浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高一下册期中考试数学试卷（含答案）

浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高一下册期中考试数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知复数z=i2+(k+1)i+kA．0 B．2 C．−1 D．12．如图，在△ABC中，AD=2DC，若BA=a，BC=A．a+2b B．a+12b3．已知空间中点A，B，直线l，平面α，若A∈l，B∈l，A∉α，B∈α，则下列结论正确的是（）A．l//α B．l与C．l⊂α D．以上都有可能4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A=60°，B=45°，a=3，则b=（）A．1 B．3 C．2 D．65．如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（）A．3010 B．4010 C．50106．在△ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足AN=13NM，若A．14 B．13 C．1 7．如图，在圆C中，AC=5，点A，B在圆上，AB=4，则AB⋅A．25 B．8 C．10 D．168．已知四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=PB=6，平面α过PB，BC，PD的中点，则下列关于平面α截四棱锥P−ABCD所得的截面正确的为（）A．所得截面是正五边形 B．截面过棱PA的三等分点C．所得截面面积为4564 D．截面不经过二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9．已知复数z1=i，A．zB．若|z−z2|=1，则C．zD．z110．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b=10，A=45°，则使此三角形有两解的a的值可以是（）A．5 B．62 C．8 D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，下列结论正确的有（）A．若c=1，C=45°，则R=B．若a2+bC．若A=3B，则a=3bD．若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC是直角三角形12．如图，圆锥底面的直径为3，S底：S侧=32A．圆锥的体积为9B．圆锥内切球的半径为3C．过P截圆锥所得截面面积最大为3D．A点沿圆锥表面到E的最短路经长为15三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知向量a=(x，2)，b=(2，1)，c14．已知复数z满足|z|=1，则|z−2−5i|的取值范围为15．已知圆柱体的底面半径为32cm，高为5πcm，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为16．在△ABC中，B=60°，BA=2，CD=3BC，对任意u∈R，有|CA−(μ−1)BC|≥|AC|恒成立，点P是直线四、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已如i为虚数单位，复数z=m(m−1)+(m（1）当实数m取何值时，z是纯虚数；（2）若m=2，求|z18．已知在△ABC中，角A，B，C，所对的边为a，b，c，若sin（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．19．台州黄岩被誉为“模具之乡”，为市场对球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切(内壁厚度忽略不计)，店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋.已知该模具底部边长为3cm．⑴求内壁的面积；⑵求制作该模具所需材料的体积；⑶求模具顶点到内壁的最短距离．20．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足2sinA+2（1）判断角B与角C的关系，并说明理由；（2）若B∈(π4，21．如图，梯形ABCD，AB=2DC=4，∠ADC=23π，E为BC的中点，F是AD（1）当F是AD的三等分点时，试用向量AD，DC表示向量FE；（2）若|AD|=t(t>0)

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】z=i2+(k+1)i+k=k-1+k+1i，由复数z=2．【答案】C【解析】【解答】由AD=2DC得AD→=23AC→，

则BD3．【答案】B【解析】【解答】由A∈l，B∈l，A∉α，B∈α，得l∩α=A.

故选：B.

【分析】根据空间中的直线与平面的位置关系进行判断，即可得答案.4．【答案】D【解析】【解答】由A=60°，B=45°得sin60°=32，sin45°=22

由正弦定理asinA=5．【答案】D【解析】【解答】根据题意，直四棱柱的底面是对角线长分别是9和13的菱形，

菱形的边长为922+1322=51026．【答案】A【解析】【解答】设BM→=mBC→

由AN=13NM得AN→=14AM→=14AB→+BM→=14AB7．【答案】B【解析】【解答】取AB的中点D，连接CD，

由圆的几何性质可得CD⊥AB，

故AB→⋅AC→=AB→×AC→×8．【答案】C【解析】【解答】在四棱锥P−ABCD中，PA=PB=6，取PB，BC，CD，PD中点分别为E，F，G，H，连接EH，EF，FH，如图，

因底面ABCD为正方形，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，

则EF//BD//FG，EF//PC//GH，得四边形EFGH是平行四边形，

令FG∩AC=J，则CJ=14AC

在PA上取点I，使得PI=14PA，连接EI，HI，JI，则JI//PC//EF，

由点J∈平面EFGH，有JI⊂平面EFGH，则点I∈平面EFGH，HI⊂平面EFGH，

故五边形EFGHI是平面α截四棱锥P−ABCD所得的截面多边形，

而FG=12BD=32，EF=12PC=12×PA2+AC2=33，则截面不是正五边形，故A错误；

由A选项分析，可知截面过棱PA的四等分点，故B错误；

PA⊥底面ABCD，FG⊂平面ABCD，则PA⊥FG，而BD⊥AC，BD//FG，则AC⊥FG，又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，因此FG⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，

于是得FG⊥PC，有FG⊥EF，

所以矩形EFGH面积等于EF·FG=969．【答案】A,C,D【解析】【解答】由复数z1=i，z2=2−i得z1z2=i2-i=1+2i，z1z2=1-2i

z1⋅z2=-i·2+i=1-2i，则z10．【答案】B,C【解析】【解答】由正弦定理可得a=b·sinAsinB=10·sin45°sinB=10·22sinB=511．【答案】A,B,D【解析】【解答】由正弦定理可得csinC=1sin45°=2R，解得R=22，故A正确；

由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab>0则C为锐角，即A，B有可能为直角，故B正确；

由正弦定理可得asin12．【答案】B,C,D【解析】【解答】由圆锥底面的直径为3，得圆锥底面的半径为32，圆锥底面的面积为π×322=94π

由S底：S侧=32，得侧面面积为94π×23=332π

设母线长为l，则12×2πr×l=332π，解得l=3

设圆锥的高为h，则h=3-94=32，故体积V=13×πr2×h=13×94π×32=338π，故A错误；

13．【答案】5【解析】【解答】由a//b得x2=21即x=4，故c→=(3，4)，

则b→+c→14．【答案】[2【解析】【解答】由|z|=1，则复数z对应的点Z的轨迹是以O(0，0)为圆心，1为半径的圆，又|z−2−5i|表示点Z与点A-2，-5的距离，所以OA-1≤AZ≤OA+1，则-22+15．【答案】13πcm【解析】【解答】根据题意，从圆柱体底部M点绕圆柱体的侧面旋转4圈到达顶部的N点，我们沿MN将侧面展开后，最短路程如下图所示：

其中矩形的高等于圆柱的高5πcm，矩形的宽等于圆柱底面圆周长的4倍，即4×2π×32=12πcm

则蜗牛爬行的最短路径为16．【答案】21【解析】【解答】由|CA−(μ−1)BC|≥|AC|得|BA→−μBC→|≥|AC→|，由减法与数乘的几何意义，AC为点A到BC的垂线段，得∠ACB=90°，

由BA=2，B=60°，得BC=1，AC=3，CD=3，故BD=4，

在△ABD中，由余弦定理可得∠BAD=90°，

设D关于直线AB对称点为Q，连接BQ，连接CQ交AB于P，则∠DBQ=120°

可得此时PC+PD最小，PC+PD=CQ，17．【答案】（1）解：因为z=m(m−1)+(m所以m(m−1)=0且m2则m=0；（2）解：当m=2时，z=2+5i，所以|z【解析】【分析】(1)利用纯虚数的定义列出关于m的方程，求解即可得m的值；

(2)求出z，然后利用复数模的运算性质求解即可得|z18．【答案】（1）解：根据正弦定理设ka=sinA，kb=sinB，kc=sinC，∵sin∴k2a∴由余弦定理cosC=a∴C=π（2）解：由余弦定理可知c2∴4=a2+b2即ab≤4，∴S∴△ABC面积的最大值为3．【解析】【分析】(1)由正弦定理得到a2+b2−c2=a⋅b，代入余弦定理即可求解出角19．【答案】解：如图，∵三棱柱ABC−A1B1C∴底面三角形一边上的高BD=B设正三棱柱的内切球的球心为O，与上、下底面分别切于G1，G，与作侧面切于H则OH=OG1=⑴内壁的面积为4π×(⑵制作该模具所需材料的体积V=1⑶模具顶点到内壁的最短距离为OB【解析】【分析】由题意画出图形，求出正三棱柱内切球的半径.

(1)由球的表面积公式求解出内壁的面积；

(2)由棱柱的体积公式求解出制作该模具所需材料的体积；

(3)求出球心到一个顶点的距离，减去球的半径得模具顶点到内壁的最短距离．20．【答案】（1）解：∵C∈(0，π)，由2sinA+2可得2sinAcosC+2整理得2sin(A+C)=2又A+C=π−B，∴sin(A+C)=sinB，故有sinB=sin(C−π4)，∴B=C−B+C=5π故B、C之间的关系为B=C−π（2）解：由正弦定理可得，