吉林省长春博硕名校2022-2023学年高一下册期中考试数学试卷（含答案）

吉林省长春博硕名校2022-2023学年高一下册期中考试数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选1．若复数z=12+i，则zA．(12，1) B．(12．已知AD为△ABC的中线，则AD等于（）A．AB+AC C．12AB−3．已知在△ABC中，AB=5，BC=4，cosB=45A．35 B．34 C．324．已知e为单位向量，|a|=8，向量a，e的夹角为34A．32e B．−42e C．5．某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为|v1|=8km/h，水流的速度的大小为|v2|=4km/h，设v1A．32 B．−32 C．16．为了得到函数y=sin2x的图像，只需将函数f(A．向左平移π12个单位 B．向左平移πC．向右平移π12个单位 D．向右平移π7．已知f(x)=cosx⋅sin(x−πA．函数f(x)的最小正周期为2πB．当x∈(0，π2)C．直线x=πD．当x∈(π2，π)8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，A．3 B．2+1 C．3+1 二、多选9．下列说法错误的有（）A．三点确定一个平面B．α平面外两点A、B可确定一个平面β与平面α平行C．三个平面相交，交线平行D．棱台的侧棱延长后必交与一点10．下列命题为真命题的是（）A．若复数z1>B．若i为虚数单位，n为正整数，则iC．若z12D．若(1+2i)a+b=2i，其中a，b为实数，a=1，b=-111．在△ABC中，角A，B，A．若a2+cB．若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosBC．若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形D．若c=2acosB，则△ABC是等腰三角形12．已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0，A．ω=1B．若f(x)为偶函数，则φ=C．若f(x)在区间(0，π6)D．若f(x)的一个对称中心为(−π12三、填空题13．复数5i−2=14．如图，已知△ABC的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角△A'B'15．已知正三棱锥S−ABC的侧棱长为43，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是16．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)（其中四、解答题17．已知复数z=(m2+2m−8)+(（1）若复数z−m+2为纯虚数，求m的值；（2）若点A在第三象限，求m的取值范围.18．如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，AD∥BC，∠BAD=π2，∠BDA=π（1）求AE⋅（2）求AC与BD夹角的余弦值．19．在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=π（1）求△ABC面积；（2）求△ABC内切圆半径．20．如图，棱长为6的正方体，截去八个一样的四面体，得到一个新的多面体，（1）求新多面体的体积；（2）新多面体的表面积是多少？21．已知函数f(x)=Asin(（1）求f(x)的解析式及对称中心坐标：（2）先把f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，若当x∈[−π4，π6]22．已知向量a=(（1）当a⊥b时，求（2）设函数f(x)=(a+b)⋅b，且x∈[0

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】由z=12+i，得z=12-i，∴z在复数平面对应点坐标为2．【答案】D【解析】【解答】由题意得AD→=AB→+BD→3．【答案】A【解析】【解答】由余弦定理得cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=45，解得4．【答案】B【解析】【解答】a在e上的投影为a→·e→=a→·e→cos3π4=-42，∴a在e上的投影向量为-425．【答案】D【解析】【解答】如图，

∵游船到达的点B在A的正北方向，∴游船实际速度方向沿A→B方向，

∴cosθ=cosπ26．【答案】C【解析】【解答】∵f(x)=sin(2x+π6)=sin2x7．【答案】B【解析】【解答】f(x)=cosx·sinx-π6=cosx32sinx-12cosx=34sin2x-cos2x+14=12sin2x-π6-14

A、函数f(x)的最小正周期为T=8．【答案】C【解析】【解答】如图，

由asinB=3bcosA⇒sinAsinB=3sinBcosA，

∵B∈0，180°，∴tanA=3，∴A=π3，

∴△ABC的外接球半径为r=12·asinA=3，∴点A在弦BC=3所对应的优弧上运动，

∵OA+OD≥AD，∴当A，O，D，三点共线即AD经过圆心时取得最大值，

OA=r=3，取E为BC中点，则OE=329．【答案】A,B,C【解析】【解答】A、B：不在同一条直线三点确定一个平面，A、B错误；

C、三个平面相交，交线不一定平行，可能相交如墙角三个面的交线，C错误；

D、由棱台的定义知侧棱延长后必交于一点，D正确.

故答案为：ABC

【分析】利用平面的基本性质判断选项A、B、C；利用棱台的定义判断选项D.10．【答案】A,D【解析】【解答】A、∵复数z1>z2，∴z1，z2∈R，A正确；

B、∵i2=-1，i3=-i，i4=1∴i4n+3=i3=-i，B错误；

C、当z1=1，z2=i时，z11．【答案】B,D【解析】【解答】A、当a2+c2−b2B、若△ABC为锐角三角形，∴A+B>π2，⇒π2>A>π2-B，∴sinA>sin(π2-B)=cosB，B正确；

C、若sin2A=sin2B，∴2A+2B=π或2A=2B，即A+B=π2或故答案为：BD

【分析】A：利用锐角三角形三个角都是锐角判断；B：由A+B>π2推得sinA>sin(π2-B)=12．【答案】B,C【解析】【解答】f(x)=3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ-π6)(ω>0，0<φ<π)，∵f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π2，∴T2=2π2ω=π2，解得ω=2，

A、ω=2≠1，A错误；

B、∵f(x)为偶函数，则φ-π6=kπ+π2，(k∈Z，0<φ<π)解得φ=2π3，B正确；

C、∵f(x)在区间(0，π6)13．【答案】−2−i【解析】【解答】5i−2=5i+2i-214．【答案】4【解析】【解答】根据直观图画出原图如下：

AC=2A'C'=4，AB=A'B'=22+22=22

∴△ABC的面积为S15．【答案】64π【解析】【解答】取∆ABC外接圆圆心为E，连接SE，

∵S−ABC正三棱锥，∴SE⊥底面ABC，正三棱锥S−ABC外接球球心O在SE上，连接OE，

∵正三棱锥S−ABC的侧棱长为43，底面边长为6，∴BE=23×32×6=23，SE=SB2-BE2=48-12=6，设外接球半径为R，则SO=BO=R，∴R2=BO2=16．【答案】[【解析】【解答】由图形知A=2，T4=2π4ω=π8--π8=π4，解得ω=2，∴f(x)=2cos(2x+φ)，

又f(π8)=2cos(2×17．【答案】（1）解：由题意得z−m+2=(m因为z−m+2为纯虚数，所以m2+m−6=0m（2）解：复数z在平面内所对应的点为A(m因为点A在第三象限，所以m2+2m−8<0m所以实数m的取值范围为(−3，【解析】【分析】(1)由复数z−m+2为纯虚数知该复数实部为0，虚部不为0进而求解；

(2)由复数得几何意义知复数z的实部、虚部均小于0.18．【答案】（1）解：因为∠BDA=π3，所以∠BDA=∠DBC=π又因为BC=BD，所以△BCD为等边三角形，所以BD=CD=BC，∠BDC=π在Rt△ABD中，由∠BDA=π3得所以BD=2AD，所以CD=BC=2AD，由AE=AD+则AE⋅（2）由（1）得，BD=2AD−又AC=AD+则AC=2=2=2=−|又|AC|BD所以cos<【解析】【分析】(1)由AD∥BC，∠BDA=π3，BC=BD知△BCD为等边三角形，所以BC=2AD，以AD→，DC→为基底表示AE→，BD→进行计算；

(2)以19．【答案】（1）解：因为AB=2，AC=4，∠BAC=π所以S△ABC（2）解：由cos∠BAC=解得BC=23设△ABC内切圆半径为r，则S△ABC所以r=2故△ABC内切圆半径为3−1【解析】【分析】(1)利用三角形面积公式S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC20．【答案】（1）解：由题意正方体的体积V1截去的每个四面体的体积V2所以新多面体的体积V=V（2）解：由图可知新多面体的侧面由6个正方形和8个正三角形组成，正方形的边长和正三角形的棱长均为32+3所以正方形面积S1=32所以新多面体的表面积S=6S【解析】【分析】（1）由正方体的体积减去8个四面体的体积求解；

（2）分别求出新多面体的侧面面积相加即可。21．【答案】（1）解：由题意可得：A+B=1−A+B=−3，可得A=2B=−1，所以因为T2=7π12−所以f(x)=2sin(由2×π12+φ=因为|ϕ|<π2，所以k=0，φ=π令2x+π3=kπ(k∈Z)可得x=（2）解：由题意可得：g(x)=2sin当x∈[−π4，π6]若关于x的方程g(x)+2a−1=0有实数根，则1−2a=g(x)有实根，所以0≤1−2a≤2