江西省宜春市丰城九中等五校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

江西省宜春市丰城九中等五校2023-2024学年高一下学期4月第一次联考（期中考试）数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线l1：ax−y−1=0，l2：ax+(a+2)y−1=0.若lA．0或−3 B．−3 C．0 D．−1与02．已知双曲线E的实轴长为6，且与椭圆y249+A．3x±4y=0 B．4x±3y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=03．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<πA．f(x)=sin(2x+π6)C．f(x)=sin(2x+π3)4．PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线A．45 B．34 C．235．已知f(x)是定义在R上的偶函数且在(−∞,0)上为增函数，若a=f(A．c>a>b B．b>a>c C．c>b>a D．b>c>a6．已知点P为直线y=x+1上的一点，M，N分别为圆C1：(x−4)2+(y−1)2=4A．4 B．5 C．6 D．77．已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y),A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<b<a8．△ABC中，A=3B=9C，cosAA．14 B．−14 C．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知m，n是不同的直线，A．若m//αB．若m⊥α，n⊥βC．若α//βD．若α//β10．某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（）A．首选科目为历史的学生样本容量为20B．所有样本的均值为87分C．每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为2D．首选科目为历史的学生的成绩的标准差为1311．如图，已知直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,BA．若点D的坐标为(2,1)B．直线l恒过定点(pC．点D的轨迹方程为xD．△AOB的面积的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（2，0），点P满足PAPB＝3，则PA·PB的最小值为13．已知实数x，y满足x>y>0，且x+y=2，M=3x+2y+14．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且倾斜角为60°的直线l四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．“疫苗犹豫”，即尽管疫苗可及，却迟迟未接种或拒绝接种疫苗的现象.成人接种新冠疫苗的犹豫，主要原因是对感染新冠肺炎的风险缺乏了解，心存侥幸，认为即使不接种也未必会感染，对感染的后果也认识不足.现从某小区未接种的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[18,28)，第2组[28,38（1）求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现先从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率.16．如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A（1）证明：AC1//（2）求平面AB1C17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=4，2bcos（1）求角B的大小；（2）已知直线BD为∠ABC的平分线，且与AC交于点D，若BD=22318．已知i是虚数单位，a，b∈R，设复数z1=2a−3i，z2（1）若z1−z（2）若复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且①是否存在实数a，b，使向量OB逆时针旋转90°后与向量OA重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；②若O，A，B三点不共线，记△ABO的面积为S(a,b)，求19．已知椭圆C:x2a2（1）求椭圆C的方程；（2）如图，若斜率为k（其中k≠0）的直线l过点F，且与椭圆交于点A，B，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆交于点C，D，求四边形ACBD面积S的取值范围.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵l1//l2，∴a(a+2)−(−1)×a=0当a=−3时，直线l1：3x+y+1=0，直线l2：当a=0时，经检验，满足题意；综上，a=0.故答案为：C【分析】依据直线平行的公式计算可求出a的值，注意检验直线重合.2．【答案】A【解析】【解答】解：椭圆y249+x2而其实半轴长为3，则虚半轴长为52−3所以双曲线E的渐近线方程为3x±4y=0.故答案为：A【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再求出双曲线方程即可求得渐近线方程.3．【答案】D【解析】【解答】解：由图可知，T=π，则ω=2π由图知，f(x)在x=π6取得最大值，且图象经过(−π所以−π6+φ=2kπ又因为|φ|<π2，所以函数又经过(0,1)，故f(0)=Asin所以函数f(x)的表达式为f(x)=2sin故答案为：D.

【分析】通过三个连续零点的值可以求出函数f(x)的周期，根据最小正周期公式可以求出ω的值，将特殊点代入解析式中，可以求出φ，A的值，进而确定函数解析式.4．【答案】D【解析】【解答】解：把PA,PB,PC放在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：

设正方体棱长为1，则P(1所以PC=设平面PAB的法向量n=(令x=1，则y=1,z=−1，所以所以cos〈设直线PC与平面PAB所成角为θ，所以sinθ=所以cosθ=故答案为：D．【分析】将PA,5．【答案】C【解析】【解答】解：f(x)是定义在R上的偶函数且在(−∞,0)a=f(lolog23>log22=1故答案为：C【分析】根据奇偶性和单调性确定f(x)在(0,+∞)上单调递减，计算6．【答案】C【解析】【解答】求得C2(0，2)关于直线y=x+1的对称点为则n−2m=−1n+2由对称性可得|PC|=|PC则|PC由于|PM|≤|PC∴|PM|−|PN|≤|PC|PM|−|PN|的最大值为6，故答案为：C.【分析】先得C2(0，2)关于直线y=x+1的对称点C(1，1)，由对称性可得|PC|=|PC2|7．【答案】A【解析】【解答】解：已知(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y)令x=y=12，代入可得f(1)=1令x=y=1，代入可得2f(2)=f2(1)=令x=1,y=2，代入可得3f(3)=2f(1)f(2)=2e×e由e≈2.71828⋅⋅⋅可得±2e<e故答案为：A【分析】根据函数f(x)满足的表达式以及f(1)=e，利用赋值法即可计算出a,8．【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC中，A=3B=9C,A+B+C=π，则∴===又sinsinsinsinsinsin上述各式相加得，sin故cos2π故原式=−1故答案为：B．【分析】首先求出C=π9．【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A选项：若m//α，n⊂α，则m与n可能平行也可能异面，故A选项错误；对于B选项：若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：设历史类学生抽取人数为n，则n200=50设物理类学生成绩的平均数为x，方差为s12，历史类学生成绩的平均数为y，方差为s22，所以样本的平均数为则由题意可得x=95，s12=154，所以所有样本的均值z=每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为20200由方差的计算公式可得256=3050×[154+所以历史类学生成绩的标准差为169=13故答案为：ABD【分析】根据分层抽样的抽样比可判断A；根据分层抽样的平均数计算公式可判断B；利用古典概型概率公式判断C；根据分层抽样的方差计算公式可判断D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A选项，∵D(2,∵OD⊥AB，∴kAB=−2,∴有y2+py−5p=0，记A(x由OA⊥OB，得kOA∴p=5对于B：可设lAB:x=my+t，联立y2=2px则y1+y2=2pm∴t=2p,∴lC选项，∵OD⊥AB，∴D在以OM为直径的圆：(x−pD选项，由B选项可知lAB:x=my+2py1S△AOB=1故答案为：ACD.【分析】A选项，求出kOD=12，由垂直关系得到lAB:y=−2x+5，与抛物线方程联立，得到两根之积，求出kOA⋅kOB=4p2y112．【答案】-3【解析】【解答】解：已知如图所示：

设点P(x,y)，由|PA||PB|=3可得化为标准方程可得(x−5因为O为AB的中点，所以，PA⋅记圆心为M(52,0)，当点P为线段|PO|取最小值，此时，所以，PA⋅故答案为：−3.【分析】设点P(x,y)，利用已知条件求出点P的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出PA⋅PB=13．【答案】8【解析】【解答】解：M=3x+2y+12x−y=93x+6y+12x−y，x+y=2，x>y>0；

而且3x+6y+2x−y=5x+5y=10(定值)；

所以3x+6y+2x−y×110=1

所以M=93x+6y+12x−y14．【答案】2【解析】【解答】解：已知如图所示：

由△AF1F2的面积是不妨设|AF2|=2x，|BF2|=x，在△AF1F2中，得4x2+4c在△BF1F2中，得x2+4c2①+②×2得x=3a2整理得c2−a2+3c(a故答案为：2【分析】由△AF1F2的面积是△BF1F2面积的2倍，得到|AF15．【答案】（1）解：由10×(0平均数为：23×0.设中位数为x，则10×0.得x≈45（2）解：第1，2组的人数分别为200×0.1=20人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a设从5人中随机抽取3人，为：(a1,a2,b1)，(a1,a2,b2第2组中抽到2人的情况有(a1,b1,b2)，(a【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算得到a=0.（2）根据分层抽样的比例关系得到第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.16．【答案】（1）证明：连接AB1与A1B∵ABC−A1B1C1为三棱柱，又∵D为B1C1又∵OD⊂平面A1BD，AC1（2）解：解法1：∵CA⊥AB，CA⊥AA1∵AB1⊂面∴A∵AB=2，AB1以A为坐标原点，AB，AB1，AC分别为A(0∴∵AB⊥A∴AB⊥面AB1C，则平面设平面AA1D的法向量为n2令x=1设平面AB1C与平面A∴cosθ=∴平面AB1C与平面A解法2：设点E为BC的中点，点F为AC的中点，连接DE交B1C于点Q，连接设点P为AQ的中点，连接EP∵点E为BC的中点，点D为B1∴EQ//BB1且EQ=1∵ACC1又∵AC⊥AB，AB∩AA1∴在△ACB1中，AC⊥A∴△AB1而点Q为B1C的中点，∴AQ⊥∵点P为AQ的中点，点F为AC的中点∴FP//B1C又∵在Rt△ABC中，AB=AC=2，点E为BC的中点，∴AE=∴在△AEQ中，AE=EQ=AQ=2，且点P为AQ∴EP⊥AQ且EP=∴∠EPF即为平面AB1C∴在△EFP中，EF=∴cos∠EPF=E∴平面AB1C与平面A【解析】【分析】（1）连接AB1与A1B交于点O，连接OD，通过AC1//OD，证明AC1//平面A1BD；

（2）解法1：以A为坐标原点，AB，AB1，AC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求平面AB1C与平面AA1D的夹角的余弦值．

解法2：取BC中点E，AC中点F17．【答案】（1）解：由已知，得2bcos根据正弦定理，得2sin即2sin即2sin由于0<B<π，sinB>0所以cosB=1（2）解：因为S△ABC所以12因为直线BD为∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠CBD=1所以12则3ac=22由余弦定理得b2=a所以16=(a+c)2−3ac=故△ABC的周长为2【解析】【分析】（1）由正弦定理和sin(A+C)=sinB（2）由三角形面积公式和余弦定理得到a+c=2618．【答案】（1）解：因为复数z1所以z1而z1−z2为纯虚数，因此又因为z3=a+bi，且|z由a2+b2=1所以z3=−2（2）解：①存在，理由如下：法一：由题意知：|OA|=|OB解得a=−12b=−因为OB逆时针旋转90°后与OA重合，所以a=−1法二：设|OA|=|OB所以rcos(α+π所以−r⋅1r=2a且a=−12,所以a=−②因为复数z1，z2对应的向量分别是所以设向量OA,OB的夹角为θ，0≤θ≤π，设复数z则OA=(2a,−3)因此△AOB的面积S(a,b)=1=====|a+3设n=(1,3)当且仅当b=3a且a2+b所以S(a,b)=|a+3【解析】【分析】（1）计算z1−z2，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合|z（2）①方法一：由题意可得|OA|=|OB|OA⋅OB=0|②设向量OA,OB的夹角为θ，