高三一轮大题16-导数（数列不等式的证明2）

一轮大题专练16—导数(数列不等式的证明2)

1.已知函数f(x)=ax-1，戌.

(1)若/(x)..O在(0,”)上恒成立，求实数。的取值范闱.

(2)证明：V〃wN*,*”刈>(〃!产.

解：(1),/x>0»/./(%)..0等价于a..——»

x

令g(x)=^则g，a)q

X

令g，(x)>0,解得：0<x<e,令g<x)v0,解得：x>e,

故g(x)在(0,e)递增,在(e,+00)递减,

故g(xL«=g")=->

e

故实数〃的取值范围是»，+O0).

(2)证明:由⑴可知、-配工.0在(0,+«))上恒成立,

则x..elnx=Inx：即e\.xf,当且仅当x=e时”=”成立，

2ene

取x=l,2,3,…〃，则廿>1"e>2,/>3"•…，e>nt

将上述不等式相乘可得*2+3++”>(IX2X3X…〃)。=(〃!)"

n(/r41)

即e2>(〃!)"故/向)>(〃!产.

2.已知函数f(x)=2/nr-a(x-l).

(1)若/(x)„0,求实数a的值；

(2)求证：[1+(〃+图0+(〃+]白••…[〃+(〃+4]<&-“).

(〃+1产

解：(1)f(x)=2lnx-a(x-\),则尸(幻=2一〃=3_,

xx

①当4,0时，/V)>0,/"•)在(0,内)上单调递增，

•/f(1)=0,.•.当”>1时，(1)=0,不符合题意，舍去；

②当0<av2时，->1,由得，0<%<—，由/'(幻<0得，x>-

aaa

：.f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,y)上单调递减，

aa

(1)=0,.•.当XG(1,-)时，/(.¥)>/(1)=0,不符合题意，舍去；

③当a=2时，一=1,由f'(x)>0得，Ovxvl；由尸。)<0得，x>l,

/(x)在(0,1)上单调递增，在(l,+oo)上单调递减，

又丁f(1)=o,.•./(x)”0成立：

④当a>2时,-<1,由r(x)>0得，0<jr<-,由广(x)<0得,x>-,

aaa

.-./(X)在(0,-)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

aa

vf(1)=0,.•.当xe(2,l)时，f(x)>f(1)=0,不符合题意，舍去；

a

综上得，a=2.

(2)证明：由(1)知，当〃=2时，/*)<。在(1,+00)上成立，即/nrvx-l,

令X=1+^^(%=12…,〃)，则/川i+^277T

(77+1)-5+1)-(〃+1)-

nK19n

Y/»[l+-J]=[1+——Hl+----]……[1+-

£(〃+1)2[(〃+1)2(〃+1)72(〃+1)2

12nn(n+1)n11

<--------F-------F•••4---------=---------=--------=--------<一,

5+1)2(〃+])2(〃+1)22(〃+1)22(〃+1)1、2

4+一)

[1+5+1)2H2+Q7+1)2]…[〃+(〃+1)2]

即/小<—

(〃+1-2

.[1+5+1)2*2+(〃+1)2]...[〃+(“+1)2]

4e(neTV*).

一

3.设/(x)=sinx-x+gx).

(1)当x.O时，求证：/(x)..O；

(2)证明：对一切正整数〃，都有sinl+sin-!7+sin!+sin3+…+sin二〉」----!——

2*23242n222(〃+1)

证明：(1),.,/(%)=sinx-x+^x2

/./r(x)-cosx-l+x,7G)_-sinx+1..0,/(人)单调潴增,

x.O时，/(1)../(0)=0,f(x)在(0,+oo)递增,

A/U)..O；

(2)x.O时，/(x)..O,/.sinx-x+gxLO,

sinx.A--x2,令x=《，k=\,2,3,...n,

2K

1

)，

k2k22/2p2k'2〃(4+l)2kITT

)=；一2(〃I+1)

,,sinl+sin±+sinl+sin±+...+sin±>l(1_l+l_l+l__L

223242H22223，i〃+

故原命题成立.

y-

4.已知函数/(x)=x-万一sinx.

(1)证明：x>0时，/(x)<0；

(2)证明：〃..2时，sin-+sin—+...+sin—+

I2〃23

证明：(1)设g(X)=r(X)=l-X-COSX,

则g，(x)=-l+sinx,O,

故函数g(x)为减函数,

可得g*)vg(O)=O,即/'。)<0，

故/")为减函数，

所以/。)</(0).

(2)由(1)知：x>0时，/(x)<0,

可得/(1)+/d)+/d)+...+/(-)<o,

23n

所以(1+W...+，)-,d+二+-!?+..•+-V)-(sin-+sin-+...+sin—)<0»

23n2I22232n212n

.1.1.।八11k1J111

}rjr\i以qsin一+sin-+.・・+sin—>(1+—+—+...+—)—(―+――+—r+・・・+~r)，

12"23〃2I22232n2

11I1

因为几.2时,—-v---------=------------,

rT(〃一1)〃〃一1n

1lllllI1,1,

所以

3-n~1223n-\nn

所以，•+-!?+...+4r<2,

2-3-n~

的I”•1•1.1111、1c111

//T以sin—Fsin—F...+sin—>(14----1----F...H—)—x2=—I----F...4—•

12n23"223n

5.已知函数/(_¥)=§］2+//吠(。£凡〃工0).

(1)求函数/(幻在［1,r］上的最大值;

(2)当4=1时，求证：一/'(父)..2"-2(〃£乂).

解：(1)f\x)=ax+—=+

XX

①当a>0时，r(x)>0,/⑴在［1,e］上单调递增，则/⑴…=/(«)4/+1；

②当〃<。时，令ra)=()，解得x,易知当0<x<时，/v)>o,/。)单增，

当"时，/'(x)v0,/(x)单减,

⑴当1,即%-1时，/0)在［1，。］上单减，则f(x)"K“=f⑴

(”)当旧..《，即J,,”。时，/⑺在口，8单增，则/C%=/(e)="+i；

(Hi)当1〈旧ve,即—1<4<一5时，f(x)在(1，旧)单增，在(8,e)单减,

则

f(x)…="E)=一；一;比"G；

(2)证明：当〃=1时，不等式显然成立;

当〃..2时，有ir(x)r-f\xn)=a+-r-(z+占)

XX

=3,+。,产二+……+%.3

xx>X

=C『2+cX+……+c：W，

.X

设5=。**-2+｛尸+……+C」,

XT

S=C丁工+……+c；z-4+C'x"-2,

2s=C(广2+_L)+c；3T+白)+……+C：-'(4T+x”-2)..2(C：+C：+……+Qi)=2(2"-2)

X.V.1

.\S..2"-2,即一(。")..2"-2(〃€*).

2

6.己知函数/(x)=a/内—x+—.

x

(1)当a-3时，求/(x)的单调区问；

(2)①若/(n,2・1恒成立，求。的值；

x

(其中为自然对

②求证:对任意正整数，?(九.2),都有(1++">-(1+5)<6C

数的底数)

解：(1)/(幻的定义域为(0,内)八幻=3_］=」y+2=_(1),2)。分)

Xx~x~x~

令/，(x)=0得x=l或x=2xe(0,l)时，/(x)<0；xe(l,2)时，/'(x)>0；xe(2,y)时,

尸")<。

所以，/(x)的单调增区间是(1,2),单调减区间是(0,1),(2,也)，…(3分)

2

(2)①解：由/(戏，—1,得。/九丫一%+1,，。对X£(O,+oo)恒成立.

X

记/i(x)=Hnr-x+ia>0)其中力(I)=0,

/f(x)=--l=—,

XX

当4,0时，/«幻<0恒成立，在(0,+03)上单调递减，xc(0」)时，h(x)>h(1)=0,

不符合题意；…(4分)

当a>0时、令h\x)=0,得x=a,

xe(0,a)时，h\x)>0,xe(a,+oo)时，h\x)<0,

所以Mx)在(OM)上单调递增，在(a,一)上单调递减，

/.h(x)/nu=h(a)=abia-a+1„0...(6分)

记8(a)=abui-«+1(«>0)»(p'(a)=lna.

令"(a)=0得〃=1,

.,.aw(O,l)时”(a)<0：awqy)时，(p'(a)>0»

(P(a)在(0,1)上单调递减，在(I,+oo)上单调递增.

(P(a)=alna—a(I)=0,RPh(a)..0,:.h(a)=0.

又h(I)=0,故。=1…(8分)

②证明：由①可知：仇4%-1,(当且仅当x=l时等号成立).

令X=1+—7»则/〃(14---7)<~<----------=------------»(〃,•2).

n~ITn~n(n-\)n-\n

,八、，八、，八、，

ln[\H17)+ln(\H-1-)+......+Zw(lH——1)<1----1--1---1-----1--F......H-----1--------1=1—,1<1,=,IItC9

2~3~，广223n-\nn

・•.(I+?)(I+5)(1+5)…(1+，)<“.

7.已知g(x)=px-9-2/(x),其中/(x)=/nx,且g(e)=qe---2.

xe

(1)求〃与夕的关系；

(2)若g(x)在其定义域内为单调函数，求〃的取值范围；

(3)证明：①+

@ln2ln3Inn2n2-n-\,八

—+—+.+^-<-------------(〃eN,九.2).

2232M仅"])

解：(1)由题意g(x)=px-g-2//zr,又g(e)=pe-幺-2,

xe

pc———2=cjc———2,；.(p—q)e+(p—q)—=0»(p-c—|=0.而eH—工0,

eee\eJe

所以〃=q;

(2)由(1)知：^(x)=px-——2lnx>=/74-=———〃，

XXXX

令〃(x)=〃d-2x+〃.要使g(x)在(0,”)为单调函数，只需〃(x)在(0,+co)满足,H0..O或

h(x\,0恒成立.

①〃=0时，h(x)=-2x,x>0>/.h(x)<0»/.g'(x)=一一y<0»

g(x)在(0,+oo)单调递减，.・・〃=0适合题意.

②当〃>0时，力(幻=pd-2*+〃图象为开口向上抛物线，对称轴为x=,e(0,+co).

P

h(x)ntin=p——,只需p—~-..0,即p..1时h{x)..0,4(x)..0，

PP

g(x)在(0,+oo)单调递增，/.p..l适合题意.

③当〃v0时，/i(x)=px2-2x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=~!~任(0,+x),

P

只需力(0),,0,即p,,0时网0),,(0