\-3

【答案】（1）是奇函数.（2）既是奇函数又是偶函数.（3）是偶函数（4）是奇函数.（5）是偶函数

【解析】（1）J*?+1+x>0对一切xeR恒成立,

22

且f（x）+/（-X）=loga（77+i+x）+loga（77+l-JC）=loga［（V?71）-X］=0,即=

回/(X)=10ga(4^+l+')是奇函数，

(2)由题意，得即工2=1.函数的定义域为此时/(x)=0.所以/(X)既是奇函数又是偶

[%—1..0.

函数.

(3)xeR，/(x)=lg(10x+l)-^=lg(10x+l)+lgl02

xl(XX、(二X、

=lg(W+lJlO2=lg102+102=lg102+102=/(一x),所以/(x)为偶函数.

.」I7k/

(4)4-X2..O,即-2融2,此时|x-3|-3=3-x-3=-x.原函数可化为/田=由士，

-X

/(T)="十4=^7=_f«)/(X)为奇函数.

X-X

(5)0/(x)=|x|(|x-2|+|x+2|),

自/(-x)=|rM|T-2|+|7+2|)=|x|(|x+2|+|x-2|)=/(x).所以/(x)=|x|(|x-2|+|x+2|)为偶函数.

【一隅三反】

(2023•广东潮州)判断下列函数的奇偶性.

"(X)=G⑵/(、)=厅；⑶«)=忙:二：⑷

2

/(x)=J33+&-3；(5)/(x)=log2［x+\/x+lj.(6)/(x)=|x+l|-|x-l|；

⑺/(x)=(x-l)Jj||；(8)/(x)=|lg(V77i+x).

【答案】(1)非奇非偶函数⑵奇函数⑶偶函数⑷既是奇函数又是偶函数⑸奇函数⑹奇函数

⑺既不是奇函数也不是偶函数⑻偶函数

【解析】(1)函数7W的定义域为［0,+00),不关于原点对称，所以/"(》)=«是非奇非偶函数.

(2)*v)的定义域为［―关于原点对称.f(_x)="T=-f(x)，所以/(x)为奇函数.

-X

(3)/(X)的定义域为(ro,0)U(0,”)，且关于原点对称，

当x>0时，一x<0，贝U/(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=/(x)；

当x<0时，-x>0,贝i|/(-x)=(-xy+(-x)=x2-x=/(x),故/(x)是偶函数.

3-x2>0,

(4)由得N=3,解得X=±„,即函数/W的定义域为{—/,6},

X2-3>0,

从而/W=、3_炉+]炉-3=°•因此)一力=一/W且力—无)才团,回函数/(无)既是奇函数又是偶函数.

⑸显然函数力力的定义域为R,

2-21=x

f(-x)=log2[-x+^(-x)+1]=\og2(7F+1^)=log2(7x+l+^)-~Iog2(7xr+1+)=-故/W为奇函数.

(6)的定义域为R.因为/(-*)=卜*+1卜卜*-1|=1-1-卜+1|=-/(*卜所以/(x)是奇

函数.

⑺〃x)=(xT若的不关于原点对称，所以/(X)既不是奇函数也不是偶函数.

(8)/(x)=M&+l+x)|

的定义域为R.

因为/(-X)=,(Ju+i-x)=M&+i_q,/(x)=卜g.f+i+xj|

2

且lgX++l)-x]=0,所以Ig+1+xL

P(-X)2+l-xj=|-lg(V?+l+x),所以/(T)=〃X),所以/(x)是偶函数.

所以lg

考法四函数奇偶性的应用

【例4-1](1)(2023春•四川成都・高三石室中学校考开学考试)己知y(x)为奇函数，当xNO时,

f(x)=x2-ex+\,则当x<0时，/(X)三

(2)(2023山西)己知/(X)是偶函数，当x<0时，/(x)=x(x+l),则当x>0时，/(x)=

【答案】(1)-x2+ex-l(2)x(x-l)

【解析】(1)当x<0时，-x>0,因为当xNO时，/(x)=x2-eI+L所以/(-x)=(-x)2-e*+l=x2-e*+1

①，

又因为/(X)为奇函数，所以〃T)=-/(x)②，结合①，②得，一/田=*2一尸+1，则/田=力2+尸-1

(2)由x>0，则一x<0，且函数_/(x)是偶函数,故当x>0时，/(x)=/(-x)=(-x)(-x+l)=x(x-l)

故答案为：x(x—1)

【例4-2](1)(2022广东深圳)若/(x)=l+号(xeR)是奇函数，则实数。

（2）（2023•江西•校联考二模）设aeR,则"。=1"是"/（x）=ln（4?ii+可为奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（3）（2022•全国•模拟预测）已知函数/（x）=（x3-x7）ln（Voi3+x）为偶函数，则。=.

【答案】（1）-2（2）A（3）1

【解析】（1）•••/（x）定义域为R,且/（x）为奇函数，二/（0）=1+1=0,解得：fl=-2；

7V_1-11-V

当a=-2时，f（x）=1---------=-------，/./（-x）=---------=-------=一/（X），

'）3X+13X+1八73X+11+3X'）

・••/（X）为R上的奇函数，满足题意；综上所述：。二一2.故答案为：—2.

（2）若/（x）=lnJf+i+困为奇函数,则

/(x)+f(-x)=In(yjx2+1+ar)+In(y/x2+1-avj=ln^l-a2)x2+1]

二°，，1一々2二0,

解得a=±l，经检验，符合题意，=是"/（x）=ln（V?il+ax）为奇函数"的充分不必要条件.故选：A.

（3）函数/（》）=13-丫-3）111（7^于+’为偶函数，则有y（-x）=/（x）,

BP(-x3+x3)ln(da+x2一x)=(/-x3)In(Ja+f+x)恒成立则\n^a+x2-xj=-ln(Ja+x?+x)恒成立

即比卜"+，_x)+ln(Ja+x2+x)=lna=0恒成立则a=L经检验符合题意.故答案为：1

4x

【例4-3](1)(2023・吉林)已知函数/(X)=4阿，则不等式-3</(21+1)<3的解集是()

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(-oo,-l)U(2,+(»)D.(-℃,-2)U(1,-H»)

：则不等式〃）＞的解集为（）

（2）（2023・全国•高三专题练习）己知函数〃x）=log2川++3,lgx3

F.)U(I0,+00)

A.B.

~)U(L1O)

c.(1,10)D.

（3）（2023•全国•模拟预测）定义在（-2,2）上的函数/（乂）满足/（力=2。2-工+2,则关于X的不等式

/（x）+/（2x-l）＞4的解集为（）

j_3

A.(-2,2)B.c

252-(2

【答案】(1)B(2)D(3)D

【解析】因为/(-x)=-/(x),所以/(x)是奇函数，

AY4

当x>0时，/(x)=*=4—二一是增函数，此时/Q)>0,又/(0)=0,

1+X1+X

所以/(X)在R上是增函数.又因为/(-3)=-3,43)=3,

所以—3</(2x+l)<3可化为/(-3)</(2x+l)</(3)所以-3<2X+1<3,解得—2q<L故选：B

(2)由得xwO,即函数的定义域为(-8,0)U(0,+oo).

因为-X)=log2

所以/(X)为(y,0)u(0,+oo)上的偶函数,

当x>o时，y(x)=iog2

因为函数y=1+1在(0,+s)上单调递减，所以y=log2

又y=+8)上单调递减,

根据单调性的性质，可知函数/(x)在(0,+8)上单调递减,

又因为函数/(x)为偶函数，所以函数/(x)在(《,0)上单调递增,

又/(1)=3,所以/(1即)>3=7•⑴，nTW|lgr|<|l|=L

所以一且IgxwO,解得或1cx<10,

(3)设g(x)=2，—2'，xe(-2,2),则/(x)=g(x)+2,

因为g(-x)=2,一2、=-(2、—2、)=—8(》)所以8。)在(-2,2)上是奇函数，

因为g'(x)=ln2-2.+如2-2*=ln2(2x+2*)>0,所以g(x)在(-2,2)上是增函数,

因为/(x)+/(2x-l)>4,所以g(x)+g(2x-l)>0,即g(x)>g(l-2x),

x>l-2x

13

由g(x)在(-2,2)上是增函数得，l-2<x<2,解得已故选：D.

32

-2<l-2x<2

【例4-4](2022•江苏)已知函数y(x)=e*—e*，贝b=/(0.4°6),6=/(0.6°6){=/(04°')的大小关系为

()

A.h<a<cB.a<b<cc.c<a<bD.a<c<h

【答案】D

【解析】由0.6°6=(06)°2=0.216°2,O.4°4=(O.42)OJ=O.1602,即OW<0.216已

所以O,404<O.606，又O.406<0.4°”，

所以O.406<O.404<O,606，而/(x)=e*-尸递增，

故4=/(0.406)<C=/(0.4°")<b=/(0.6°，故选：D

【一隅三反】

1.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(X)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(X)=-X2+4X-3,则

函数/(X)的解析式为.

x2+4x+3,x<0

【答案】/(x)=0,x=0

-x2+4x-3,x>0

【解析】由于函数/'(X)是R上的奇函数，则/(0)=。.当x>0时，/(X)=-X2+4X-3,

设xvO,则T>0,贝1」/(一同=一炉一4"3二—/(x),所以〃力二炉+4%+3.

x2+4x+3,x<0x2+4x+3,x<0

综上所述，/(x)=0,x=0.故答案为:/W=0,x=0

-X2+4X-3,X>0-X2+4X-3,X>0

2.(2023・广东•高三统考学业考试)函数/(x)是偶函数，当XNO时，/(X)=X(1+X)，则/(一1)=.

【答案】2

【解析】因为当x20时，/(x)=x(l+x),所以当x<0时，-x>0,所以/(-x)=-x(l-x),函数/(x)是偶函

数，所以/(X)=/(-X)=T(lT),所以/(-1)=1(1+1)=2,故答案为：2.

3.(2023•河北•统考模拟预测)已知函数/0二？工j2J则"公=1"是"函数/(x)是偶函数"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】函数/(》)=--一的定义域为R,关于原点对称，

2x+k-2x

当函数/(x)为偶函数时，/(X)=/(T),即—E一—,整理，得。+左)(2'+2-')=0，

2x+k-2x2x+k-2x

由2'+2-'40,解得左=一1.又公=1，得左=±1，所以"公=]"是"函数〃x)为偶函数"的必要不充分条件.

故选：B.

4.(2023春・贵州黔东南•高三校考阶段练习)已知偶函数/(X)在(3,0]上单调递增，则/(3-2力>/(1)的

解集是()

A.(-1,1)B.(l,+oo)C.(ro,2)D.(1,2)

【答案】D

【解析】由偶函数的对称性知：/(X)在(7,0]上递增，则在(0,+8)上递减，

所以|3—2x|<l,故—1<3—2x<l，可得1<%<2,所以不等式解集为(1,2).故选：D

5.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=gx3-2x+e，-1+3,其中C是自然对数的底数，若

f(2a-3)+f(a2}>6,则实数a的取值范围是()

A.(-QO,-3]D[1,+8)B.(—00,—3]C.[l,+oo)D.1—3,1]

【答案】A

【解析】4'g(x)=/(x)-3=-x3-2x+ex--y,

3e

g(x)=；(-x)3-2(-x)+e1—-1-«3+2x-e1+-7=S(x)'

3e3e

所以函数g(x)为R上的奇函数，

y.g'(x)=x2-2+ez+-^->x2-2+2^6^=x2>0,仅当尤=0时等号成立，

所以函数g(X)为R上的增函数，

又/(2。-3)+/(/)±6,即/(2a-3)-3+/(/)_3N0,则g(2a-3)+g(储)NO,

所以g(2a-则2a-3*-/,BPa2+2a-3>0^解得。21或以4-3,

实数。的取值范围是(―,-3]7[1,+00).

故选：A

6.（2023•陕西,统考一模）函数/（X）是定义在R上的奇函数，且在（0,+8）上单调递增，/（1）=0,则不等式

¥（xT）＜0的解集为（）

A.(-oo,0)O[2,+00)B.(0,1)

C.（-a）,0）U（2,-Ko）D.(1,2)

【答案】D

【解析】因为函数/（X）是奇函数，且在（0,+8）上单调递增，所以函数/（X）在（-8,0）上也单调递增,

又因为/⑴=。，所以/（）。，不等式虫7＜。等价于{黑…或状°

x>0x<0

即＜得至（故选：D.

0<x-l<l-1<x-l<0

7.（2023・安徽黄山•统考二模）已知函数/（x）=lg（|x|—1）+2023、2023。则使不等式〃3x）＜/（x+l）成立

的x的取值范围是（）

A.（-00,-1）O（l,+oo）

【答案】C

【解析】由题意可知：/（X）的定义域为或X＞1},关于原点对称,

由=1)+2023、+2023,^/(-x)=lg(|-x|-l)+2023)t+20231=f(x),故〃x)为偶函数,

当X>1时，/(x)=lg(x-l)+2023x+2023\由于函数/=2023、>=lg(xT)均为(1,+8)单调递增函数,

尸/+：在/＞1单调递增，因此/'（X）为（1,+8）上的单调递增函数，所以不等式/（3x）＜〃x+l）等价于

3x<|x+l|

解得W，故选：C

3x>1

1

8(2022•江苏)已知函数y(x)=e*—e*，贝^=/(0.4力/=/(0.6°6),£：=/(0.4°')的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<cc.c<a<hD.a<c<h

【答案】D

【解析】由0.6°6=(06)°2=0.216°2,0.404=(0.42)02=0.1602,即0.16°2<0.216°2，

所以0.4°'<O,606，又0.4°6<0.4°”,

所以0.4“6<0.4°'<0,6°6-而/(x)=e*-e”递增，

故°=/(0.406)<C=/(0.4°")<b=/(0.6°，故选：D

9.(2023•全国•高三专题练习)已知+cosx，若a=/(e，，6=/(lng),c=/(-；),贝|a,b,c

的大小关系为()

A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

【答案】A

【解析】因为/(X)=X2+COSX,XGR，定义域关于原点对称，

/(-x)=(-X)2+cos(-x)=X2+cosX=/(X),所以/(X)为R上的偶函数，

当xN0时,/'(x)=2x-sinx,,设g(x)=2x-sinx,

贝Ug'(x)=2-cosx,•.TWcosxVl，；.g'(x)>0,

所以g(x)即/(X)在［0,+8)上单调递增，所以/'(x)2/(0)=0,

所以/(x)在［0,+8)上单调递增，又因为/(X)为偶函数，

所以/㈤在(T»,0］上单调递减,

41

又因为所以b=f

又因为e彳>e「'=」>」,因为，=lne"e，]=e,(*]«2.4<e>所以e">3,

e44IJ⑷4

所以Ine">In2,即，>11>3,所以6彳>1>1112,所以/e4/［in。］,即a>c>加故选：A.

44444IJ⑷I

考法五函数的周期性和对称性

【例5-1］(2023•全国•高三专题练习)奇函数/(x)满足/(x+4)=/(x),当xe(O,2)时，〃力=3*+；,则

/(2023)=()

“73cle55

2222

【答案】A

【解析】已知奇函数/(X)满足/(x+4)=/(x),二/Q)是以4为周期的奇函数，

又当x«0,2)时，/(x)=3、+；,."(2023)=/(3)=/(-1)=一/⑴=-。+目=］,故选：A.

【例5-2](2022•安徽蚌埠•一模)已知定义在R上的偶函数/(X)满足/(l-x)+/(l+x)=0,若/(0)=3,

则/1(2022)+f(2023)=()

A.0B.-3C.3D.6