安徽省庐江巢湖七校联盟2022-2023学年高一下学期数学3月期中试卷（含答案）

/安徽省庐江巢湖七校联盟2022-2023学年高一下学期数学3月期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知向量a，b，则“|a|=|bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知|a|=3，|b|=1，aA．−32b B．−12b3．在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=2，若P为边BCA．2 B．4 C．8 D．04．如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设AB=a，AD=A．−23aC．−13a5．已知在△ABC中，sinA：sinBA．1116 B．79 C．21166．已知向量a=(λ，2)，b=(2λ，2−4λ)，A．65 B．1625 C．36257．已知O，N，P在ΔABC所在平面内，且|OA|=|OB|=|OC（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心内心C．外心重心垂心 D．外心重心内心8．已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形二、多选题9．设两个非零向量e1与e2不共线，如果keA．1 B．-1 C．3 D．-310．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（）A．∠CAD=60°B．A、D之间的距离为152C．A、B两处岛屿间的距离为156D．B、D之间的距离为30311．我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为1：A．5|AE|=2|C．AE⋅DC=12．在△ABC中，角A，B，A．若sin2A+B．若acosB＝bcosA＋c，则△ABC一定是直角三角形C．若cos2BD．若tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC一定是锐角三角形三、填空题13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC+csinB=a，14．e1，e2是夹角为60∘的两个单位向量，a=2e1+e15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=2，E为BC中点，若AB⋅AC=3，则16．在平面向量中有如下定理：设点O、P、Q、R为同一平面内的点，则P、Q、R三点共线的充要条件是：存在实数t，使OP=如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE于点M，设AM=xAE+y四、解答题17．已知a=(（1）求|a（2）设a与b的夹角为θ，求cos  θ（3）若向量a+kb与18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C，且sinB=2sinC（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC的周长l.19．已知|a|=1,|b|=1，且向量（1）若a与b的夹角为45°，求(2a（2）若向量ka+b与k20．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为126海里，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°的方向上，距离为83海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东（1）AD的距离；（2）CD的距离．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．现有以下三个条件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0；③a2−b2−c2=433S请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量22．已知向量a和b，|a|=（1）若a与b的夹角为60°，求k的值；（2）记f(k)=a⋅b+1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】|a|=|ba=±b时，所以“|a|=|b故答案为：B

【分析】利用向量的模相等的定义以及充分条件、必要条件的定义进行判断，可得答案.2．【答案】D【解析】【解答】因为a+b在a上的投影为所以a+b在a上的投影向量为故答案为：D

【分析】根据已知条件，结合平面向量的投影公式，即可求解出答案.3．【答案】C【解析】【解答】设AD是等腰三角形ABC的高，如图，则AD=5−1故AP⋅故答案为：C

【分析】利用向量的线性运算及数量积进行求解，可得答案.4．【答案】A【解析】【解答】解：依题意在平行四边形ABCD中，AM//CD，又M是AB的中点，DM与AC交于点N，所以△ANM∽△CND，所以AMCD所以AN=所以BN故答案为：A

【分析】依题意可得△ANM∽△CND，即可得到AN=5．【答案】A【解析】【解答】∵sinA：sin由余弦定理b2cosB=故答案为：A.

【分析】由正弦定理得a=4k，b=3k，c=2k(6．【答案】B【解析】【解答】由题可知m=∴|m=25当|m|取最小值125故答案为：B

【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算得出向量m→的坐标，再利用向量的模的坐标表示和二次函数求最值的方法，进而得出|m|的最小值，从而求出对应的实数λ7．【答案】C【解析】【解答】因为|OA|=|OB|=|OC所以O为ΔABC的外心，由NA+NB+NC=0，则NA+则NA+NB=−2NE=CN，所以2|NE|=|CN|，所以N是ΔABC的重心；由PA•PB=

【分析】O到定点A，B，C的距离相等，得O为ΔABC的外心，由NA+NB=−2NE=CN，得2|NE|=|CN8．【答案】A【解析】【解答】因为非零向量AB与AC满足(所以∠A的平分线与BC垂直，ΔABC为等腰三角形，且AB=AC，∵2且AB|AB|所以ΔABC为等边三角形，故答案为：A.

【分析】首先整理化简已知条件即可得出边之间的关系，再数量积的运算性质代入数值计算出夹角的余弦值，由此即可求出夹角的大小，进而得出三角形的形状。9．【答案】A,B【解析】【解答】∵两个非零向量e1与e2不共线，∴∵ke1+e2和e1∵非零向量e1、e2不共线，∴k−t=0且1−kt=0，解得故答案为：AB

【分析】利用向量共线定理进行求解，可得k的值.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：由题意可知CD=30，∠ADC=90°+15°=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD=90°−∠BCA=90°−60°=30°，所以∠CAD=180°−∠ADC−∠ACD=180°−105°−30°=45°≠60°，A不符合题意；∠ADB=15°+45°=60°，在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=在Rt△BCD中，因为∠BDC=45°，∠BCD=90°，所以BD=2在△ABD中，由余弦定理得，AB=A故答案为：BC.

【分析】由题意可得∠CAD=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得ADsin11．【答案】A,C,D【解析】【解答】记BE=m，AE=2m所以|AE||由正方形性质可知，AC⊥BD，显然BD，因为AE⋅DC=AE⋅过F作FI⊥BC，垂足为I，∵BC⋅FI=BF⋅FC，即5所以FI=25则IF=−所以AF=故答案为：ACD

【分析】根据各边长的关系直接可判断A；根据正方形对角线互相垂直，然后观察可判断B；利用投影表示数量积可判断C；作FI⊥BC，求出FI、BI长，然后由向量加法可判断D.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A，因为sin2A+sin2B<sin2C，所以由正弦定理得a对于B，因为acosB＝bcosA＋c，所以由余弦定理得a⋅a所以a2+c2−对于C，因为cos2B2=所以sinA=所以sinBcosC=0，因为sin因为C∈(0，π)，所以所以△ABC一定是直角三角形，所以C不符合题意，对于D，因为tanA=所以tan因为tanA＋tanB＋tanC＞0，所以tanA+因为△ABC中不可能有两个钝角，所以tanA>0所以A，B，故答案为：ABD

【分析】利用正弦定理和余弦定理可判断A；利用余弦定理可判断B；利用余弦的二倍角公式和两角和差公式进行化简可判断C；利用两角和的正切公式可判断D.13．【答案】2【解析】【解答】由b可得sinB即sinB所以sinB所以sinC因为0<C<π，所以sinC≠0所以sinB=即tanB=1，因为0<B<π所以B=π所以bsinB=2R故答案为：2

【分析】由正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式整理可得答案.14．【答案】120°【解析】【解答】解：因为e1，e2是夹角为所以e1又|a|=4所以a⋅所以a与b的夹角余弦为：cosθ=a因为0∘所以θ=120故答案为：120°.

【分析】利用向量的数量积的定义可得e1|a→|，|15．【答案】-3【解析】【解答】以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系，∵AB=3，AD=2，E为BC中点，∴A(0，0)，B(3，0)，D(0，2)，设C(x，2)，∴AB∵AB⋅AC=3，∴3x=3，解得x=1，∵E为BC中点，∴E(3+12，∴AE∴AE故答案为：−3.

【分析】以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系，由向量数量积的运算坐标运算即可求出答案.16．【答案】7【解析】【解答】解：如图，E，M，C三点共线，∴存在实数λ，使AM=λ∵CF=2FA，∴AC=3AF，∴AM=λAE∴λ=x3(1−λ同样，B，M，F三点共线，所以存在μ，使AM=μ∵E为AB边的中点，∴AB=2AE，∴AM∴x=2μy=1−μ，∴联立①可得：x=45，∴x+y=7故答案为：7

【分析】由图形知道E，M，C三点共线，从而存在实数λ，使AM=λAE+(1−λ)AC，根CF=2FA，可得AC=3AF，所以AC=3AF，所以AM=λAE+3(1−λ17．【答案】（1）解：(1故|（2）解：cos θ=（3）解：因为向量a+kb与所以(a+kb因为a2=5，所以5−10【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合向量的坐标运算公式和向量模公式，即可求解出|a−2b|；

(2)根据已知条件，结合向量夹角公式，即可求解出18．【答案】（1）解：因为sinB=2sinC由正弦定理，得b=2c，a2由余弦定理，得a2所以3c2∴cosA=12∴A=（2）解：由（1）可得a=3c，b=2c，故c=a∴l=2+2【解析】【分析】(1)根据题意，找出a、b、c的关系，结合正、余弦定理即可求解出角A的大小；

(2)由（1）可得a=3c，19．【答案】（1）解：∵a与b的夹角为45°∴a∴(2（2）解：∵向量ka+b∴(ka∴k2∴实数k的取值范围是-1<k<1且k≠0【解析】【分析】（1）因为a与b的夹角为45°，所以可求得a•b=22.展开(2a−b)⋅(20．【答案】（1）解：在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得AD=ABSinB（2）解：在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD•ACcos30°，解得CD=83．所以A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为83海里．【解析】【分析】（1）由已知条件，利用正弦定理可求出AD的距离；

（2）在△ADC中，由余弦定理求得CD的距离．21．【答案】根据题意，f(x)=4sinxcosx+4=2sin2x−23又a=f(π选择①：（2c+b）cosA+acosB＝0，由正弦定理可得：2sinCcosA+sinAcosB+sinBcosA=0，故可得2sinCcosA=−sinC，又sinC≠0，故可得cosA=−12，又A∈(0，π)，故选择②：sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0，由正弦定理得：b2+c有A∈(0，π)，故A=2选择③：a2−2bccosA=433又A∈(0，π)，故可得A=2故不论选择哪个条件，都有A=23π.又a=2故2b+c=8sinB+4sinC=8sinB+4=6sinB+2=43又B∈(0，π3)故sin(B+故2b+c∈(23【解析】【分析】根据题意结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用代入法结合正弦型函数的解析式，从而求出a的值。

从①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+si