天津市南开区2021-2022学年高一下学期数学期中试卷（含答案）

天津市南开区2021-2022学年高一下学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．已知复数(3−4i)z=−3+i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知点A(1，3)，B(4，A．(35，−45) B．3．已知平面向量p=(−4，6)A．-2 B．2 C．−92 4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c＝（）A．8 B．4 C．833 5．下列说法中，正确的是（）．A．三点确定一个平面B．过一条直线的平面有无数多个C．两条直线确定一个平面D．三条两两相交的直线确定三个平面6．某校高一､高二､高三的学生人数分别为800，750，650，为了解学生的视力情况，现用分层随机抽样的方法从中抽取部分学生进行调查，若样本中高二学生的人数为30，则这次调查的样本容量为（）A．88 B．90 C．92 D．947．甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（）A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.6488．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形O'A．2a，24a2 B．8a，22a2 C．8a，9．在△ABC中，如果满足bcosA=acosA．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形10．已知平面上不共线的四点O，A，B，A．13 B．34 C．12二、填空题11．已知平面向量a=(3，−2)，b=(2，λ)，若12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=13，C=π3，S13．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，14．已知一组数据为5，6，6，7，8，10，则该组数据的方差是15．在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60∘,点E和点F分别在线段BC和CD上,且BE=2三、解答题16．实数m取什么值时，复数z=m（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零.17．已知A(（1）求点D的坐标；（2）若点D在第二象限，用AB，AD表示（3）设AE=(m，2)，若18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c−b=2b⋅cos（1）若a=26，b=3，求c（2）若角C=π2，求角19．2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70)，第二组[70，75（1）求a的值以及这100人中测试成绩在[80（2）估计全市老师测试成绩的第50%分数位（保留两位小数）；（3）若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率．（4）求f(x)的单调递增区间；（5）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)=−1，a=7，且向量m→=(3，sinB)与n

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为z=−3+i所以z=−1325故答案为：B

【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解出答案.2．【答案】A【解析】【解答】AB=(3，则x2+y2当x=35y=−45当x=−35y=45故答案为：A

【分析】根据单位向量的定义以及向量的坐标运算计算，即可得与AB同方向的单位向量.3．【答案】B【解析】【解答】因为p//q，所以(−4)×(−3)−6m=0，解得：故答案为：B．

【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示得出实数m的值。4．【答案】A【解析】【解答】由S△ABC故答案为：A

【分析】根据S△ABC5．【答案】B【解析】【解答】若三点共线，则此三点不能确定一个平面，A不符合题意；过一条直线的平面有无数多个，B符合题意；两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面，C不符合题意；三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面，D不符合题意.故答案为：B

【分析】利用确定平面的条件不在一条直线上的三点，两条平行或相交直线，过一条直线有无数个平面.6．【答案】A【解析】【解答】设样本容量为x，则x800+750+650故答案为：A

【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解出答案.7．【答案】D【解析】【解答】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为0二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为C2而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为0.故答案为：D

【分析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后根据独立的互斥事件概率公式求解即可.8．【答案】B【解析】【解答】由直观图可得原图形，∴OA=BC=a，OB=22a，∴AB=OC=3a，原图形的周长为8a，∴S=a⋅22故答案为：B

【分析】根据直观图还原平面图，然后根据线段长度计算出原平面图形的周长和面积.9．【答案】C【解析】【解答】在△ABC中，满足bcos所以sinB即sinB所以sin(B−A)=0B−A∈(−π，所以△ABC等腰三角形，故答案为：C

【分析】首先利用正弦定理求得sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出答案.10．【答案】B【解析】【解答】由OA−4OB+3OC=所以CA=所以|AB|=故答案为：B

【分析】由已知结合向量的线性表示，即可求解出|AB11．【答案】−【解析】【解答】由题，a−因为a⊥(a−即3×1−2×(−2−λ)=0，解得λ=−7故答案为：−

【分析】求出a→−b→的坐标，根据a⊥(12．【答案】7【解析】【解答】S△ABC=由余弦定理得c2=可得(a+b)2=13+12×3=49故答案为：7

【分析】由题意利用三角形的面积公式可求得ab=12，进而根据余弦定理即可求解出a+b的值.13．【答案】64π【解析】【解答】解：由题意，根据长方体ABCD−A1B∴R=4，该长方体的外接球的表面积S=4πR故答案为：64π.

【分析】计算出长方体的体对角线长，即为外接球的直径，于是可得出外接球的半径R的值，再利用球体的表面积公式可得出答案.14．【答案】8【解析】【解答】由题意，该组数据的平均数为5+6+6+7+8+106所以该组数据的方差是16故答案为：83

【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差计算公式计算，即可得答案.15．【答案】29【解析】【解答】在等腰梯形ABCD中,由AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60∘,得AD⋅BC==(AB+23BC)⋅(16．【答案】（1）解：复数z=m2−1+(m当m2−1=0时，m=1或当m2+3m+2=0时，m=−1或当虚部为0时，复数z为实数，所以m=−1或m=−2时，复数z是实数（2）解：当虚部不为0时，复数为虚数，所以当m≠−1且m≠−2时，复数z是虚数（3）解：当实部为0且虚部不为0时，复数为纯虚数，所以当m=1时，复数z是纯虚数；（4）解：当实部为0且虚部为0时，复数为零，所以m=−1时，复数z是零．【解析】【分析】(1)根据复数的基本概念，当复数是一个实数时，需要使得虚部等于0，得到关于m的方程，得到结果；

(2)根据复数的基本概念，当复数是一个虚数时，需要使得虚部不等于0，得到关于m的方程，得到结果；

(3)根据复数的基本概念，当复数是一个纯虚数时，需要使得虚部不等于0，实部等于0，得到关于m的方程，得到结果；

(4)根据复数的基本概念，当复数是零时，需要使得实部为0且虚部为0，得到关于m的方程，得到结果.17．【答案】（1）解：设D(x，由题意，AB→·AD→=x+1+2y=5所以D的坐标为(−2，3)或（2）解：因为D点在第二象限，所以D(−2，所以AD=(−1，3)设AC=mAB+n所以−2=m−n1=2m+3n⇒m=−1（3）解：因为3AB因为3AB+AC与AE所以m+14=0⇒m=−14，所以AE=(−14【解析】【分析】(1)先设出D(x，y)，然后表示出AB→和AD→再代入到AB⇀⋅AD⇀=5，AD⇀2=10中可求出x，y的值，确定D的坐标；

(2)先根据(1)确定D的坐标，从而可得到AD⇀的坐标，设AC18．【答案】（1）解：由余弦定理得cosA=∴c−b=2b⋅b2+代入数值得(26)（2）解：∵c−b=2b⋅cosA，∴由正弦定理得由C=π2可得A+B=π2，sin即(2解得sinB=12或sinB=−1(舍去)，又∵0<B<【解析】【分析】(1)由余弦定理化简已知等式，整理可得a2=b2+bc，代入已知即可解得c的值；

19．【答案】（1）解：由题意得：5×(0.01+0.02+a+0.（2）解：设中位数为m，且75≤m≤80，则0.05+0.（3）解：第三组频率为5×0.06=0.3，第四组频率为故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，三组人数为3人，2人和1人，记第三组抽取的人为A1，A2，A3，第四组抽取的人为B1，B2，第五组抽取的人为C1，则抽取2人的所有情况如下：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C1，A2A3，A2B1，A2B2，A2C120．已知f(x)=a→⋅b→，其中a（4）解：f(x)=2=1+2cos∵y=cosx在∴令2kπ−π≤2x+π得kπ−2π∴f(x)的单调递增区间[kπ−2π（5）解：∵f(A)=1+2