高三一模理科数学解答题分类汇编之函数与导数

高三一模理科数学解答题分类汇编之函数与导数

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一、解答题（共3题，共15分）

1、已知函数/（'）=/一*+1）

若曲线）'=f（"）在（°，f（°））处的切线斜率为0,求a的值；

（II）若f（X）N°恒成立，求a的取值范围；

（III）求证：当a=°时，曲线（X。）总在曲线=2+1】1工的上方.

【考点】

【答案】（1）。=1.（II）[°』.（Ill）见解析.

【解析】试题分析：（I）利用导函数在x=0处的值等于零，可以求出a的值.

（II）/"。）=/-Q（xCR）分a>°,a=0fa<。三种情况讨论求外幻的最小值即可;

（III）当时，构造九⑺=fG）-（2+Inx）=ex-Inx-2（x>0）证明人（外>0.

试题解析：（I）函数/（%）=/一+1）的定义域为&

因为，所以r。）=^x-a

由「（0）=1-a=0得

（II）.

①当时，令广（％）=°得％=h】a

xv时，/"（%）<0.x>Ina时f'（x）>0

f（x）在（-8,lna）上单调递减，在（h】a,+8）上单调递首

所以当时，有最小值f(h】a)=Q-。(1+Ina)=-a\na

，，f(x)>。恒成立”等价于，，最小值大于等于0，，，即-a\na>0

因为，所以°va41.

②当时，/(%)=">。符合题意；

1〜-1+-1

③当时，取x°=T+"则f(%)=Rfl-a(-l+-+l)=e-1V0,不符合题

意.

综上，若对XWH恒成立，则°的取值范围为

(ill)当时，令八⑶=作)-(2+Inx)=ex-\nx-2(%>0),可求似乃=那一工

因为"(}=10v0,/穴1)="1>0,且在(0,+⑹上单调递增，

rx

,Yli(xn)=e0--=0e0=-

所以在(0,+8)上存在唯一的“0,使得“X0即“，且

1

2<xo<i

当X变化时，八(为与"(X)在(0,)上的情况如下：

则当"X。时，存在最小值叫),且九(々)=产-%-2=/+孙-2

因为n6也)，所以心。)=9/一2>2屈-2=0

所以当时，f(x)>2+hu(x>0)

所以当时，曲线)'=f(x)Q>°)总在曲线y=2+in”的上方.

fM=幺

2、已知函数,I)

⑴当a=°时，求函数f(x)的单调递增区间；

2_

(II)当QA°时，若函数的最大值为l，求Q的值.

【考点】

【答案】(I)(°0(II)4

r(x)=U竺，

【解析】试题分析：(I)当。=。时，/)/,令r(x)>0}得/(X)的单调递增区间为(0,0)

1+丁hua,alx+a

mr（%）=7^,令g（、）=i+7Tnx,则9（第）=一7==一丁<0,

由g（e）>o,g（c-i）Vo,故存在X。e（。，/+1）,9（飞）=o,故当Xw（o，x。）时,g（x）>0；

当“Cg'+8）时，g（X）V0,可得f（x）在（0,X。）增，（W+8）减，所以存在极大值.故

i+-Znxo=O

lnx0_1

xft+a-22

e,解得a的值为c.

fM='

试题解析：（I）当时，八Jx

〜、^x-\nxL

/（%）=/=

故x%

令，得0vxve

故的单调递增区间为

x+aa

——Inxl+7-lnx

ffx）=-.....=---------

（II）方法1:（*+。）2（*+a）2

0（°）=：>0g（e0+1）=1+（1+a）=Q,（^rr-1）v0

故存在，

故当时，；当时，

故f（X。）=提

2

%0=。

a=°2

故，解得I°

故的值为

1Inx1

（II）方法2:的最大值为M的充要条件为对任意的XE（°，+8）/十。一「且存在X。6（°，+8）,

*二12

使得37~等价于对任意的，a-eEx-x且存在，使得°岂。lnxo-xo,

等价于9。）=/111%一%的最大值为.

vs'W=7-1

令g'。)=0,得、=。2.

故9(乃的最大值为9(.)=e2\ne2-e2=e\即a=e2.

(i、

/(%)=/・a+-+lnx

3、已知函数Ix4其中aeJl.

___土

（।）若曲线y=/a）在工=1处的切线与直线e垂直，求。的值；

（II）当公€（Q加2）时，证明：〃x）存在极小值.

【考点】

【答案】（I）a=°.（ID见解析.

【解析】试题分析：（|）/（工）的导函数为‘°）一。（°+,炉+侬）.依题意/'⑴KG+I",

解得a=0.

{/丁彳+叼令以今3：-*1nx

”_"+2_（XT）+1八

^㈤一一一一一》恒成立，故？（x）在3"）单调递增.因为公“。上⑶，

^（l）=a+l>0，（刃-④+卜尸。故存在使得鼠、）=。.可得在（“丹）减，

在（x「l）增，所以/（X）存在极小值.

试题解析：（I）“X）的导函数为

，㈤=，（"；+!«）+，依题意有/，⑴=eG+i）=e解

得々=。.

/r（x）=ex-Ia+--^-+luxIa+——-v+lnx

（II）由lx/J及』>。知，/（xj与XX1同号.

=a+----r+&

令'>xd

7-2x+2

则式力

x3

所以对任意X€（Q+8）,有故